Los números capicúas, o palíndromos, que son aquellos números tales que sus cifras leídas de izquierda a derecha y de derecha a izquierda son las mismas, son un tipo de números que, por la simetría que encierran, llaman la atención de la mayoría de las personas. De hecho, buscarlos, e incluso coleccionarlos, en las matrículas de los coches, los décimos de lotería, los billetes de medios de transporte, como autobús, tren o metro, los billetes de la moneda de cualquier país o cualquier otro lugar en el que aparezcan números de cuatro, o más dígitos, es algo bastante habitual. Más aún, muchas personas relacionan el hecho de encontrarse con un número capicúa, con la buena suerte.

El concepto de número capicúa es muy sencillo y es muy fácil construir ejemplos de estos números. La forma más trivial es considerar un número con todos sus dígitos iguales, como 333.333.333, o se puede considerar una sucesión de cifras que luego se repiten en el sentido contrario, 12.433.421, aunque puede no repetirse el número central, 1.243.421. Así podemos crear todos los números palindrómicos que queramos: 232, 1.221, 55.555, 813.318, 1.756.571, etcétera. Claramente, existe una cantidad infinita de números capicúas, dado uno de estos números, siempre podemos generar uno más grande con solo añadir una misma cifra a la derecha y la izquierda del número, así dado el 121, podemos añadir el 7, obteniendo 71.217, si ahora añadimos el 3, se tiene 3.712.173, y este proceso es infinito.

El concepto de palíndromo está fuertemente ligado a la representación posicional de los números, y además, depende de la base en la que se representan, en nuestro caso, es un sistema decimal, base 10. Por ejemplo, el número 2.002 es capicúa (en la base 10 en la que lo representamos de forma habitual), pero si se representa este mismo número en la base binaria, es decir, la base 2, con 0s y 1s, es decir, 11111010010, este ya no es capicúa. O si se representa el 2.002 en base octal, es decir, la base 8 (en la que utilizamos como cifras básicas 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7), que se escribe como 3722, tampoco es capicúa.

Como sabemos, nuestro sistema de numeración posicional decimal viene la antigua India. Y precisamente, en la obra Ganatasarasamgraha – Compendio de la esencia de las matemáticas, del año 850, del matemático indio Mahaviracharya, se habla de un cierto número que “comienza por uno (y va aumentando de forma progresiva) hasta seis, para, a continuación, disminuir ordenadamente”, es decir, se refiere al número 123.45.654.321.

Esta familia de números capicúas, en la cual las cifras van subiendo, en una unidad, y luego bajando, tiene una propiedad curiosa, ya que puede obtenerse como el cuadrado de los números cuyos dígitos son solo unos:

Además, si cogemos cada uno de esos palíndromos, se verifica que la suma de las cifras del número es un número cuadrado.

Más aún, estos particulares números capicúas, de la forma 12345654321, se pueden obtener también mediante una expresión simétrica bastante llamativa, aunque realmente solo es la combinación de las dos anteriores.

Pero vayamos con el objetivo central de esta entrada, una curiosa forma de obtener números capicúas. Tomemos un número cualquiera, por ejemplo, el 17 y sumémosle su simétrico, el 71, entonces se obtiene 17 + 71 = 88, que es palíndromo.

Probemos con otros números. Por ejemplo, el 75, entonces 75 + 57 = 132, que no es palíndromo, pero volvamos a realizar el mismo proceso con este resultado, 132 + 231 = 363, que ahora sí es capicúa, y lo hemos conseguido en dos pasos.

Veamos qué ocurre con algunos otros números. El 86, le sumamos su simétrico, 86 + 68 = 154, y como no es capicúa, seguimos el proceso, 154 + 451 = 605, una iteración más, 605 + 506 = 1111, de nuevo capicúa, en esta ocasión en tres pasos. Si empezamos en el número 87, después de cuatro pasos se obtiene el número 4.884, que es un número palindrómico. El número 88 ya es capicúa, es igual a su simétrico, luego no damos ningún paso con él. Si empezamos con el 89, necesitaremos 24 pasos hasta llegar a un número capicúa, el 8.813.200.023.188, como podéis comprobar.

Antes de continuar, podemos hacer una representación, con colores, de los 100 primeros números, distribuidos en una matriz cuadrada 10 x 10, de manera que el color esté relacionado con la cantidad de iteraciones que se necesitan para llegar a un palíndromo.

