Elige un número entero positivo n. Encuentra los números positivos que lo dividen (es decir, el resto de la división es cero). Súmalos y resta a la cantidad obtenida el entero de partida n. A esa cantidad, s(n), se le llama suma alícuota de n. Por ejemplo, n=10, es divisible por 1, 2, 5 y 10. Así que s(10)=8.

Esta suma sirve para caracterizar ciertas clases notables de números. Por ejemplo,

• 1 es el único número cuya suma alícuota es 0.

• Un número n es primo si y solo si s(n)=1.

• Un número n es perfecto si coincide con su suma alícuota, es decir, s(n)=n. Por ejemplo, 6 es un número perfecto (sus divisores son 1, 2, 3 y 6).

• Un número n es deficiente si es mayor que su suma alícuota, es decir, s(n)<n. El 1 es el primer número deficiente. Y, obviamente, todos los números primos son también deficientes.

• Un número n es abundante si es menor que su suma alícuota, es decir, s(n)>n. El primer número abundante es el 12 ya que s(12)=16. Los números abundantes son los que no son ni perfectos ni deficientes.

• Un número n es quasiperfecto si s(n)=n+1. Aun no se ha encontrado ninguno de estos números…

• Un número n es casi perfecto si s(n)=n-1. Los únicos números casi perfectos conocidos (de momento) son las potencias de 2.

• Un número n se llama intocable si no existe ningún entero m de modo que s(m)=n. Abu Mansur al-Baghdadi demostró que 2 y 5 son intocables. Paul Erdős demostró que existen infinitos números intocables. Y aún se desconoce si 5 es el único número intocable impar.

¿Y qué sucede si se calcula la suma alícuota manera iterada? Es decir, ¿qué se obtiene al computar s(n), s²(n), s³(n),… y así sucesivamente? A {s(n), s²(n), s³(n),…} se le llama sucesión alícuota de n.

Por ejemplo, la sucesión alícuota de 10 es {10, 8, 7, 1} ya que:

• 10 es divisible por 1, 2, 5 y 10, con lo que s(10)=8.
• 8 es divisible por 1, 2, 4 y 8, con lo que s(8)=s²(10)=7.
• 7 es divisible por 1 y 7, con lo que s(7)=s³(10)=1.
• 1 es divisible solo por 1, con lo que a partir de este punto ya no puede repetirse el proceso.

Solo existen cuatro posibilidades para la sucesión alícuota de un número entero (a priori, porque se desconoce si existen ejemplos de todas ellas):

1. que sea finita y termine en 1 (en este caso, el anteúltimo número de la sucesión es un primo). Un ejemplo es n=10;

2. que sea finita y termine en un número perfecto. Un ejemplo es n=6, para el que s^k(6)=6 para todo entero positivo k;

3. que sea finita y termine en un par de números amigos (como 220 y 284) o en un ciclo (como el caso de los números sociables);

4. que sea infinita.

Para n=276 no se sabe si su sucesión alícuota es finita o infinita. De momento se ha calculado hasta el término 469 de la sucesión:

s⁴⁶⁹(276)=149 384 846 598 254 844 243 905 695 992 651 412 919 855 640.

¿Volverá a descender esa cantidad para algún s^k(276) con k mayor que 469? Se desconoce en este momento. Pero podría suceder porque, por ejemplo, para n=138, existe un k en el que se alcanza un “pico”, s^k(138)= 179 931 895 322, y la sucesión empieza a descender a partir de ese momento hasta llegar a un 1.

Aunque esto parece un mero juego, existen muchas conjeturas alrededor de sumas y sucesiones alícuotas que mantienen a muchas personas ocupadas y ¡haciendo matemáticas serias!

Referencias

• Aliquot sequences, Futility Closet, 12 junio 2019
• Jean Luc Garambois, Aliquot sequences
• Wolfgang.Creyaufmueller, Aliquot sequences,
• Juan Luis Varona, Aliquot sequences
• Aliquot sequences, OEIS

• Richard K. Guy and J. L. Selfridge, What Drives an Aliquot Sequence ?, Maths of Computation 29 (1975) 101-110

Sobre la autora: Marta Macho Stadler es profesora de Topología en el Departamento de Matemáticas de la UPV/EHU, y colaboradora asidua en ZTFNews, el blog de la Facultad de Ciencia y Tecnología de esta universidad.