En esta entrada del Cuaderno de Cultura Científica recuperamos un tema clásico de la sección Matemoción, la conocida sucesión de Fibonacci. En concreto, vamos a mostrar que se puede construir un árbol relacionado con la sucesión de números en la que cada término es igual a la suma de los dos términos anteriores, siendo los dos primeros 1 y 1, esto es, la sucesión de Fibonacci:

De los conejos al árbol de Fibonacci

La sucesión de Fibonacci fue introducida, al menos en Europa (en la entrada El origen poético de los números de Fibonacci puede leerse cómo surgió el conocimiento de esta sucesión en la India, en relación con la poesía en sánscrito), por el matemático italiano Leonardo de Pisa (1170-1241), a quien se le conocía como Fibonacci, esto es, hijo de Bonaccio, en su libro Liber Abaci / El libro del ábaco (1202), como solución a uno de los problemas de ingenio que se planteaban en el mismo.

Recordemos, una vez más, el problema en cuestión:

“Consideremos una familia de conejos con la característica de que tardan un mes en ser fértiles. Cuando han alcanzado la fertilidad, cada pareja se aparea teniendo al mes siguiente (cada hembra) una pareja de crías (un macho y una hembra) que de nuevo tardarán en ser fértiles un mes y entonces se aparearán. ¿Cuántas parejas de conejos habría al cabo de un tiempo dado, por ejemplo, un año?”

La respuesta a este problema se puede obtener estudiando qué es lo que ocurre durante los primeros meses, como se muestra en la siguiente imagen, e intentando deducir la respuesta general. En la parte de arriba se cuenta el paso del tiempo (cuántos meses van pasando, al finalizar cada mes) y en la parte de abajo la cantidad de parejas de conejos (asumiendo que no se muere ninguna y se reproducen como describe el problema, se aparean cada mes y tienen crías cada mes, cuando son fértiles claro). Imaginemos que partimos (0 arriba) de una pareja (1 abajo), como tarda un mes en ser fértil, al finalizar ese primer mes (1 arriba) sigue habiendo una pareja de conejos (1 abajo). Al finalizar el segundo mes (2 arriba) la pareja original habrá tenido su primera pareja de crías (un macho y una hembra, como reza el problema), luego hay 2 parejas de conejos (2 abajo). Al finalizar el siguiente mes, el tercero (3), estarán la pareja original, una nueva pareja de crías de la misma y la pareja de crías que había nacido el mes anterior, pero que aún son jóvenes para tener crías y no lo harán hasta el mes siguiente, luego 3 parejas de conejos.

Aunque el esquema es bastante claro, veamos qué ocurre al finalizar el cuarto mes. Como estamos asumiendo que las parejas de conejos no se mueren, seguirán las tres parejas que estaban el mes anterior (3), más las nuevas parejas de crías que nazcan ese mes, pero para saber cuántas son es necesario conocer cuántas son fértiles, que lo son la pareja original y la primera pareja de crías que tuvieron, es decir, las 2 parejas que estaban dos meses antes (2), en conclusión, 3 + 2 = 5 parejas de conejos. Otro tanto ocurre al término del quinto mes, que estarán 8 parejas de conejos, las del mes anterior (5), más las nuevas parejas de crías, cuya cantidad es igual a las parejas de conejos de dos meses antes (3), 8 = 5 + 3.

Está claro, por el razonamiento anterior, que la solución del problema de los conejos de Fibonacci es una sucesión de números en la que cada término F_n es la suma de los dos anteriores F_{n – 1} + F_{n – 2}, siendo los dos primeros términos F₁ = F₂ = 1. Por lo tanto, al cabo de un año, doce meses, como pregunta el problema, la solución será F₁₂, es decir, 144, si miramos a los primeros términos de la sucesión más arriba.

El matemático polaco Hugo Steinhaus (1887-1972), en su famoso libro de divulgación de las matemáticas Mathematical Snapshots / Instantáneas matemáticas (1938), introduce la sucesión de Fibonacci con la propiedad de que cada término es la suma de los dos anteriores y lo relaciona, a posteriori, con un problema sobre el crecimiento de las ramas de un árbol. En concreto, Steinhaus escribe

Si un árbol produce una nueva rama después de un año, y siempre descansa durante un año, produciendo otra nueva rama sólo en el año siguiente, y si la misma ley se aplica a cada rama, entonces, en el primer año deberíamos tener sólo el brote principal, en el segundo – dos ramas, en el tercero – tres, luego 5, 8, 13, etc…

A este árbol que describe Steinhaus le podríamos denominar árbol de Fibonacci (biológico). Aunque volveremos al final de la entrada sobre el árbol de Fibonacci biológico, vamos a introducir, a continuación, el árbol de Fibonacci desde el punto de vista de la teoría de grafos.