Como puede observarse, existe una cierta simetría alrededor del eje de los números de dos cifras formados por dos dígitos iguales, como 44 o 77, ya que los números a un lado y otro de este eje son los simétricos, como 67 y 76, que tienen igual comportamiento frente a este proceso.

La pregunta que se nos ocurre después de estos ejemplos, e incluso podemos intentarlo con algunos números más a ver qué ocurre, es:

Problema: ¿Se obtendrá siempre un número capicúa mediante este método iterativo, de sumar a un número su simétrico?

Este es un problema que aún está abierto, no se sabe si la respuesta es afirmativa o negativa. De hecho, el número 196, que no es un número muy grande, se desconoce si produce un número capicúa mediante este proceso iterativo. Veamos las primeras 26 iteraciones:

Desde la década de 1980, y haciendo uso de los ordenadores, se ha estado trabajando en realizar el mayor número de iteraciones posibles para ver si se alcanzaba un palíndromo, sin embargo, a día de hoy aún no se ha conseguido alcanzar un número con esta propiedad. En la actualidad, tenemos que Romain Dolbeau, con su programa “p196_mpi”, consiguió realizar en 2011 un billón de iteraciones, con las cuales alcanzó un número de más de 400 millones de dígitos, sin conseguir un número capicúa. Y en 2015 alcanzó un número con un billón de dígitos, sin conseguir el objetivo de llegar a un palíndromo. Por lo tanto, este es un problema abierto, aún se desconoce si empezando en el número 196, mediante el proceso iterativo “sumar el simétrico”, será posible obtener un número capicúa en algún momento, o si será este un proceso infinito, que nunca dará lugar a un palíndromo.

De hecho, se ha bautizado con el nombre de “números de Lychrel” (este nombre es un anagrama de Cheryl, el nombre de la novia, ahora mujer, de un matemático, Wade VanLandingham, que trabajaba en este tema), a aquellos números de los que se desconoce si generan un número palindrómico. Los primeros términos de la sucesión de estos números, etiquetada como A023108 en la Enciclopedia on-line de sucesiones de enteros de N. J. A. Sloane, son:

196, 295, 394, 493, 592, 689, 691, 788, 790, 879, 887, 978, 986, 1.495, 1.497, 1.585, 1.587, 1.675, 1.677, 1.765, 1.767, 1.855, 1.857, 1.945, 1.947, 1.997, …

Por otra parte, ya sabíamos que los números 887 y 1.675 también eran números de Lychrel, puesto que estaban en la sucesión de iteraciones del número 196. De hecho, se ha dividido a la familia de números de Lychrel en dos tipos de números, las “semillas”, que son los números más pequeños que generan un “hilo” de iteraciones, como el número 196, o los “familiares”, que son aquellos números que forman parte de un hilo generado por una “semilla”, como 887, 1.675 o 7.436, que están en el hilo del 196, o aquellos números que generan un mismo hilo que una semilla, como los números 295 (ya que, 295 + 592 = 887, que está en el hilo del 196, luego se genera este hilo a partir de 887), 394 (ya que, 394 + 493 = 887) o 689 (ya que, 689 + 986 = 1.675, que está en el hilo de 196). Dicho de otra forma, solamente hace falta estudiar las semillas, ya que los familiares tienen el mismo comportamiento que estas.

Solamente hay cuatro semillas menores que 10.000, que son 196, 879, 1.997 y 7.059, sin embargo, a partir de 10.000, ya hay muchas más semillas. Las siguientes son:

10.553, 10.563, 10.577, 10.583, 10.585, 10.638, 10.663, 10.668, 10.697, 10.715, 10.728, 10.735, 10.746, 10.748, 10.783, 10.785, 10.787, 10.788, 10.877, 10.883, 10.963, 10.965, 10.969, 10.977, 10.983, 10.985, 12.797, 12.898, etcétera.

Volviendo a los números que sí generan un número capicúa mediante el proceso “sumar el simétrico”, hemos visto que el número 89 necesitaba de 24 iteraciones para alcanzar el palíndromo. Otra cuestión que nos podemos plantear es si, salvo en el caso de los números de Lychrel, se necesitan muchas iteraciones para llegar al capicúa. El mayor número de iteraciones para un número de 3 dígitos es 187, que necesita 23 pasos para alcanzar el palíndromo. Con 4 cifras es el 1.297, que necesita 21 iteraciones.

