‘Imago mundi’, finalmente 9 retratos más del mundo

Matemoción Imago Mundi Artículo 3 de 3

Con esta entrada termina la serie Imago Mundi de la sección Matemoción del Cuaderno de Cultura Científica, que hemos dedicado a mostrar diferentes retratos del mundo, realizados con diferentes proyecciones cartográficas (matemáticas). En la primera entrega, ‘Imago mundi’, 7 retratos del mundo, las 7 proyecciones cartográficas utilizadas fueron: la proyección cilíndrica conforme de Mercator, la proyección pseudo-cilíndrica isoareal de Mollweide, la proyección pseudo-cilíndrica isoareal de Eckert IV, la proyección isoareal interrumpida homolosena de Goode, la proyección convencional de Van der Grinten, la proyección central, que preserva los caminos más cortos, y la proyección estereográfica, que es conforme.

Mapa de mundo realizado con la proyección de Mercator, mostrando las corrientes oceánicas, así como las rutas y distancias entre los puertos más importantes, perteneciente a la publicación “The Royal Atlas Of Modern Geography Exhibiting”, W.& A.K. Johnston, 1912. Imagen de [1]
Mientras que, en la segunda entrega, ‘Imago mundi’ 2, otros 6 retratos del mundo las proyecciones eran: la proyección rectangular o carta plana, la proyección cilíndrica de Miller, la proyección de Gall-Peters, con toda la familia de proyecciones cilíndricas isoareales a la que pertenece esta, la proyección de Robinson, la proyección de Winkel tripel y la proyección acimutal equidistante.

Mapa físico del mundo de National Geographic, realizado con la proyección de Winkel tripel, en 2005, revisado en 2007

Pero vayamos directamente a los retratos de esta tercera, y última, entrega de la serie.

Retrato 1: La proyección en perspectiva general

Si preguntáramos a la gente por la forma correcta de representar la superficie terrestre en un plano, muchas personas nos dirían que es realizando un retrato, o fotografía, desde un punto cualquiera del espacio. Esta es la conocida como proyección en perspectiva general.

La proyección en perspectiva general es una proyección geométrica azimuthal, que consiste en proyectar la superficie de la Tierra sobre un plano desde un punto de proyección mediante las rectas o “rayos” de proyección, es decir, como si estuviesemos mirando desde ese punto. Dependiendo de la posición del plano de proyección hablamos de perspectiva vertical o inclinada. La perspectiva es vertical si el plano es perpendicular a la recta que une el punto de proyección con el centro de la superficie terrestre, en otro caso, es inclinada.

Esquema de la proyección en perspectiva general, verical o inclinada, desde un punto que está en la vertical del polo norte

Dependiendo de lo lejos que esté el punto de proyección la imagen será más amplia o más reducida.

Mapas realizados con la proyección en perspectiva vertical, con imágenes reales del proyecto “The Blue Marble New Generation” de la NASA, con el centro de proyección sobre el Ecuador, cerca de la desembocadura del río Amazonas, y con el punto de proyección a 590 km (la distancia a la que está la órbita del telescopio Hubble, aunque este no mira hacia la Tierra), a 35.786 km (altura a la que suelen estar los satélites) y a 378.000 km (más o menos la órbita de la Luna). Imagen de [6]

Pero estamos hablando de proyecciones matemáticas, y no de fotografía, por lo que podemos proyectar desde cualquier punto, incluso que esté en el interior del globo terrestre, y con el plano de proyección situado en cualquier posición, por ejemplo, en el lado opuesto, al punto de perspectiva, de la Tierra (lo que se llaman mapas en perspectiva vertical lejanos). Las proyecciones gnomónica, estereográfica y ortográfica (que veremos en el siguiente retrato) son casos particulares de la familia de proyecciones en perspectiva. Los siguientes diagramas nos muestran las diferentes opciones.