Un árbol definido de forma recursiva

Antes de definir el concepto de árbol de Fibonacci, desde el punto de vista de la teoría de grafos, recordemos algunos conceptos sencillos de la misma.

– Grafo. Un grafo está formado por un conjunto de puntos, llamados vértices, y un conjunto de aristas, cada una de las cuales une dos vértices (aunque los grafos pueden tener bucles, aristas que unen un vértice consigo mismo, en este contexto no nos interesa esta posibilidad). Salvo que se diga lo contrario un grafo tiene un número finito de vértices y aristas.

– Grado de un vértice. Se llama grado de un vértice al número de aristas que inciden en el mismo (si hubiese un bucle, esa arista se contaría como dos).

– Camino. Un camino es una sucesión de vértices y aristas, que se inicia en un vértice y se termina en otro.

– Camino simple y ciclo. Un camino en el que no se repite ningún vértice se llama camino simple, y si es cerrado, se dice que es un ciclo.

– Grafo conexo. Un grafo en el que cada par de vértices está conectado, al menos, por un camino simple, se dice que es conexo.

– Árbol. Un grafo en el que cualesquiera dos vértices están conectados exactamente por un camino es un árbol. Equivalentemente, es un grafo conexo que no posee ciclos.

– Árbol con raíz. Si en un árbol se considera que uno de los vértices es especial, y se le denomina raíz, se dice que es un árbol con raíz, además, ese vértice (raíz) se suele considerar un punto inicial y las aristas se suelen considerar dirigidas alejándose de la raíz.

Ahora ya contamos con las definiciones pertinentes para definir el árbol de Fibonacci. Se definen, de forma recursiva, los árboles (con raíz) de Fibonacci, como los árboles T_n, tales que:

A. T₁ y T₂ son dos árboles con raíz que consisten solo en la raíz, es decir, un vértice;

B. Para n mayor que 2, T_n es el árbol con raíz que tiene a T_{n – 1} como subárbol a izquierda y T_{n – 2} como subárbol a derecha, es decir, se construye con una raíz, de la que salen dos aristas, una de ellas (la de la izquierda) va a la raíz del árbol T_{n – 1}, y se continua con el mismo, mientras que en la otra (la de la derecha) se coloca el árbol T_{n – 2}.

Veamos el proceso recursivo de construcción, que se muestra en la siguiente imagen para los primeros pasos, n = 1, 2, 3, 4, 5.

Veamos cómo se construiría ahora el árbol de Fibonacci T₆. Como describe el proceso de construcción, se empieza con un vértice arriba (la raíz), del que salen dos aristas. En la de la izquierda se coloca el árbol T₅, mientras que en la de la derecha el árbol T₄, obteniendo así el árbol T₆, que se muestra en la siguiente imagen.

Ahora, veamos la relación de estos árboles con la sucesión de Fibonacci. La principal es que si contamos los vértices que están en el extremo opuesto a la raíz de cada árbol de Fibonacci, es decir, los vértices finales del árbol con raíz (los que tienen grado 1), obtendremos los números de la sucesión de Fibonacci (la misma cantidad que si miramos las aristas finales). Si nos fijamos en las anteriores imágenes los vértices finales son 1, 1, 2, 3, 5 y 8. Es lógico que nos salgan los números de Fibonacci F_n, puesto que, por la construcción de cada árbol, a partir de los dos anteriores, los vértices finales del árbol T_n son igual a la unión de los vértices finales de T_{n – 1} y T_{n – 2}, luego contando esos vértices, tenemos la relación F_n = F_{n – 1} + F_{n – 2}, y empezamos con un solo vértice, las raíces, en los dos primeros pasos.