Aunque, a día de hoy, el mayor número de iteraciones necesarias para obtener un número palindrómico, mediante este proceso, es de 261, que convierten el número 1.186.060.307.891.929.990, con 19 dígitos, en un número capicúa de 119 dígitos. En el siguiente cuadro se recogen los records de iteraciones necesarias para números de entre 2 y 19 dígitos.

Para terminar, me gustaría hacer un breve comentario sobre algunas familias de números capicúa. En el mundo de las matemáticas nos encanta “jugar” y estudiar las diferentes propiedades matemáticas con las que nos encontremos, solo por el placer del conocimiento. Así, en el caso de los números palindrómicos, se estudian las familias de estos números que además satisfacen otras propiedades matemáticas, como ser números cuadrados, cúbicos o cualquier otra potencia, números triangulares y otros números poligonales, o números primos, así mismo se estudian diferentes objetos matemáticos formados con números capicúas, como las ternas pitagóricas o los cuadrados mágicos.

Veamos algunos ejemplos. Recordemos que los números triangulares son aquellos que se pueden representar con piedras como un triángulo equilátero y que coinciden con aquellos que son la suma de los primeros números naturales, como 1 + 2 + 3 = 6 ó 1 + 2+ 3 + 4 = 10 (véanse las entradas El asesinato de Pitágoras, historia y matemáticas (y II) o La magia de los números (el teorema de Moessner)). Y la fórmula general de los números triangulares es T_n = n x (n – 1) / 2.

¿Existirán números triangulares capicúas? Sí, por ejemplo, los primeros números triangulares capicúas son:

T₁ = 1, T₂ = 3, T₃ = 6, T₁₀ = 55, T₁₁ = 66, T₁₈ = 171, T₃₄ = 595, T₃₆ = 666, T₇₇ = 3003, T₁₀₉ = 5995, T₁₃₂ = 8778, T₁₇₃ = 15051, …

Por cierto, que el número de la bestia (véanse las entradas 666, el número de la Bestia (I) y 666, el número de la Bestia (II)) es un número triangular capicúa. Se conocen 147 números triangulares capicúas.

Un campo en el que se está trabajando mucho es en el estudio de los números capicúas primos, como los números 131 o 757. A continuación, os dejo el listado de los primeros palíndromos primos:

2, 3, 5, 7, 11, 101, 131, 151, 181, 191, 313, 353, 373, 383, 727, 757, 787, 797, 919, 929, 10.301, 10.501, …

Vamos a terminar la entrada con tres cuadrados mágicos diabólicos (es decir, la suma de los elementos de las filas, de las columnas, de las diagonales principales, pero también de las diagonales no principales, que están partidas en dos partes), encajados, cada uno dentro del siguiente, formados con números capicúas, cuyas sumas mágicas son de nuevos números capicúas, 2.442 (en el central, de orden 4), 3.663 (en el de orden 6) y 4.884 (en el exterior de orden 8).

Bibliografía

1.- Clifford A. Pickover, El prodigio de los números. Desafíos, paradojas y curiosidades matemáticas, Ma Non Troppo (ediciones Robinbook), 2002.

2.- Clifford A. Pickover, La maravilla de los números. Un viaje por los secretos de las matemáticas, sus desafíos y caprichos, Ma Non Troppo (ediciones Robinbook), 2002.

3.- Harvey Heinz, Palindromes

4.- N. J. A. Sloane, The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, OEIS: sucesión A006960 (sucesión de números formados por la iteración “suma del simétrico” a partir del número 196)

5.- Romain Dolbeau, The p196_mpi page

6.- N. J. A. Sloane, The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, OEIS: sucesión A023108 (números de Lychrel)

7.- N. J. A. Sloane, The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, OEIS: sucesión A063048 (números de Lychrel semillas)

8.- Jason Doucette, World Records

9.- N. J. A. Sloane, The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, OEIS: sucesión A003098 (números triangulares capicúas)

10.- N. J. A. Sloane, The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, OEIS: sucesión A002385 (Números capicúas primos)

Sobre el autor: Raúl Ibáñez es profesor del Departamento de Matemáticas de la UPV/EHU y colaborador de la Cátedra de Cultura Científica