Hace unos años, escribiendo la biografía Cayley, el origen del algebra moderna (RBA, 2017) sobre el matemático británico Arthur Cayley (1821-1895), tuve la oportunidad de leer mucho sobre un curioso examen de matemáticas que se realizaba en la Universidad de Cambridge (Gran Bretaña), denominado tripos matemático (en inglés, Mathematical Tripos), un examen que, en los siglos XVIII y XIX, todos los estudiantes de esta universidad debían de aprobar si querían recibir el título de graduado. El objetivo de esta entrada del Cuaderno de Cultura Científica es mostrar algunas de las particularidades de este examen, que era capaz de causar crisis nerviosas a algunos estudiantes.

Un examen de matemáticas para todos

Los tripos son los exámenes para obtener el grado en la Universidad de Cambridge, una de las universidades más antiguas del mundo, fundada en 1209. Aunque en la actualidad cada grado tiene su propio examen, durante siglos todos los estudiantes de la Universidad de Cambridge debían de pasar una misma prueba, que durante mucho tiempo fue un examen de matemáticas.

En el siglo XV todos los candidatos tenían que realizar un debate oral en latín (de donde deriva el término wrangler, persona que toma parte en una discusión) con un representante de la universidad que se sentaba en un taburete de tres patas (en latín, trypus).

Hacia 1725 el debate oral fue sustituido por un examen escrito de matemáticas, el tripos matemático (inicialmente denominado “Examen de la Casa del Senado”, por el lugar en el que se desarrollaban los exámenes), aunque se mantuvo una parte de discusión oral en inglés. Se consideraba que las matemáticas eran un conocimiento básico importante para los jóvenes estudiantes, puesto que su estudio fortalecía y desarrollaba las facultades de la mente y los preparaba para su posterior desarrollo intelectual. El examen se realizaba en enero, tras los diez trimestres oficiales, más de tres cursos, en la universidad.

Grado ordinario y grado con honores

La mayoría de estudiantes de la Universidad de Cambridge que aprobaban tenían un grado ordinario, sin honores, mientras que algunos ni siquiera pasaban el examen. Según el físico y matemático irlandés George G. Stokes (1819-1903), hacia 1850, el 38% de los que graduados obtenían puestos de honor, mientras que el resto obtenía un grado ordinario. Y sobre un sexto de los aspirantes suspendían el examen.

Desde 1753 hasta 1909 se publicaron las listas de honor del tripos matemático por orden de mérito en tres categorías, wranglers, senior optimes y junior optimes. El primer puesto de honor, senior wrangler, figura que sigue existiendo en el tripos matemático actual, era reconocido como un gran logro intelectual en todo Gran Bretaña y abría muchas puertas para una carrera exitosa. De hecho, en ese tiempo los cursos académicos en Cambridge se recordaban por la persona que había sido senior wrangler ese curso. Cada año la noticia sobre el examen aparecía en los periódicos. El último de los estudiantes de la lista de honor recibía el apodo de “cuchara de madera” y se hacía una celebración en la que se le entregaba una enorme cuchara de madera.

Escasez de matemáticos

El objetivo del tripos matemático no era enseñar una herramienta fundamental para la formación de los futuros científicos, ni la preparación de los nuevos matemáticos, sino que se consideraban un mero entrenamiento para la mente de los estudiantes, necesarias para su formación intelectual como graduados.

En más de 150 años, este sistema dio lugar a pocos matemáticos puros destacados, solo Arthur Cayley (1821-1895) –senior wrangler–, James J. Sylvester (1814-1897) –segundo wrangler–, William K. Clifford (1845-1879) –segundo wrangler–, Godfrey H. Hardy (1877-1947) –cuarto wrangler– y John E. Littlewood (1885-1977) –senior wrangler–, en contraste con la considerable cantidad de físicos o físicos matemáticos, entre ellos, James C. Maxwell (1831-1879) –segundo wrangler–, William Thomson, Lord Kelvin (1824-1907) –segundo wrangler–, George G. Stokes –senior wrangler–, John W. Strutt (1842-1919) –senior wrangler–, John C. Adams (1819-1892) –senior wrangler– o J. J. Thompson (1856-1940) –segundo wrangler–.