¿Está este árbol relacionado con el problema de los conejos de Fibonacci? La respuesta, como no podía ser de otra manera, es afirmativa. Si consideramos el esquema de la solución del problema planteado por Leonardo de Pisa (observemos la imagen de arriba), podemos construir para cada paso, es decir, para cada nuevo mes, un árbol (en el sentido de grafo), que consiste en considerar como vértices las parejas de conejos en el esquema y como aristas la unión de cada pareja de un cierto mes con ella misma en el mes siguiente y su nueva pareja de crías, si la han tenido, si no nada más, es decir, igual que las fechas del esquema.

Si comparamos los dos grafos, para un paso cualquiera, por ejemplo, n = 6, el árbol de Fibonacci y el árbol que acabamos de asociar a la solución experimental del problema de los conejos del Liber Abaci, observaremos que son iguales (en la siguiente imagen hemos volteado el árbol de Fibonacci, cambiando derecha e izquierda, para facilitar la comparación), salvo que en el árbol de la solución del problema aparecen un vértice y una arista iniciales (que se corresponde con el punto inicial, el mes 0).

Más aún, si colocamos el árbol asociado con la resolución del problema con el vértice inicial (raíz) abajo, observaremos que es esencialmente el árbol (biológico) de Fibonacci.

¿Cuántos vértices y aristas tiene el árbol de Fibonacci?

Ya hemos comentado que la cantidad de vértices, respectivamente, aristas, finales del árbol de Fibonacci T_n es el correspondiente número de Fibonacci F_n, pero contemos más elementos de ese grafo. Por ejemplo, ¿cuántos vértices tiene el árbol de Fibonacci? ¿cuántos son interiores y exteriores? ¿cuántas aristas tiene?.

Si denotamos por v(T_n) el número de vértices del árbol T_n, entonces, por el proceso de construcción del árbol de Fibonacci T_n, que está formado por la nueva raíz junto con los árboles T_{n – 1} y T_{n – 2},es claro que

Si calculamos ahora los vértices para los primeros casos, n = 1, 2, 3, 4, 5, 6 (arriba podemos ver las imágenes de estos árboles de Fibonacci), tenemos que v(T₁) = 1, v(T₂) = 1, v(T₃) = 3, v(T₄) = 5, v(T₅) = 9 y v(T₆) = 15. Si los comparamos con los números de Fibonacci (F₁ = 1, F₂ = 1, F₃ = 2, F₄ = 3, F₅ = 5, F₆ = 8), podemos realizar la siguiente hipótesis:

Vamos a demostrar la anterior fórmula por inducción. En primer lugar, se cumple para los primeros casos, como acabamos de comprobar. En segundo lugar, vamos a asumir que se cumple para los árboles T_k, con k menor o igual que n – 1, y vamos a demostrarlo para el árbol T_n:

Por lo tanto, ya tenemos una fórmula general para el número de vértices del árbol de Fibonacci T_n, y su relación con el correspondiente número de Fibonacci F_n.

Los vértices del árbol T_n se pueden dividir en dos tipos, los exteriores (cuyo grado es 1, que son los que se llaman “hojas” del árbol, como grafo) y los interiores (cuyo grado es mayor que 1, llamados “nudos”, salvo la raíz, que tiene ya nombre asignado), v(T_n) = ve(T_n) + vi(T_n). Como sabemos que ve(T_n) = F_n y v(T_n) = 2 F_n – 1, entonces sabemos también la cantidad de vértices interiores, vi(T_n) = F_n – 1.

Respecto al número de aristas del árbol T_n, que podemos denotar e(T_n), es fácil darse cuenta de que es igual al número de vértices del árbol menos 1, es decir, e(T_n) = v(T_n) – 1. Por lo tanto, e(T_n) = 2F_n – 2.

Retorno al árbol de Fibonacci biológico

Si consideramos el árbol de Fibonacci biológico, por ejemplo, como el árbol (grafo) asociado al problema de los conejos (véase la imagen siguiente, en la cual hemos disminuido el tamaño de los vértices y pintado vértices y aristas de marrón) observaremos que la propia construcción del árbol no nos proporciona un grosor para las ramas, que podrían considerarse, de hecho, todas del mismo grosor. En este último apartado vamos a ver cómo darle grosor a las mismas, utilizando la sucesión de Fibonacci, para crear un árbol de Fibonacci “más realista”, en el sentido de que, en cierta medida, las ramas más jóvenes son más delgadas que las ramas más viejas.