Diagramas de las diferentes proyecciones pertenecientes a la familia de proyecciones en perspectiva, dependiendo de la situación del punto de proyección y del plano sobre el que se proyecta. Imagen de [6]
Para esta proyección, el meridiano y paralelo centrales se transforman en rectas, mientras que los demás meridianos y paralelos se transformarán en rectas, arcos de circunferencia o elipses, incluso en parábolas e hiperbolas, dependiendo del aspecto de la proyección (polar, ecuatorial u oblicua). No se preservan las propiedades métricas y existe una menor distorsión cerca del centro de proyección y una deformación exagerada en los bordes. Esta proyección, en su caso general, no fue prácticamente utilizada más que para representar la Tierra vista desde el espacio.

Mientras que las imágenes en perspectiva vertical general (con el plano cercano) nos muestran solo una parte de uno de los hemisferios, mediante el uso de un plano “lejano”, en la parte opuesta, de la superficie terrestre, al punto de proyección, se pueden obtener mapas que cubran más que un hemisferio.

Mapa de dos tercios de la superficie terrestre, realizado en 1857 por el coronel Henry James, con la proyección en perspectiva vertical lejana, con una distancia de 1,5 veces el radio de la Tierra, desde el centro y en dirección opuesta al plano de proyección. Imagen de [1]

Por este motivo, la proyección en perspectiva vertical lejana fue utilizada por varios autores. El matemático francés Phillipe de La Hire (1640-1719) en 1701 con una distancia del punto de proyección de 1,7 veces el radio de la Tierra, desde el centro y en dirección opuesta al plano de proyección, el coronel británico Henry James (1803-1877), quien fuera director general de la agencia de mapas de Gran Bretaña, con una distancia de 1,5 veces el radio terrestre en 1857, el geodesta británico Alexander R. Clarke (1828-1914), junto con Henry James, a una distancia de 1,368 veces, en 1862, o solo, en su famosa “proyección crepúsculo”, con el plano a una distancia de 1,4 veces el radio de la Tierra, en 1879.

Reproducción de Carlos A. Furuti [6] de los mapas de Phillipe de La Hire (1701), Henry James (1857), Alexander R. Clarke (1862), junto con Henry James, o solo, en su famosa “proyección crepúsculo” (1879), realizados con proyecciones en perspectiva vertical lejana

Retrato 2: La proyección ortográfica

La proyección en perspectiva es un caso particular de la anterior familia, si consideramos que el punto de proyección está lejos, en el infinito, luego los rayos de proyección van paralelos entre sí y perpendiculares al plano de proyección.

Mapa del mundo, de la zona del Atlático, realizado con la proyección ortográfica, publicado por Richard E. Harrison como suplemento de la revista Fortune, en junio de 1942, el primero de una serie de tres mapas ortográficos. Imagen de [1]

Esta proyección ya era conocida desde la antigüedad. Seguramente la era conocida por los egipcios y el matemático y astrónomo Hiparco de Nicea (aprox. 190-120 a.n.e.) la utilizó para sus cálculos de astronomía. En la antigüedad se conocía con el nombre de “analema”, que sería reemplazado por “ortográfica” en 1613, por el matemático francés Francois d’Aguillon (1567-1617). Aunque fue utilizada por primera vez para mapas del mundo en el siglo XVI, por el cartógrafo austriaco Johannes Stabius (1450-1522) y el artista renacentista alemán Alberto Durero (1471-1528).

Grabado coloreado de Alberto Durero de un mapa de Johannes Stabius, de 1515. Imagen de Media Storehouse

Esta proyección se suele utilizar por su aspecto similar al aspecto que tiene el planeta visto desde el espacio. No es una proyección que se haya utilizado en muchos atlas, pero sí en algunos, cuando se quiere mostrar la imagen de la Tierra desde el espacio exterior, como en The Global Atlas, A New View of the World from Space, publicado por Frank Debenham en 1958, en varios de los atlas de Rand McNally o por la US Geological Survey, USGS. Y volvió a utilizarse cuando empezó la carrera espacial.

