Faltan tres días para que llegue el 1 de abril, día en el que, en muchos países del mundo, se celebra lo que correspondería a nuestro Día de los inocentes: es el April Fools Day en EE. UU., Reino Unido y algunos otros países; el Día da mentira en Brasil, Le Poisson d’Avril en Francia, el Pesce d’aprile en Italia o el Aprilscherz en Alemania. El siguiente problema de lógica es muy adecuado para celebrar este día…
BAK y KAB
Juana ha llegado a un país en el que “sí” y “no” se dicen (aunque no necesariamente en este orden) “BAK” y “KAB”. Ha encontrado a una persona que habla castellano y le ha preguntado: ¿“KAB” es “sí”? Y le ha respondido: “KAB”. ¿Qué significa “KAB”?
Razonemos para intentar responder esta pregunta. Si “KAB” fuera “sí”, la respuesta dada por el lugareño sería correcta. Pero si “KAB” fuera “no”, ¡la contestación también sería correcta! Juana no ha realizado la pregunta adecuada… Y la persona que le ha respondido quizás se esté mofando un poco de ella (podría haber respondido en castellano). ¡Nos quedamos sin saber el significado de “BAK” y “KAB”!
Seguimos aplicando la lógica para resolver el siguiente problema.
La nota del test
En una prueba de 20 preguntas, se suman 8 puntos por cada pregunta acertada, se restan 5 por cada respuesta equivocada y se puntúan con 0 las preguntas no respondidas. La nota obtenida por Pedro es de 13. ¿Cuántos problemas ha resuelto correctamente?
Si Pedro hubiera respondido correctamente a todas las cuestiones, habría tenido 160 puntos; ¡13 no parece una muy buena nota!
Llamamos x a la cantidad de preguntas bien resueltas e y al número de las falladas. El enunciado indica que 8x – 5y = 13. Al ser 13 = 8 + 5, escribimos esta ecuación del modo:
8 (x – 1) = 5 (y +1).
Como 5 y 8 son coprimos, y + 1 debe de ser múltiplo de 8; además es menor o igual a 21 (y es menor o igual a 20, la cantidad de preguntas del test). Luego y + 1 es igual a 8 o 16 (los únicos múltiplos de 8 menores o iguales a 21).
Si y + 1 = 16, la anterior ecuación sería 8 (x – 1) = 5 (y +1) = 80, con lo que x – 1 = 10, es decir, x = 11. Pero este resultado es imposible, porque x + y = 11 + 15 = 26, que es una cantidad mayor que las 20 preguntas planteadas.
Así que, debe ser y + 1 = 8. La ecuación anterior quedaría 8 (x – 1) = 5 (y +1) = 40, con lo que x – 1 = 5, es decir, x = 6. Es decir, Pedro ha contestado correctamente a 6 preguntas, ha fallado 7 y ha dejado en blanco otras 7. Realmente, ¡Pedro no se ha preparado mucho para esta prueba!
Pasamos a un problema cuyo enunciado está muy en la línea del día de las bromas que se celebra dentro de unos días.
El panadero, el pastor y el pianista
Paco Panadero, Pedro Pastor y Pablo Pianista trabajan como panadero, pastor y pianista. Viven en la Calle del panadero, el Camino del pastor y la Avenida del pianista. Se sabe que ninguno se dedica a la profesión ni vive en la calle que corresponde a su apellido. Se conoce también que el pastor vive en la Calle del panadero y que el panadero vive en la Avenida del pianista. ¿A qué se dedican y dónde viven Paco Panadero, Pedro Pastor y Pablo Pianista?
Razonemos con método. Paco Panadero no puede ser pastor, porque el pastor vive en la Calle del panadero. Como tampoco puede ser panadero, debe de ser el pianista; y debe vivir entonces en el Camino del pastor.
Pedro Pastor no pude ser ni pastor ni pianista, así que es panadero y vive entonces en la Avenida del pianista.
Finalmente, Pablo Pianista es pastor y, como se dice en el enunciado, vive en la Calle del panadero…
¡Misterio resuelto! Finalicemos con un reto que quizás no tenga solución única.
Las lecturas de Eva
Eva está leyendo un libro que tiene entre 400 y 500 páginas. Se sabe que, si lee 6 páginas al día, el último día le quedarían solo 3 páginas para terminar su libro. Y también se sabe que, si lee 7 páginas al día, el último día de lectura le quedarían únicamente 5 páginas. ¿Cuántas páginas tiene el libro de Eva?
Llamemos P al número de páginas; el enunciado indica que:
P = 6M + 3 = 7N + 5,
donde M y N son enteros positivos. Como 6M + 3 es mayor o igual a 400 y menor o igual a 500, se deduce que 6M es mayor o igual a 397 y menor o igual a 497, luego (al ser M entero), M estará comprendido entre 67 y 82. Argumentando del mismo modo, se comprueba que N toma valores entre 57 y 70.
Además, como 6M = 7N + 2, se deduce que N es par, es decir, es de la forma N = 2L (con L un entero positivo). Así, 6M = 14L + 2, es decir, 3M = 7L + 1. Como 3M – 1= 7L, 7L es congruente con 2 módulo 3i. Y como 3 y 7 son coprimos, L es congruente con 2 módulo 3, es decir, L = 2 + 3R, donde R es un entero.
Así, 3M = 7L + 1 = 21R + 15, luego M = 7R + 5. Y como 7N = 6M – 2, reemplazando M por 7R + 5, se deduce que N = 6R + 4.
Como M está comprendido entre 67 y 82 (y M = 7R + 5), R está comprendido entre 9 y 11, es decir, toma los valores 9, 10 u 11. Existen entonces tres posibles soluciones, que se indican en la siguiente tabla:
No sabemos con seguridad el número de páginas que tiene el libro de Eva…
¿Son 453?
¡KAB!
Referencias
Estas propuestas se han extraído y adaptado del Calendrier Mathématique 2023. Structurer le monde (Presses Universitaires de Grenoble, 2022):
- BAK y KAB, 30 de octubre
- La nota del test, 3 de mayo
- Las lecturas de Eva, 20 de julio
El panadero, el pastor y el pianista, extraído y adaptado de: Georges Perec, Jeux intéressants, Zulma, 2008.
Nota:
iEsta notación procede de la aritmética modular, en particular, de las congruencias módulo 3. Cualquier número entero n es o bien múltiplo de 3, o bien congruente con 1 módulo 3 (es decir, de la forma n = 3a + 1, donde a es un número entero positivo), o bien congruente con 2 módulo 3 (es decir, de la forma n = 3a + 2, donde a es un número entero positivo).
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Sobre la autora: Marta Macho Stadler es profesora de Topología en el Departamento de Matemáticas de la UPV/EHU, y colaboradora asidua en ZTFNews, el blog de la Facultad de Ciencia y Tecnología de esta universidad