Para darle grosor a las ramas vamos a considerar que las ramas más jóvenes, las que se corresponden con aristas exteriores, las aristas que terminan en vértices exteriores (que sabemos que hay tantas ramas exteriores como el número de Fibonacci correspondiente, es decir, el árbol T_n tiene F_n ramas exteriores), tienen el grosor básico (de 1 unidad). A partir de ahí, hacia la raíz, cada rama tendrá un grosor que es igual a la suma de los grosores de las ramas más jóvenes, que surgen de la misma. En la siguiente imagen vemos cómo sería para el árbol de Fibonacci de cinco años, es decir, T₆. Así, si dos ramas jóvenes (de grosor 1) vienen de una misma rama, esta tiene grosor 1 + 1 = 2; cuando dos ramas de grosores 1 y 2, respectivamente, vienen de una misma rama, esta tiene grosor 1 + 2 = 3; si dos ramas de grosores 2 y 3, respectivamente, vienen de una misma rama, esta tiene grosor 2 + 3 = 5; o si cada una de las dos ramas que vienen de una misma rama tienen grosores 3 y 5, la rama tiene grosor 8, como en la imagen.

Como podemos observar todas las ramas tienen grosores iguales a números de Fibonacci, de hecho, los grosores de las ramas del árbol de Fibonacci T_n son alguno de los números de Fibonacci, de F₂ (= 1) a F_n. Por otra parte, en cada nudo en el que se juntan dos ramas, estas tienen como grosores números de Fibonacci consecutivos, F_k y F_{k + 1}, para k entre 2 y n – 2. Además, como hemos comentado, hay tantas ramas exteriores como el número de Fibonacci correspondiente, las cuales tienen grosor 1, pero según vamos hacia abajo, hacia la raíz, en el árbol, lo que ocurre es que, al llegar al tronco inicial, el grosor es igual a ese número de Fibonacci. Es decir, el árbol de Fibonacci T_n tiene F_n ramas exteriores, de grosor 1, y su tronco tiene grosor F_n.

Por lo tanto, si tuviésemos el árbol de Fibonacci de 16 años, es decir, el árbol T₁₇, tendríamos que posee F₁₇ = 1.597 ramas jóvenes, de grosor 1, mientras que el tronco principal tendría un grosor igual a 1.597.

Diálogo artístico con Fibonacci

La artista brasileña Janaina Mello Landini (1974) tiene unas series de obras que se enmarcan bajo el título ciclotramas y que consisten en instalaciones de estructuras arborescentes construidas con hilos y cuerdas que se entrelazan.

Dos obras de la serie Ciclotrama Diálogos, en concreto, Ciclotrama 177 – Fibonacci (2020) y Ciclotrama 193 – Fibonacci (2020), que serían “diálogos con el matemático Fibonacci”, consisten en dos árboles de Fibonacci con 16 y 17 años, respectivamente.

Fijemos nuestra atención en la hermosa instalación Ciclotrama 177 – Fibonacci, que consiste en el árbol de Fibonacci T₁₇, luego con una edad de 16 años. Como se puede observar en las siguientes imágenes, el hilo básico establece el grosor unidad (1) y sabemos que hay F₁₇ = 1.597 ramas jóvenes, de grosor 1. Cuando dos ramas jóvenes se juntan, sus hilos se entrelazan formando una trenza de dos hilos, que es la rama de la que salen las dos jóvenes. En general, cuando se junten dos ramas con F_k y F_{k + 1} hilos (para un cierto k entre 2 y 15), los F_{k + 2} = F_k + F_{k + 1} hilos en conjunto formarán la trenza de la rama de la que salen las otras dos. Y el tronco de esta instalación consiste en una trenza de 1.597 hilos.

Estas dos obras de la artista Janaina Mello Landini son artísticas y hermosas realizaciones de los árboles de Fibonacci (biológicos, con grosor de Fibonacci).

Bibliografía

1.- Raúl Ibáñez, Cayley, el origen del álgebra moderna, Genios de las Matemáticas, RBA, 2017.

2.- Hugo Steinhaus, Mathematical Snapshots, Dover, 1999.

3.- Ralph Grimaldi, Fibonacci and Catalan Numbers, Wiley, 2012.

4.- R. Ibáñez, Las matemáticas como herramienta de creación artística, Libros de la Catarata – FESPM, 2023.

5.- Página web de la artista Janaina Mello Landini

Sobre el autor: Raúl Ibáñez es profesor del Departamento de Matemáticas de la UPV/EHU y colaborador de la Cátedra de Cultura Científica