6.174, un número seductor

Matemoción

Mientras escribía mi último libro Números primos, amigos y demás familia (Catarata, 2021), que estará en las librerías en abril, he descubierto números con propiedades muy curiosas e interesantes, entre ellos, la constante de Kaprekar.

Número 6.174 realizado con las Tarjetas de Cumpleaños Art Nouveau de la diseñadora estadounidense Laura Beckman. Imágenes de la página de Laura Beckman

El número 6.174 es aparentemente un número de lo más normal, un número de esos que no llamaría nuestra atención, sin embargo, posee una propiedad matemática que parece pura magia. En 1949 el matemático recreativo indio Dattatreya Ramchandra Kaprekar (1905–1986) publicó el artículo Another Solitaire Game, en la revista Scripta Mathematica, en el que describía las curiosas propiedades que había descubierto sobre el 6.174, aunque fue la publicación en la columna Mathematical Games de Martin Gardner en la revista Scientific American, lo que le daría un mayor reconocimiento.

Consideremos un número de cuatro dígitos cualquiera, tal que estos no sean todos iguales (por ejemplo, 6.282), con sus dígitos escribimos los números mayor y menor que se pueden representar, es decir, 8.622 y 2.268, y los restamos

8.622 – 2.268 = 6.354.

Ahora repetimos este proceso,

6.543 – 3.456 = 3.087.

Seguimos con el mismo proceso,

8.730 – 0378 = 8.352.

Este parece un proceso artificial en el que se irán generando números sin parar. Sin embargo, en el siguiente paso se alcanza el número 6.174, ya que

8.532 – 2.358 = 6.174.

Y nuestro número 6.174 es un número particular respecto a este proceso ya que este se estaciona y siempre queda 6.174.

7.641 – 1.467 = 6.174.

Al proceso descrito se le llama algoritmo de Kaprekar y lo sorprendente es que siempre –salvo para números con los cuatro dígitos iguales– se llega a la denominada constante de Kaprekar, el número 6.174. Veamos otro ejemplo. Si empezamos con el número de cuatro dígitos –recordemos que no todos iguales– 3.631, la sucesión de números que nos da el algoritmo de Kaprekar es

6.331 – 1.336 = 4.995;

9.954 – 4.599 = 5.355;

5.553 – 3.555 = 1.998;

9.981 – 1.899 = 8.082;

8.820 – 0288 = 8.532;

8.532 – 2.358 = 6.174;

donde se estaciona el proceso, ya que hemos llegado a la constante de Kaprekar. Mientras que en el primer ejemplo habíamos necesitado de cuatro pasos, en este han sido necesarios seis pasos.

Si todos los dígitos del número son iguales, como 7.777, entonces el algoritmo de Kaprekar se estaciona en el primer paso, llegando a cero, ya que el mayor y el menor número que se puede formar con esos dígitos es el mismo 7.777, y entonces 7.777 – 7.777 = 0.

Número 6.174 realizado con la tipografía numérica diseñada por Muokkaa Studio (que es el diseñador madrileño Alejandro López Becerro). Imágenes de la página de Moukkaa en Behance

Por lo anteriormente visto, sabemos que el número 6.174 es un punto fijo del algoritmo de Kaprekar, es decir, al aplicarlo a él mismo, nos vuelve a dar ese número: 7.641 – 1.467 = 6.174. Una de las cuestiones que nos podríamos haber planteado inicialmente es el cálculo de todos los puntos fijos que existen para ese algoritmo. Veamos, a continuación, una idea de la prueba de que realmente la constante de Kaprekar es el único punto fijo posible.

Sea un número de cuatro dígitos, no todos ellos iguales, entonces podemos expresar al mayor número que se puede representar con sus cuatro dígitos como abcd, donde 0 ≤ abcd ≤ 9, y al menor como dcba, luego la resta de ambos será un número ABCD tal que

de donde se obtienen las siguientes relaciones:

D = 10 + d a (a > d)

C = 10 + c 1 b = 9 + c b (b > c 1)

B = b 1 c (b > c)

A = ad.

Como buscamos un punto fijo, sabemos que {A, B, C, D} = {a, b, c, d}, salvo el orden. Como existen 4! = 24 permutaciones (ordenes) posibles de {a, b, c, d}, si probamos todas ellas veremos que el anterior sistema con cuatro ecuaciones y cuatro incógnitas (a, b, c, d) tiene solución única solo cuando A = b, B = d, C = a, D = c. Además, en ese caso la solución única es precisamente a = 7, b = 6, c = 4 y d = 1.

Número 6.174 realizado con las dos tipografías de la UPV/EHU, sin y con serif

La siguiente cuestión matemática sería demostrar esta propiedad mágica, es decir, que para cualquier número de cuatro dígitos, tal que estos no sean todos iguales, el algoritmo de Kaprekar llega siempre a la contante de Kaprekar, 6.174. Más aún, se puede probar que el número de pasos para llegar a la constante es como mucho siete. Para quien esté interesado en la demostración de esta propiedad puede consultarla en la literatura que existe sobre esta cuestión, por ejemplo, en el artículo The weirdness of number 6174, de Yutaka Nishiyama.

En los ejemplos que se han mostrado en esta entrada del Cuaderno de Cultura Científica, hemos visto que para el número 6.282 se necesitan 4 iteraciones del algoritmo de Kaprekar para llegar a la constante 6.174 y para el número 3.631 se necesitan 6 iteraciones. En el siguiente diagrama vemos la cantidad de números de cuatro dígitos, no todos ellos iguales, que necesitan una cantidad dada de iteraciones para alcanzar el 6.174.