“Tabla sinóptica de la esfericidad de la Tierra”, con seis mapas hemisféricos, realizados con la proyección ortogonal, de la Tierra: Europa, Asia, Norteamérica, África, Oceanía y América del Sur, perteneciente a la publicación de M.F.A. Garnier, Atlas spheroidal et universel de geographie dresse a l’aide des documents officiels, recemment publies en France et a l’etranger (1862). Imagen de [1]

Retrato 3: La proyección cónica conforme de Lambert

Tanto en las dos primeras entregas de esta serie de retratos del mundo, Imagi Mundi, como en los dos primeros retratos de esta tercera entrega, solamente hemos presentado proyecciones cilíndricas y acimutales, o generalizaciones de estas. Ahora vamos a presentar algunas proyecciones cónicas, es decir, cuya superficie auxiliar de proyección es el cono. Es decir, en el caso de las proyecciones geométricas, se proyecta primero la esfera terrestre básica sobre un cono, tangente (la intersección es una circunferencia, que será un paralelo en el caso normal, esto es, si el eje del cono coincide con el de la esfera terrestre básica) o secante (con dos circunferencias de intersección, que serán paralelos en el caso normal), a la esfera y luego este se despliega, cortando por una de sus rectas generadoras, en un plano.

Esquemas de las proyecciones cónicas en el caso normal (el eje del cono y la esfera es el mismo), tangentes (con un paralelo de tangencia) y secantes (con dos paralelos de intersección)

La proyección cónica conforme de Lambert es una de las siete proyecciones presentadas por el matemático alemán, aunque de origen francés, Johann H. Lambert (1728-1777) en su trabajo Notas y comentarios sobre la composición de mapas terrestres y celestes (1772). Lambert utilizó las herramientas matemáticas en su poder (cálculo, geometría, álgebra y trigonometría) para construir una familia de proyecciones conformes intermedias entre la proyección estereográfica (que es acimutal) y la proyección de Mercator (que es cilíndrica), para los casos tangentes (con un paralelo de tangencia) y secantes (con dos paralelos de intersección).

Mapa del mundo realizado con la proyección cónica conforme de Lambert, cuyos paralelos de tangencia a 20º N y 50º N, con imágenes del proyecto “Blue Marble” de la NASA. Imagen de Wikimedia Commons

Como hemos comentado, esta proyección es conforme, preserva los ángulos, los rumbos, y para regiones pequeñas también las formas. La deformación es pequeña cerca de los paralelos de tangencia o intersección, y mayor al alejarse de ellos. Por este motivo, la proyección es muy útil para mapas de territorios en la dirección este-oeste, que se desarrollen alrededor del paralelo de tangencia o entre los dos paralelos de intersección, no estando estos muy alejados.

Hasta que fue utilizada por Francia durante la primera guerra mundial, esta proyección había permanecido olvidada. Después se ha convertido en una de las proyecciones más utilizadas para mapas de “escala grande” (esto es, es factor de proporcionalidad de la escala es pequeño), es decir, mapas de territorios pequeños. La utiliza la USGS de Estados Unidos, así como muchas otras agencias internacionales, para mapas topográficos. La Comisión Europea la recomienda para mapas conformes de Europa al completo de escalas mayores o iguales a 1:500.000 (como 1:100.000 o 1:25.000), y es común en países como Francia, Estados Unidos, Canada o México. También se emplea mucho para cartas náuticas.

“Carta tectónica internacional de Europa”, realizada con la proyección cónica conforme de Lambert, por el Congreso Internacional de Geología, Academia de Ciencias de la URSS, 1962. Imagen de [1]

“Mapa de tratados indios de Canada”, realizado con la proyección cónica conforme de Lambert, del “Department of Mines and Technical Surveys” de Canada, 1961. Imagen de University of Toronto Libraries

Retrato 4: La proyección cónica isoareal de Albers

En su monografía de 1772, Johann Lambert también propuso una proyección cónica isoareal, que sería generalizada por el cartógrafo alemán Heinrich C. Albers (1773-1833) en 1805, también con uno o dos paralelos de intersección, que son aquellos en los que la escala es real (luego son llamados paralelos estándar). Como en el caso de la proyección cónica conforme de Lambert, los paralelos son arcos de circunferencias concéntricas y los meridianos son radios –rectas- de esas circunferencias igualmente espaciados, que cortan perpendicularmente a los paralelos. Los polos son arcos de circunferencia, el interior y el exterior, mientras que en la cónica conforme de Lambert era un punto (el norte o el sur, dependiendo de la versión), y el infinito.