Además, entre los altos wranglers no solo se encontraban científicos, sino también ilustres personajes en ámbitos como la política, la iglesia, el derecho o la medicina.

Por otra parte, no a todos los estudiantes se les daban bien las matemáticas, así el escritor y político Thomas Macaulay (1800-1854) las aborrecía y el naturalista Charles Darwin (1809-1882) no estaba interesado en ellas. Por ese motivo, ambos aspiraron solo a un grado ordinario.

El tripos matemático, el examen

El tripos matemático constaba de dos partes, el workbook, que consistía en memorizar teoremas y demostraciones, y la parte de resolución de problemas. El contenido y duración iría variando a lo largo del siglo XIX. En la década de los años 1840 cubría cuestiones de matemática pura y aplicada, y tenía una duración de 6 días, con jornadas de 6 horas, pero llegó a durar 8 días.

Por ejemplo, el año que se presentó Arthur Cayley al tripos matemático, el año 1842, el examen de la Casa del Senado empezó el miércoles 5 de enero y terminó el martes siguiente, con descanso el domingo. Entre todos los estudiantes que se presentaron, ciento veinte eran candidatos a la lista de honor. Soportando el duro frío que hacía en el interior del edificio, los candidatos se enfrentaron a ciento diecisiete problemas distribuidos en dos exámenes cada una de las seis jornadas. Cada college tenía su candidato favorito, aunque los dos estudiantes con más opciones para ser senior Wrangler ese año eran Arthur Cayley (Trinity College) y Charles Simpson (St. Johns College). La expectación era máxima y el ambiente de Cambridge festivo.

Aunque el mathematical tripos cambió de estructura y contenido a lo largo de todo este tiempo, en el artículo The Mathematical Tripos in the University of Cambridge / El tripos matemático en la Universidad de Cambridge, publicado en la revista Science, en 1883, se puede leer que constaba de tres partes. La primera era la básica y solía hacerse a principios del mes de junio. Su contenido era el siguiente: varios de los libros de Los Elementos de Euclides, aritmética, álgebra básica y las tres primeras secciones de los Principia (Philosophiæ naturalis principia mathematica / Principios matemáticos de la filosofía natural) de Isaac Newton, con partes elementales de trigonometría, secciones cónicas, mecánica, dinámica, hidroestática, óptica y astronomía.

Entre los aprobados de este examen, que ya tenían el grado ordinario, la universidad realizaba un listado de los estudiantes que podían presentarse a la segunda parte, para acceder a la lista de honor del tripos matemático, que se celebraba también en el mes de junio. Para este examen las materias eran: algebra, trigonometría (plana y esférica), teoría de ecuaciones, geometría analítica (plana y sólida, incluyendo curvatura de curvas y superficies), cálculo diferencial e integral, ecuaciones diferenciales, mecánica, hidroestática, dinámica de partículas, dinámica rígida, óptica y astronomía esférica.

Como consecuencia de los exámenes I y II, la universidad de Cambridge realizaba el listado de estudiantes por orden de méritos en las tres categorías mencionadas, wranglers, senior optimes y junior optimes. Y solamente los wranglers realizaban la última parte del examen, la más dura, que se realizaba en el mes de enero del siguiente año, como hemos mencionado en el caso de Arthur Cayley.

Entrenadores para preparar el examen

El matemático y lógico Augustus de Morgan (1806-1871) describe el tripos matemático como una «gran carrera de escritura», mientras que el matemático Godfrey H. Hardy (1877-1947), de quien recomiendo su libro Apología de un matemático (1940), se sintió como «un caballo de carreras para correr una carrera de ejercicios matemáticos». Era necesario un duro entrenamiento, memorizando teoremas, estudiando técnicas de resolución de problemas y trabajando los de cursos anteriores. Los estudiantes contrataban a «entrenadores» privados, no a profesores de la universidad, y dedicaban todo su tiempo a prepararse, por lo que no asistían a las clases regulares.

Consciente de su importancia, el estudiante y futuro matemático Arthur Cayley, como hacían también los demás estudiantes que aspiraban a la lista de honor, contrató a un «entrenador», William Hopkins (1793-1866), para preparar el «gran» examen. Hopkins era considerado el mejor entrenador y era conocido como «fabricante de wranglers»: en veintidós años obtuvo diecisiete senior wranglers y veintisiete segundos o terceros wranglers.

