Se propone el siguiente juego a un grupo de nueve personas. A cada una de ellas se le coloca un monigote en la espalda de color rojo, negro o blanco. Como es lógico, cada persona puede ver los monigotes de sus colegas, pero no el suyo.

El color del monigote que se sitúa en la espalda de cada persona se decide al azar. Esto puede hacerse, por ejemplo, tirando un dado: si sale 1 o 2, el monigote será blanco, será rojo si en la tirada resulta 3 o 4, y será blanco si el dado muestra el 5 o el 6.

El promotor del juego explica que cada jugador debe adivinar el color del monigote que lleva en su espalda viendo los monigotes del resto de sus compañeros. Además, les comenta que, si al menos tres de ellos dan la respuesta correcta, el grupo completo ganará una visita (con todos los gastos pagados) al MoMath en Nueva York.

Se permite a los jugadores acordar una estrategia antes de poner los monigotes en sus espaldas. Pero, una vez realizada esta acción, ya no pueden hablar entre ellos y todos deben decir al mismo tiempo el color de su monigote.

¿Existe alguna estrategia ganadora? El premio prometido es lo suficientemente “jugoso” como para animarse a pensar un poco…

Una estrategia ganadora para adivinar el color del monigote

Los jugadores se dividen en tres grupos de tres personas: grupo A (A₀, A₁ y A₂),

grupo B (B₀, B₁ y B₂) y grupo C (C₀, C₁ y C₂). Cada uno de estos grupos tiene como objetivo que uno de sus componentes responda correctamente al reto propuesto.

Se asigna un número del 0 al 2 a cada uno de los colores, por ejemplo, 0 para el blanco, 1 para el rojo y 2 para el negro. La solución pasa por recordar la noción de aritmética modular, en particular, de las congruencias módulo 3. Cualquier número entero n es o bien múltiplo de 3, o bien congruente con 1 módulo 3 (es decir, de la forma n = 3a + 1, donde a es un número entero positivo), o bien congruente con 2 módulo 3 (es decir, de la forma n = 3a + 2, donde a es un número entero positivo).

El jugador A₀ jugará proponiendo como color para su monigote, aquel tal que la suma de los tres colores del grupo A sea 0, 3 o 6, es decir, un número congruente con 0 módulo 3. Aclarémoslo con unos ejemplos. Si A₀ ve que sus compañeros A₁ y A₂ llevan monigotes de color 1 y 1, entonces apuesta que él también lleva el color 1 en la espalda. Si ve en la espalda de sus colegas los colores 2 y 1, él apostará por el 0, y así sucesivamente.

El jugador A₁ propondrá para su monigote el color tal que la suma de los tres colores del grupo A sea 1 o 4, es decir, un número congruente con 1 módulo 3.

Por ejemplo, si A₁ ve que sus compañeros A₀ y A₂ llevan monigotes de color 1 y 1, entonces apuesta que él lleva el color 2 en la espalda. Si ve en la espalda de sus colegas los colores 2 y 1, él apostará por el 1, y así sucesivamente.

El jugador A₂ propondrá para su monigote el color tal que la suma de los tres colores del grupo A sea 2 o 5, es decir, un número congruente con 2 módulo 3.

Por ejemplo, si A₂ ve que sus compañeros A₀ y A₁ llevan monigotes de color 1 y 1, entonces apuesta que él lleva el color 0 en la espalda. Si ve en la espalda de sus colegas los colores 2 y 1, él apostará por el 2, y así sucesivamente.

Uno de los tres tiene que haber acertado el color de su monigote, ya que la suma de los tres colores del grupo A es congruente con:

1. 0 módulo 3, en cuyo caso A₀ habrá acertado. Corresponde al caso en el que se apuesta a que los tres monigotes sean de color blanco, los tres sean de color rojo, los tres de color negro o cada uno sea de un color diferente.

2. 1 módulo 3, en cuyo caso A₁ habrá acertado. Corresponde al caso en el que se apuesta a que hay dos monigotes blancos y uno rojo, uno blanco y dos negros, o dos rojos y uno negro.

3. 2 módulo 3, en cuyo caso A₂ habrá acertado. Corresponde al caso en el que se apuesta a que hay dos monigotes blancos y uno negro, uno blanco y dos rojos, o uno rojo y dos negros.

Los jugadores del grupo B establecen un método similar, al igual que los del grupo C. En cada uno de los grupos un jugador, y solo uno, adivinará el color del monigote que lleva a su espalda. Así, exactamente tres jugadores habrán adivinado correctamente su color, y por lo tanto habrán conseguido ganar… y visitar ese estupendo museo de las matemáticas en Nueva York.

Referencia

Jean-Paul Delahaye, Encore une histoire de chapeaux, Accromath 17.2, été-automne 2022

Sobre la autora: Marta Macho Stadler es profesora de Topología en el Departamento de Matemáticas de la UPV/EHU, y colaboradora asidua en ZTFNews, el blog de la Facultad de Ciencia y Tecnología de esta universidad