Mapas del mundo realizados con las proyecciones cónica isoareales de Lambert (con paralelos estándar a 90ºN y 24º 28’ 11’’N) y Albers (con paralelo estándar a 45ºN). Imagen de [6]

De nuevo, la deformación es pequeña cerca de los paralelos de tangencia o intersección, y mayor al alejarse de ellos, por lo que también es útil para mapas este-oeste. En particular, es una proyección, con deos paralelos estándar, muy utilizada para los mapas de Estados Unidos.

Mapa en relieve de Estados Unidos, realizado con la proyección cónica isoareal de Albers, publicado por la Ohman Company en 1942. Imagen de [1]

Retrato 5: La proyección de Bonne

En las proyecciones cónicas, ya sean geometricas puras o su generalización matemática, los meridianos (en la versión normal) se representan como radios (rectas), igualmente espaciados, de los arcos de circunferencias concéntricas que representan a los paralelos, mientras que en la generalización de estas proyecciones, las llamadas pseudo-cónicas, los meridianos siguen siendo arcos de circunferencia, mientras que los paralelos ya no son rectas.

Un ejemplo de proyección pseudo-cónica es la proyección de Bonne, que realmente es toda una familia de proyecciones pseudo-cónicas isoareales, en función de cual sea el paralelo estándar o central (correspondiente al paralelo de intersección con el cono).

Mapamundis realizados con la proyección de Bonne, para los paralelos estándar de 45ºN, en el primero, y 15ºS, en el segundo

El autor de esta familia de proyecciones fue el cartógrafo e ingeniero francés Rigobert Bonne (1727-1795). Aunque la proyección de Bonne ya había sido utilizada con anterioridad. Por ejemplo, en el mapa Universalis Cosmographia del cartógrafo alemán Martin Waldseemüller (1470-1520) de 1507 que modifica la segunda proyección de Ptolomeo o en su generalización en el mapa del mundo de Petrus Apianus de 1520, así como en el mapa del mundo del cartógrafo italiano Bernardo Sylvanus de 1511.

Mapa “Universalis Cosmographia” de Martin Waldseemüller (1507), en el que aparece, por primera vez en un mapa, la palabra “América”
Planisferio de Sylvanus (1511)

Los casos extremos son la proyección de Werner (o Stabius-Werner), cuando el paralelo estandar es 90ºN, que tiene forma de corazón y la proyección sinusoidal o de Sanson-Flamsteed, cuando el paralelo es 0º.

Mapa del mundo, realizado con la proyección de (Stabius-) Werner, perteneciente al “Atlas del mundo” (1913), de John Bartholomew. Imagen de University of Toronto Libraries

La proyección sinusoidal tiene este nombre ya que los meridianos son sinusoides, curvas de la función seno, mientras que los paralelos son rectas estándar, es decir, la escala es correcta a lo largo de los paralelos. Por este motivo, el mapa diseñado con la proyección sinusoidal se va encogiendo según los paralelos van acercándose a los polos, que son dos puntos. Para que la compresión no sea tan fuerte en los polos, se suele utilizar una versión cortada, o interrumpida.

Mapa con las lenguas del mundo, realizado con la proyección sinusoidal interrumpida, perteneciente al “Atlas del mundo para el estudio de la Geografía en el Programa de Entrenamiento Especial del Ejército”, United States Army Service Forces, 1943. Aparecen el euskera (zona del País Vasco y Navarra) y el catalán (aunque solo señalado en las Islas Baleares). Imagen de [1]

Retrato 7: La proyección armadillo

Como ya hemos comentado, existen tres familias principales de proyecciones, en función de si la superficie auxiliar de proyección no existe (acimulates), es un cilindro (cilíndricas) o es un cono (cónicas). También se podrían tomar otras superficies auxiliares intermedias no necesariamente desarrollables, aunque no suele ser lo habitual, como en la proyección armadillo, desarrollada en 1943 por el cartógrafo estadounidense, de origen húngaro, Erwin J. Raisz (1893-1968), que consiste en proyectar la superficie terrestre básica sobre un toro (recordemos que en las matemáticas un “toro” es la superficie que tiene la forma de un flotador) y luego proyectar ortogonalmente, según una cierta dirección, en un plano.

