Una visión topológica de la Odisea

Matemoción

La botella de Klein. Topología de la novela es el primero de los cuentos que componen la antología La botella de Klein de Enrique Anderson Imbert (1910-2000).

Odisea 1

El cuento comienza con el descubrimiento de una curiosa botella en el mar –recomiendo ir antes a [4] para recordar lo que es una botella de Klein–:

Yo había dejado descansar los remos y el bote seguía su impulso cuando, en el silencio de la madrugada, algo golpeó contra la quilla. Metí la mano en el mar y pesqué una botella.

¿Botella?

Botella por el vidrio y por el tamaño, no por su forma, que según lo que yo palpaba debía de ser grotesca. Al principio no pude verla porque los párpados de la neblina me cegaban pero el tacto terminó por aguzarme la vista. Los ojos se hicieron tan táctiles como las manos, las manos tan videntes como los ojos y gracias a la vislumbre del amanecer reconocí la botella: yo acababa de pescar la Botella de Klein que horas antes me había regocijado en la ilustración de un libro de matemáticas. El cuello, sin gollete, se curvaba y volvía a sumirse en la botella como si, pornográficamente, quisiera penetrar en su trasero. Absurdo. Y el trasero de la botella, a su vez, se abría penetrado desde dentro por el cuello, excepto que no había ningún adentro. Absurdo. La Botella de Klein carecía de agujero y, no obstante, enloquecida frente al espacio, se escapaba por el interior de sí misma. Absurdo.

El narrador intenta llenar la botella con agua, pero se le escurre entre las manos, aparentemente se aleja flotando, y finalmente lo engulle:

Comprendí que no la veía más, no por estar lejos, sino porque yo, sin saber cómo, me había dejado embotellar y estaba flotando simultáneamente por los adentros y las afueras de la Botella de Klein, botella que no tiene ni afueras ni adentros. Absurdo, absurdo, absurdo.

El náufrago llega a una isla, y desde su playa a una ciudad con edificios idénticos que se multiplican sin fin: es una ciudad-biblioteca, cuyos habitantes son los protagonistas de los libros que la componen. El legendario Odiseo sale a su encuentro y el narrador le dedica una auténtica lección de homotopía:

Una naranja, una moneda, un dado parecen muy diferentes y sin embargo son iguales en virtud de que sus superficies no se rompen con ningún agujero. Un anillo y un túnel, por diferentes que sean, se parecen en que ambos tienen un agujero solo. Con la arcilla blanda de una jarra de dos asas uno podría formar el número 8 siempre que, al deformarla y transformarla, no la desgarrásemos. Mientras conservemos sus dos agujeros el 8 tiene las dos asas de la jarra. Todo es cuestión de mantener la buena contabilidad de agujeros.

Posteriormente, el náufrago explica a Odiseo cómo la topología puede ayudarle a relatar de otro modo La Odisea. Recurre a la banda de Möbius y describe con verdadera vehemencia alguna de sus sorprendentes propiedades –pueden verse explicadas en [2]–.

Odiseo: yo he de escribir una novela que, sin romperlas, comprima, amase, contorsione y estire las formas de la Odisea. Tomo una cinta…

Por si mi pensamiento no bastaba me ayudé con las manos y me desprendí del cinturón:

– Tomo una cinta y ¿ves? La tuerzo con una media vuelta antes de pegar sus extremos. Ahora la cinta…

Debo decir aquí que en ese momento vi la Cinta de Möbius tan patente como había visto la Botella de Klein, iguales ambas a las ilustraciones de mi libro de matemáticas:

– Ahora la cinta tiene un solo borde, un solo lado. Pongo el dedo en la superficie interior y lo deslizo tocando siempre el mismo lado: llega un momento ¿ves? en el que el dedo ya no está adentro, sino que continúa por fuera. Si la corto a todo lo largo y por el medio, tal cinta, que sólo tenía un lado, no se dividirá en dos cinturones separables, sino que crecerá en un gran cinturón con dos lados y si en vez de cortarla por el medio la corto siguiendo una línea paralela al borde, a una distancia de un tercio del ancho de la cinta, la tijera dará dos vueltas alrededor de la cinta, en un corte continuo, y saldrán, sí, dos cinturones, pero uno dentro del otro, uno con dos lados y el otro, nuevamente, con un solo lado… Y sin con este último repito la operación… ¡oh!… […]

– ¡Oh, qué novela, qué novela me saldría si con el ejemplo de la Topología yo continuara los juegos espaciales de la Odisea!

El narrador describe con verdadera pasión esa novela tan especial que desearía escribir… es pura topología.

Mi novela seguí– sería una novela consciente de ser novela. El espacio interior de mi narración quedaría configurado en inesperados laberintos. Una novela dentro de la cual se reproduce otra; y de ésta se desprende otra, y otra… […] Con arte combinatorio yo mostraría formas que no se alteran a pesar de la distorsión de los conjuntos porque conservan una propiedad común: la de ciertos agujeros permanentes.

NOTA

La botella de Klein no vive en dimensión 3; el narrador –habitante de un mundo de tres dimensiones– ve una proyección en 3D de esta superficie, que existe de manera natural en dimensión 4; por ese motivo le maravillan sus propiedades.

La relación de la botella de Klein con la banda de Möbius se vio en [4]; también se puede construir pegando dos bandas de Möbius a lo largo de sus bordes.

La botella de Klein como dos bandas de Möbius ‘pegadas’. Imagen de ACME Klein Bottles.
La botella de Klein como dos bandas de Möbius ‘pegadas’. Imagen de ACME Klein Bottles.

Más información:

[1] Enrique Anderson Imbert, La botella de Klein, P.E.N. Club Internacional, Centro Argentino, 1975.

[2] Marta Macho Stadler, Listing, Möbius y su famosa banda, Un Paseo por la Geometría 2008/2009 (2009) 59-78.

[3] Marta Macho Stadler, La botella de Klein. Topología de la novela, DivulgaMAT, Literatura y Matemáticas, febrero 2015

[4] Marta Macho Stadler, La botella de Klein, geometría palindrómica, Cuaderno de Cultura Científica, 8 de diciembre de 2015

Sobre la autora: Marta Macho Stadler es profesora de Topología en el Departamento de Matemáticas de la UPV/EHU, y colaboradora asidua en ZTFNews, el blog de la Facultad de Ciencia y Tecnología de esta universidad.

1 comentario

  • […] La botella de Klein. Topología de la novela es el primero de los cuentos que componen la antología La botella de Klein de Enrique Anderson Imbert (1910-2000). El cuento comienza con el descubrimiento de una curiosa botella en el mar  […]

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