Los problemas de pesas y balanzas son muy frecuentes en la matemática recreativa. Revisando el libro 100 Great Problems of Elementary Mathematics – 100 grandes problemas de matemática elemental he recordado un problema clásico de pesas del siglo XVII y me ha parecido interesante, por su atractivo, su interés y su sencillez, recordarlo en esta sección del Cuaderno de Cultura Científica.

El problema fue propuesto por el matemático, lingüista, filósofo y poeta francés Claude Gaspard Bachet de Méziriac (1581-1638), quien realizó la traducción al latín y la edición, en 1621, de la obra Arithmetica del matemático griego Diofanto (siglo III), dentro de su libro Problèmes Plaisants et Délectables, qui se font par les nombres – Problemas placenteros y deliciosos que se plantean con los números (1612).

El problema propuesto por el matemático francés dice así:

Problema de pesas de Bachet de Méziriac: Determinar el menor número de pesas, y su peso en kilos*, necesarias para pesar cualquier cantidad de kilos entre 1 y 40, ambas incluidas (sin admitir fracciones).

[* En el texto original son libras]

Aunque no se dice explícitamente en el texto del problema, se está refiriendo a que las pesadas se realizan con una balanza de dos brazos, o respectivamente de dos platos, de forma que los pesos se pueden colocar en cualquiera de los dos platos para conseguir obtener el peso que se desea (similar a la que podemos ver en la siguiente imagen, aunque con la licencia de que la de la imagen no aguantaría los pesos de los que estamos hablando). Así, si se tiene una pesa de 9 kilos y otra de 5 kilos, se pueden pesar 4 kilos de naranjas, poniendo en uno de los platos la pesa de 9 kilos y en el otro la pesa de 5 kilos con las naranjas. Matemáticamente, estamos realizando la operación resta, 9 kilos – 5 kilos = 4 kilos.

Es decir, dadas unas pesas con unos determinados pesos, se puede conseguir pesar cualquier cantidad obtenida como suma o resta de los valores de las pesas.

En el libro 100 Great Problems of Elementary Mathematics se plantea esencialmente el mismo problema, aunque en el enunciado se incluye ya la información de que son 4 pesas, con una literatura un poco más atractiva para un lector general.

Problema: Un mercader tenía una pesa de 40 kilos*, pero se le cayó y se rompió en 4 piezas distintas. Cuando se pesaron las piezas se comprobó que cada una pesaba una cantidad exacta de kilos y que entre las cuatro se podía pesar cualquier cantidad de kilos* entre 1 y 40. ¿Cuántos kilos* pesan cada una de las piezas?

Razonemos de forma similar a como lo hizo Bachet hace 400 años. La idea de Bachet es empezar con dos pesas de formas que podamos pesar cualquier cantidad entre 1 y n, para n lo más grande posible. Es evidente que la solución son dos pesas de 1 y 3 kilos, con las que se pueden conseguir los pesos entre 1 y 4 kilos:

1 = 1, 2 = 3 – 1, 3 = 3 y 4 = 1 + 3.

Recordemos que sumar significa poner las pesas en el mismo plato, mientras que restar significa ponerlas en platos distintos.

Sin embargo, para otras cantidades habríamos tenido la misma cantidad de pesos, pero no comprendidos entre 1 y n. Por ejemplo, con pesas de 2 y 3 kilos se obtienen 1, 2, 3 y 5 kilos, pero no 4 kilos.

Ahora, habría que ver que pesa añadir para obtener todos los pesos entre 1 y n, para n más grande que 4. Como tenemos ya las dos pesas de 1 y 3 kilos, y hemos conseguido pesar todos los pesos entre 1 y 4 kilos, tenemos que tomar una pesa cuya diferencia con el máximo conseguido hasta ahora, 4 kilos, sea el siguiente peso, 5 kilos (por lo tanto, 9 kilos, ya que 9 – 5 = 4, o lo que es igual, 9 = 2 x 4 + 1), ya que así se consiguen todas las cantidades desde 5 kilos hasta dicha cantidad, 9 kilos, al ir restando de 9 kilos (es decir, poniendo en el otro plato) todas las cantidades desde 1 hasta 4:

5 = 9 – 4 = 9 – (1 + 3), 6 = 9 – 3,

7 = 9 – 2 = 9 + 1 – 3, 8 = 9 – 1, 9 = 9.

Pero además, también podemos conseguir todos los pesos entre 9 y 9 + 4 = 13 kilos:

10 = 9 + 1, 11 = 9 + 2 = 9 + 3 – 1,

12 = 9 + 3, 13 = 9 + 4 = 9 + 3 + 1.

Por lo tanto, con 3 pesas de 1, 3 y 9 kilos se consiguen todos los pesas entre 1 y 13 kilos.

De hecho, estamos estableciendo el método general. Supongamos que tenemos pesas A, B, C,… con las que conseguimos pesar desde 1 a n kilos. Ahora consideramos una nueva pesa P de p kilos, que excederá a n en exactamente n + 1 kilos (para poder conseguir todas las cantidades intermedias), es decir, p – n = n + 1, o equivalentemente, p = 2 n + 1. Y de esta forma es posible pesar desde 1 hasta p + n = 3 n + 1 kilos.