Mapa del mundo sobre agricultura, realizado con la proyección armadillo, perteneciente al “Atlas de geografía global” (1944), de Edwin Raisz. Imagen de [1]

Retrato 8: La proyección globular de Nicolosi

Las proyecciones globulares son aquellas que pretenden representar la imagen esférica del globo terrestre, y contrariamente a las proyecciones acimutales, no son proyecciones geométricas, es decir, no están definidas a través de “rayos”, como ocurre en proyecciones acimutales como la gnomónica o la estereográfica, y en proyecciones cilíndricas como la proyección cilíndrica isoareal de Lambert. No preservan ni áreas, ni ángulos. Se limitan a un hemisferio, por lo que se necesitan dos mapas para cubrir toda la superficie terrestre.

Son proyecciones muy antiguas. Una de las proyecciones globulares más antiguas fue descrita por el filósofo inglés Roger Bacon (1214-1294) hacia 1265. La proyección globular conocida como de “Nicolosi”, que es una modificación de una proyección globular, la llamada primera, del jesuita, geógrafo y matemático francés Georges Fournier (1595-1652), fue realizada por el geógrafo italiano Giovanni Battista Nicolosi (1610-1670), aunque seguramente fue creada por el matemático persa Al-Biruni (973-1048).

“El mundo en la proyección globular” (de Nicolosi), de la publicación Outlines of the World (1845), de Aaron Jr. Arrowsmith. Imagen de [1]

En el mapamundi diseñado con la proyección globular de Nicolosi los meridianos y paralelos son circulares. De las proyecciones globulares, esta es la que produce menos distorsión en las formas. En la mayoría de los mapas modernos en los cuales se menciona que han sido diseñados con la proyección globular, se están refiriendo a la proyección globular de Nisolosi.

Retrato 9: La proyección regional de Bartholomew

En 1958 el cartógrafo escocés John C. Bartholomew (1923-2008) combinó la proyección cónica equidistante (esta una proyección cónica sencilla, donde los meridianos son rectas estándar, es decir, la escala es correcta a lo largo de los meridianos, igualmente espaciadas y los paralelos son arcos de circunferencia, igualmente espaciados, además, los dos paralelos de intersección con el cono son también curvas estándar), para latitudes por encima del Trópico de Cáncer (22,5ºN), y la proyección de Bonne interrumpida para el resto de la superficie terrestre.

Mapa “Fisiografía del mundo”, realizado con la proyección regional de Bartholomew, perteneciente a la publicación “The Times Atlas of the World” (1958), de John C. Bartholomew (editor), Houghton Mifflin. Imagen de [1]

Existen muchas más projecciones cartográficas, pero parafraseando al matemático británico Andrew Wiles, “creo que lo dejaré aquí”.

“Going Global”, de la serie “American History” (2004), de la artista estadounidense Joyce Kozloff, cuya obra artística está basada en la cartografía. Esta obra contiene un mapamundo realizado con la proyección homolosena de Goode. Imagen de [8]

Bibliografía

1.- David Rumsey Map Collection

2.- National Geographic, Maps

3.- Raúl Ibáñez, El sueño del mapa perfecto; cartografía y matemáticas, RBA, 2010.

4.- Raúl Ibáñez, Muerte de un cartógrafo, Un paseo por la Geometría, UPV/EHU, 2002. Versión online en la sección textos-on-line de divulgamat

5.- J. P. Snyder, Flattening the Earth, Two Thousand Years of Map Projections, The University of Chicago Press, 1993.

6.- Carlos Furuti, Map projections

7.- J. P. Snyder, Map projections, A Working Manual, USGS Professional Paper 1395, 1987.

8.- Página web de la artista Joyce Kozloff

Sobre el autor: Raúl Ibáñez es profesor del Departamento de Matemáticas de la UPV/EHU y colaborador de la Cátedra de Cultura Científica

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