Esta interesante propiedad descubierta por el matemático recreativo indio Dattatreya Ramchandra Kaprekar para números de cuatro dígitos la podríamos pensar para números con otras cantidades de dígitos.

Para números con dos dígitos veamos, para empezar, un ejemplo. Si tomamos el número 53 y realizamos el algoritmo de Kaprekar, la sucesión de números que aparecen es 18, 63, 27, 45, 09, 81 y se repetiría el ciclo 63, 27, 45, 09, 81 todo el tiempo. De hecho, esta situación es la general, para cualquier número de dos dígitos, tal que estos no sean todos iguales, el algoritmo de Kaprekar llega siempre al ciclo 63, 27, 45, 09, 81. Por lo tanto, no existe una contante de Kaprekar de dos dígitos.

Si tomamos un número de tres dígitos, como 184, entonces el algoritmo de Kaprekar da lugar a la sucesión 693, 594 y 495, siendo este último un punto fijo en el que se estaciona la sucesión. De hecho, para números de tres dígitos el número 495 es una constante de Kaprekar, la única para esta cantidad de dígitos.

No existe una constante de Kaprepkar para números de cinco dígitos. Para estos lo que ocurre es que el algoritmo de Kaprekar terminará en alguno de los ciclos siguientes:

Ciclo 1: 53.955, 59.994, 53.955;

Ciclo 2: 61.974, 82.962, 75.933, 63.954, 61.974;

Ciclo 3: 62.964, 71.973, 83.952, 74.943, 62.964.

Mientras que para seis dígitos tenemos una mezcla de las situaciones anteriores. Existen dos constantes de Kaprekar (549.945 y 631.764), es decir, puntos fijos del algoritmo de Kaprekar, a las que convergerán muchas de las sucesiones de números construidas mediante este algoritmo, y un ciclo (420.876, 851.742, 750.843, 840.852, 860.832, 862.632, 642.654, 420.876).

En la Enciclopedia on-line de sucesiones de números enteros (oeis.org [https://oeis.org/]), de N. J. A. Sloane, podéis encontrar la sucesión de constantes de Kaprekar. Es la sucesión etiquetada como A099009, cuyos primeros elementos son:

495, 6.174, 549.945, 631.764, 63.317.664, 97.508.421, 554.999.445, 864.197.532, 6.333.176.664, 9.753.086.421, 9.975.084.201, 86.431.976.532, 555.499.994.445, 633.331.766.664, 975.330.866.421, 997.530.864.201, 999.750.842.001, 8.643.319.766.532, 63.333.317.666.664, etc.

Crunching Numbers, del artista Dennis Kalow. Imagen de la página del artista en Society of Minnesota Sculptors

Bibliografía

1.- Raúl Ibáñez, Números primos, amigos y demás familia, Catarata, 2021.

2.- Martin Gardner, Los números mágicos del doctor Matrix, Gedisa, 2019.

3.- David Wells, The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers, Penguin Books, 1986.

4.- Yutaka Nishiyama, The weirdness of number 6174, International Journal of Pure and Applied Mathematics, vol. 80, no. 3, pp. 363 – 373, 2012.

5.- Wikipedia: Kaprekar routine

Sobre el autor: Raúl Ibáñez es profesor del Departamento de Matemáticas de la UPV/EHU y colaborador de la Cátedra de Cultura Científica

4 comentarios

  • Avatar de Kaeldran

    No soy matemático así que he debido de perderme en algún punto, pero:
    <>

    Entiendo que lo de que no sean todos iguales es porque, de serlo, ordenados en una dirección y en otra son iguales y por tanto su resta es cero y este es otro «punto estanco» distinto del 6174.

    Siendo así, cualquier » cualquier número de cuatro dígitos, tal que estos no sean todos iguales» pero que en alguna de sus iteraciones se convierta en un numero con todos los dígitos iguales, llegará al punto estanco de 0 y no al de 6174.

    Por ejemplo 1222, 2122, 2212, 2221:
    2221-1222 = 999
    999-999 = 0

    Lo mismo pasaría con el 1000, con las variantes del 3222, 4333… y esto solo para el 999

    No soy matemático con lo que no sabría calcular si existe alguno que que en sus iteraciones de 888, o 66.

    Imagino que en el cuadro con cuantas iteraciones necesita cada numero de 4 cifras, el total es de 8991 (diezmil menos los 9 número de 4 cifras todos iguales, menos los mil numero que no llegan a 4 cifras), la opción es que llegue a 6174 o a 0, no solo al primero.

    Muchas gracias por un artículo tan ameno.

    • Avatar de RAUL IBAÑEZ TORRES

      Querido amigo,

      Efectivamente, como se comenta en el artículo, cuando se toma un número de cuatro dígitos, todos ellos iguales, como 7.777, efectivamente el algoritmo de Kaprekar va a cero, ya que 7.777 – 7.777 = 0000.

      Sin embargo, como se dice en el texto, se consideran números de cuatro dígitos, de forma que si tenemos 1222, entonces 2221 – 1222 = 0999, luego en la siguiente iteración de Kaprekar se tiene que 9990 – 0999 = 8991, y no cero. Y si seguimos se va obteniendo 8082, 8532 y la constante de Kaprekar, 6147.

      Un abrazo, Raúl

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