Hace no mucho tiempo me encontraba yo buscando un ejemplo sencillo de aplicación de las transformaciones lineales que me permitiera explicarlas de una forma práctica e interesante, cuando descubrí el cifrado de Hill.

No es la primera vez que en la sección Matemoción del Cuaderno de Cultura Científica hablamos de criptografía. En la entrada Códigos secretos en la primera guerra mundial ya repasamos algunos de los métodos de encriptación clásicos, como son el cifrado de César, el atbash hebreo, el cifrado francmasón, el cifrado de Polibio, el método de Francis Bacon, el cifrado Vigenère y la cifra ADFGVX.

El cifrado de Hill fue inventado, basándose en el álgebra lineal, por el matemático norteamericano Lester S. Hill en 1929, y aparece explicado en su artículo Cryptography in an Algebraic Alphabet, publicado en The American Mathematical Monthly.

Es un sistema criptográfico de sustitución polialfabético, es decir, un mismo signo, en este caso una misma letra, puede ser representado en un mismo mensaje con más de un carácter. Así, en el ejemplo que vamos a analizar a continuación, la letra A del mensaje original aparece representada en el mensaje codificado de tres formas distintas, como C, K e I.

Expliquemos en qué consiste el cifrado de Hill. En primer lugar, se asocia cada letra del alfabeto con un número. La forma más sencilla de hacerlo es con la asociación natural ordenada, aunque podrían realizarse otras asociaciones diferentes. Además, en este ejemplo solamente vamos a utilizar las 27 letras del alfabeto, pero también podrían añadirse otros símbolos usuales, como el espacio en blanco “_”, el punto “.” o la coma “,”, la interrogación “?”, las 10 cifras básicas, etcétera.

Como en la correspondencia anterior, entre letras/signos y números, solamente aparecen 27 números, hay que trabajar con los números enteros “módulo 27”. Es decir, se consideran los números enteros 0, 1, 2,… , 26 y el resto se identifica con estos de forma cíclica. Así, el 27 es igual a 0, el 28 a 1, el 29 a 2, etcétera, y lo mismo con los números negativos, de forma que – 1 es igual 26, – 2 es igual 25, etcétera. Además, se reducen las operaciones aritméticas (suma, resta, multiplicación y división) al conjunto de los números enteros módulo 27 de forma natural, es decir, al operar dos números enteros (módulo 27) el resultado se considera también módulo 27. Por ejemplo, si se realiza la multiplicación de los números 6 y 13, módulo 27, el resultado dará 24 (módulo 27), puesto que 6  13 = 78 y 78 = 2  27 + 24. O el inverso de 2, es decir, el número a tal que 2  a es igual a 1 (módulo 27), es 14, puesto que 2  14 = 28, que es igual a 1, módulo 27.

En el cifrado de Hill se utiliza una matriz cuadrada de números A como clave, la cual determina la transformación lineal Y = A ∙ X, donde Y, X son vectores columna y A y X se multiplican con la multiplicación de matrices (véase la siguiente imagen). Veamos un ejemplo. Consideremos la matriz cuadrada 3 x 3 (aunque en general pueden considerarse matrices cuadradas de cualquier tamaño) siguiente y la correspondiente transformación lineal Y = A ∙ X:

Supongamos que el mensaje que se quiere enviar encriptado es

“CUADERNO DE CULTURA CIENTIFICA”,

cuya transcripción numérica, teniendo en cuanta la tabla de sustitución anterior, es “2, 21, 0, 3, 4, 18, 13, 15, 3, 4, 2, 21, 11, 20, 21, 18, 0, 2, 8, 4, 13, 20, 8, 5, 8, 2, 0”. Como la transformación lineal es de orden 3, vamos a agrupar los números en grupos de tres, en ternas, sobre las que luego aplicaremos la transformación lineal, (2, 21, 0), (3, 4, 18), (13, 15, 3), (4, 2, 21), (11, 20, 21), (18, 0, 2), (8, 4, 13), (20, 8, 5), (8, 2, 0).

A continuación, vamos a transformar las ternas de números anteriores, mediante la transformación lineal dada por la clave, en nuevas ternas, que serán el mensaje numérico cifrado. ¡Ojo!, que en la transformación lineal no hay que olvidar que seguimos trabajando con los números enteros módulo 27.

Aunque la transformación lineal de la terna (2, 21, 0) es inicialmente (44, 84, 2), como estamos trabajando con enteros módulo 27, esta terna se convierte en (17, 3, 2), ya que 44 = 1 x 27 + 17 y 84 = 3 x 27 + 3. E igual para el resto.

Por lo tanto, el mensaje numérico cifrado es “17, 3, 2, 11, 25, 3, 25, 21, 4, 17, 5, 22, 6, 23, 2, 24, 10, 3, 1, 0, 5, 24, 3, 23, 12, 8, 8”, que al transformar de nuevo los números en sus correspondientes letras, se convierte en el mensaje cifrado

«QDCLYDYUEQFVGWCXKDBAFXDWMII”.