En consecuencia, la siguiente pesa, la cuarta, tendrá 2 x 13 + 1 = 27 kilos, y nos permitirá contar hasta 3 x 13 + 1 = 40 kilos. Por lo tanto, la solución del problema es que se necesitan 4 pesas, cuyos pesos son 1, 3, 9 y 27 kilos, respectivamente.

Como la construcción que hemos dado es general, podemos plantearnos cuál sería el valor de la siguiente pesa y hasta que cantidad conseguiríamos pesar. La pesa tendría un valor de 2 x 40 + 1 = 81 kilos y se podría pesar con las 5 pesas hasta 3 x 40 + 1 = 121 kilos.

Llegados a este punto seguro que nos hemos dado cuenta de que las cantidades de las pesas son las potencias de 3, es decir, 1 = 3⁰, 3 = 3¹, 9 = 3², 27 = 3³ o 81 = 3⁴. De hecho, no es difícil demostrar que las pesas van a ser de 3⁰, 3¹, 3², …, 3^k kilos y el peso máximo que se puede conseguir con ellas es 3⁰ + 3¹ + 3² + … + 3^k. Además, esta última expresión, utilizando la formula de la suma finita de potencias, es igual a (3^k+1 – 1) / 2.

Pero podemos plantear la solución del problema de pesas de Bachet de Méziriac de otra forma, como aparece en el excelente libro Famous puzzles of Great Mathematicians. Teniendo en cuenta que si ponemos las pesas en un plato u otro la cantidad de las mismas se suma o se resta, la idea es representar cualquier cantidad C, entre 1 y 40, de la siguiente forma

C = a₁p₁ + a₂p₂ + … + a_mp_m,

donde p₁, …, p_m son los valores de las pesas y los coeficientes a_i toman los valores -1 (si se coloca la pesa de valor p_i en el plato de la balanza en el que está el objeto que queremos pesar), 0 (si no se utiliza la pesa p_i) y 1 (si se coloca la pesa de valor p_i en el plato contrario al que está el objeto que queremos pesar).

Como los coeficientes a_i pueden tomar tres valores diferentes, -1, 0, 1, la expresión anterior nos sugiere que utilicemos un sistema en base 3. Es decir, los pesos serían p₁ = 3⁰ = 1, p₂ = 3¹ = 3, p₃ = 3² = 9,… y las cantidades obtenidas serían (las colocamos ahora en orden inverso)

C = a_m 3^{m – 1} + a_{m – 1} 3^{m – 2} + … + a₃ 3² + a₂ 3¹ + a₁ 3⁰,

que como número en el sistema en base 3 se representa (a_ma_{m – 1} … a₃ a₂ a₁)₃. Y permite representar todos los números hasta (1 1 … 1 1 1)₃. Por ejemplo, para m = 5 pesas, el máximo número representado es (1 1 1 1 1)₃ = 3⁴ + 3³ + 3² + 3¹ + 3⁰ = (3⁵ – 1) / 2 = 121.

Por ejemplo, el número 65 se representaría como

65 = 1 x 81 + (– 1) x 27 + 1 x 9 + 1 x 3 + (– 1) x 1.

El matemático y abogado británico W. W. Rouse Ball recoge el “problema de las pesas de Bachet” en su célebre libro Mathematical recreations and essays – Recreaciones matemáticas y ensayos (1892). En el mismo plantea dos opciones para el problema, la original en la que se pueden colocar las pesas en ambos platos de la balanza, y cuya solución sabemos que está formada por pesas con valores potencias de 3, es decir, 1, 3, 9, 27, y la otra en la que solo se pueden colocar las pesas en el plato opuesto al plato en el que se coloca el objeto que se quiere pesar. En esta segunda variante las pesas se pueden poner o no, luego solo tenemos la opción de que se sumen o no, pero no que se resten, en conclusión tenemos un sistema binario y la solución son las potencias de 2 para las pesas, 1, 2, 4, 8, 16, 32.

Sin embargo, el problema de las pesas de Bachet de Méziriac tiene un origen mucho más lejano en el tiempo. La primera vez que aparece, que se tenga constancia, es en el Liber Abaci – Libro del ábaco (1202) de Leonardo de Pisa, conocido como Fibonacci. En la edición de 1857 de Baldassarre Boncompagni es el problema “De IIII^er pesonibus, quorum pondus erat librarum quadraginta” que aparece en la página 297 del volumen 1.

Bibliografía

1.- Heinrich Dörrie, 100 Great Problems of Elementary Mathematics, their history and solution, Dover, 1965.

2.- Claude Gaspard Bachet de Méziriac, Problèmes Plaisants et Délectables, qui se font par les nombres, 1612.

3.- Miodrag S. Petrovic, Famous Puzzles of Great Mathematicians,AMS, 2009.

4.- W. W. Rouse Ball, Mathematical recreations and essays, Macmillan and Co., 1892.

5.- Leonardo de Pisa, Liber Abaci (1202), volumen 1 de la edición Baldassarre Boncompagni, 1857.

Sobre el autor: Raúl Ibáñez es profesor del Departamento de Matemáticas de la UPV/EHU y colaborador de la Cátedra de Cultura Científica