Y este es el mensaje que se envía para que no sea comprendido por el “enemigo” aunque este lo intercepte en el camino.

Para poder descodificar los mensajes cifrados mediante el método de Hill se necesita que la matriz de la transformación lineal utilizada, la clave, sea una matriz inversible. La matriz de nuestro ejemplo lo es, puesto que su determinante es no nulo, |A| = 22. Además, la matriz inversa de A, que es la necesaria para descodificar un mensaje cifrado, es

Pero ojo, estamos trabajando con los enteros módulo 27 y vamos a transformar la matriz inversa anterior en una matriz con números enteros módulo 27. Para empezar se necesita el inverso del número 22. Se ve fácilmente que 22  16 = 352, que es igual a 1, módulo 27, luego 1/22 = 16. Y la matriz inversa se transforma, módulo 27, en

Expliquemos ahora el proceso de descodificación de un mensaje. Imaginemos que el receptor recibe el siguiente mensaje

“EHAHTDINRKQOPUSKVLKMUFÑG”,

y quiere conocer su significado. Para descodificar el mensaje hay que utilizar el mismo método anterior, el cifrado de Hill, pero utilizando como clave la matriz inversa A^-1 (módulo 27) de la matriz A de codificación.

Por lo tanto, se empieza de nuevo transformando el mensaje en la sucesión de ternas numéricas asociada, (4, 7, 0), (7, 20, 3), (8, 13, 18), (10, 17, 15), (16, 21, 19), (10, 22, 11), (10, 12, 21), (5, 14, 6). Y entonces se transforman mediante la transformación lineal con matriz A^-1, es decir, Y = A^-1 ∙ X.

En consecuencia, la secuencia de ternas numéricas original asociada al anterior mensaje codificado es (3, 8, 22), (21, 11, 6), (0, 13, 3), (15, 11, 0), (19, 12, 0), (20, 4, 12), (0, 20, 8), (2, 0, 19). Y traduciendo los números a sus correspondientes letras del alfabeto se obtiene que el mensaje original enviado es

“DIVULGANDO LAS MATEMATICAS”.

Sin embargo, el cifrado de Hill no es seguro. Utilizando métodos de álgebra lineal en un “ataque con texto claro conocido” puede romperse el código y descubrir la matriz clave de encriptado. Un ataque con texto claro conocido significa que el analista que quiere romper el código dispone de un ejemplo de “texto en claro”, es decir, de un mensaje original, con el correspondiente mensaje cifrado.

Veamos cómo se puede romper este código. Supongamos que estamos utilizando la matriz clave anterior A = (1 2 3 / 0 4 5 / 1 0 6), y que el analista “enemigo” ha conseguido obtener tanto un mensaje original como el correspondiente mensaje cifrado. Por ejemplo, el primero de los utilizados en esta entrada del Cuaderno de Cultura Científica.

MENSAJE ORIGINAL: “CUADERNO DE CULTURA CIENTIFICA”

(2, 21, 0), (3, 4, 18), (13, 15, 3), (4, 2, 21), (11, 20, 21), (18, 0, 2), (8, 4, 13), (20, 8, 5), (8, 2, 0)

MENSAJE CIFRADO: “QDCLYDYUEQFVGWCXKDBAFXDWMII”

(17, 3, 2), (11, 25, 3), (25, 21, 4), (17, 5, 22), (6, 23, 2), (24, 10, 3), (1, 0, 5), (24, 3, 23), (12, 8, 8)

Para romper el código se utiliza el “método de Gauss Jordan” (pero módulo 27) con la matriz asociada al mensaje original y la matriz del mensaje cifrado:

Aunque esta última parte de la presente entrada es muy interesante, debido a que nos muestra una aplicación del método de Gauss Jordan, también es un poco técnica, por lo que las personas que lo deseen pueden saltársela y considerar simplemente que es posible romper el cifrado de Hill, mediante técnicas de álgebra lineal.

El método de Gauss Jordan consiste realizar una serie de operaciones sobre la anterior matriz, que está dividida en dos partes, la correspondiente al mensaje original y la del mensaje cifrado, para conseguir que en la parte de la izquierda quede la matriz identidad (1 0 0 / 0 1 0 / 0 0 1) en tres de las filas, para considerar entonces la parte correspondiente de la derecha, como se mostrará después. Esas operaciones consisten en sustituir cada fila de la matriz por el resultado de sumarle/restarle a esa fila una combinación lineal de algunas de las otras filas.

Como el elemento que está en la primera fila y la primera columna tiene que ser un 1, para conseguir la matriz identidad, y resulta que es un 2, debemos dividir por 2 (módulo 27) la primera fila. Ya hemos comentado al principio que el inverso de 2 (módulo 27) es 14, luego dividir por 2 es igual a multiplicar por 14 (módulo 27).

Al multiplicar la primera fila (2 21 0 : 17 3 2) por 14 (módulo 27) se transforma en (1 24 0 : 22 15 1). Ahora, para conseguir un 0 en la primera posición de cada fila se realiza las siguientes sustituciones (método de Gauss Jordan):

a) “2ª fila” se sustituye por “2ª fila” – 3 x “1ª fila” (módulo 27)

b) “3ª fila” se sustituye por “3ª fila” – 13 x “1ª fila” (módulo 27)

c) “4ª fila” se sustituye por “4ª fila” – 4 x “1ª fila” (módulo 27)

d) “5ª fila” se sustituye por “5ª fila” – 11 x “1ª fila” (módulo 27)

e) “6ª fila” se sustituye por “6ª fila” – 18 x “1ª fila” (módulo 27)

y así podría seguirse con el resto, aunque no necesitamos las tres últimas filas para conseguir nuestro objetivo. En cualquier caso, después de las sustituciones anteriores, la matriz se ha transformado en la siguiente matriz

Ahora queremos conseguir un 1 en la posición que se corresponde con la segunda fila y la segunda columna, de nuevo buscando conseguir la matriz identidad en la parte de la izquierda. Como en esa posición está el 13, debemos buscar su inverso módulo 27, que resulta que es 25 (ya que 13 x 25 = 325, que tomando módulo 27, es igual a 1). Es decir, hay que multiplicar la segunda fila por 25, de manera que esta segunda fila (0 13 18 : 26 7 0) se transforma, al multiplicarla por 25 (módulo 27) en (0 1 18 : 2 13 0). Y ahora buscamos obtener ceros en la segunda posición de las demás filas mediante las siguientes sustituciones (método de Gauss Jordan):

f) “1ª fila” se sustituye por “1ª fila” – 24 x “2ª fila” (módulo 27)

g) “4ª fila” se sustituye por “4ª fila” – 14 x “2ª fila” (módulo 27)

h) “5ª fila” se sustituye por “5ª fila” – 26 x “2ª fila” (módulo 27)

quedando ahora la matriz como sigue

El siguiente paso sería conseguir un 1 en la posición que se corresponde con la tercera fila y la tercera columna, una vez más buscando conseguir la matriz identidad en la parte de la izquierda. Sin embargo, en este momento nos encontramos con una primera anomalía por trabajar módulo 27, y es que los números enteros módulo 27 admiten “divisores de cero”, como el 3 y el 9, ya que el producto de 3 por 9 es igual a 0 (módulo 27), y estos no tienen inverso.

En consecuencia, no se puede conseguir un 1 en la tercera columna de las filas 3, 4 y 5. Y al multiplicarlas por 9 se anulan todos sus elementos, luego esas tres filas no nos interesan.

Por lo tanto, vamos a intentar conseguir un 1 en la tercera columna de la fila 6, para lo cual tenemos que multiplicar por el inverso de 2, que como ya sabemos es 14. Y al fila 6 pasa de (0 0 2 : 6 10 12) a (0 0 1 : 3 5 6), al multiplicarla por 14.

Y para obtener la matriz identidad en la parte de la izquierda solo nos falta convertir el 18 que está en la tercera columna de la segunda fila en un cero, para lo cual realizamos la siguiente sustitución

i) “2ª fila” se sustituye por “2ª fila” – 18 x “6ª fila” (módulo 27)

y la matriz queda finalmente, después de todo este proceso de Gauss Jordan,

Luego, tras el método de Gauss Jordan (módulo 27), en la parte de la derecha de la matriz, correspondiéndose con la matriz identidad de la izquierda, nos queda la siguiente matriz

que es la matriz traspuesta (es decir, se cambian las filas por columnas, y al revés) de la matriz clave utilizada en el ejemplo que hemos visto de encriptación de Hill.

En consecuencia, el álgebra lineal que ha servido para desarrollar el cifrado de Hill, también sirve para romper su código.

Una forma de evitar lo anterior, es modificar el algoritmo del cifrado de Hill para que la matriz clave no sea fija, sino que sea dinámica.

Bibliografía

1.- Raúl Ibáñez, Arthur Cayley, explorador victoriano del territorio matemático, RBA, 2017 (pendiente de publicación).

2.- Marie-José Pestel, Paul Kichilov, de la gravure à la anamorphose, Tangente Hors-serie 23: Maths et arts plastiques, p. 142-147.

3.- Lester S. Hill, Cryptography in an Algebraic Alphabet, The American Mathematical Monthly, vol. 36, n. 6 (1929). p. 306-312.

4.- Jorge Ramió Aguirre, Seguridad Informática y criptografía (libro electrónico), Universidad Politécnica de Madrid, 2006.

5.- OnlineMSchool, Online calculadoras para solucionar problemas matemáticas

6.- Calculadora de los números enteros modulares

Sobre el autor: Raúl Ibáñez es profesor del Departamento de Matemáticas de la UPV/EHU y colaborador de la Cátedra de Cultura Científica