El entrenamiento de Hopkins consistía en clases teóricas donde enseñaba las matemáticas puras y aplicadas que formaban parte del contenido del examen, desde Los Elementos, de Euclides, aritmética, álgebra, trigonometría, secciones cónicas o el binomio de Newton, hasta cálculo de variaciones, instrumentos astronómicos, hidrostática y dinámica, teoría lunar y planetaria, u óptica, sonido y luz. Así mismo, suministraba montones de hojas de problemas de años anteriores a sus estudiantes, que estos debían hacer sin descanso, trimestre tras trimestre, hasta el examen final.

Sin embargo, Hopkins no se limitaba al entrenamiento clásico, sino que inculcaba a sus pupilos el espíritu de la investigación matemática y les animaba a mantenerse al día leyendo las nuevas teorías, en particular, las provenientes del continente. Por ejemplo, el joven Cayley, tras la lectura de algunas obras del matemático y físico Joseph-Louis de Lagrange (1736-1813), demostró un nuevo teorema sobre integrales múltiples que publicó en dos artículos en la revista Cambridge Mathematical Journal (CMJ) en 1841.

La dureza del tripos matemático

Como ya se ha comentado, el tripos matemático, era un examen muy difícil. El científico Francis Galton (1822-1911), en su libro Genio hereditario (1869), menciona que un año de la década de 1860 de los 17.000 puntos en juego en el examen, el senior wrangler obtuvo 7.634, el segundo wrangler 4.123 y el estudiante junior optime con la puntuación más baja, tan solo 237 (aunque este no realizó la tercera parte del examen). Y estos eran los mejores, los de la lista de honor. Si trasladamos estas puntuaciones a un examen actual, puntuado sobre 10, la mejor nota era un 4,49, ni siquiera llega al 5, al “aprobado”, y la peor de las notas, pero del grupo de honor, la de los mejores de la universidad ese año, era un 0,14, ¡¡un 0,14!!.

Galton sufrió una crisis nerviosa y acabó con un grado ordinario. El erudito estadounidense Charles A. Bristed (1820-1874) sufrió un colapso físico, quedando en los últimos lugares de la lista de junior optimes. El político y economista Henry Fawcett (1833-1884), favorito para senior wrangler, acabó siendo séptimo wrangler tras sufrir trastornos nerviosos e insomnio. El senior wrangler de 1859, James Wilson (1836-1931), sufrió una crisis nerviosa tras los exámenes y al recuperarse había olvidado todas las matemáticas estudiadas. O el también senior wrangler James Savage fue encontrado muerto en una zanja tres meses después del examen, el motivo de la muerte fue un derrame cerebral, posiblemente producido por el enorme esfuerzo realizado. Estos son solo algunos casos de la historia negra de este sistema.

Las mujeres en el tripos matemático

Hasta finales del siglo XIX las mujeres no podían asistir a la universidad en Gran Bretaña. Las universidades de Cambridge y Oxford empezaron a realizar exámenes de acceso a la universidad para mujeres en 1869, aunque estas solamente podían asistir a clase como oyentes y realizar exámenes con el permiso del profesor. Además, no se les concedía el título de graduadas.

A partir de 1880, las mujeres pudieron presentarse, con un permiso especial, al tripos matemático, aunque no recibían título o reconocimiento alguno. En 1880, la futura matemática Charlotte A. Scott (1858-1931) obtuvo una puntuación que se correspondía con el octavo wrangler. A partir de su logro, en 1882, se permitió a las mujeres participar oficialmente en el tripos y desde entonces se publicaban sus resultados en una lista complementaria a la de los hombres. Y en 1890, la futura matemática y educadora Philippa G. Fawcett (1868-1948) obtuvo la máxima distinción “por encima del senior wrangler”.

Hacia el final de la hegemonía matemática

En 1822 se crearía el tripos clásico, pero hasta el año 1850 solo se podían presentar aquellos que habían obtenido honores en el matemático. Los siguientes tripos en crearse, en la década de 1860, fueron los de ciencias morales y ciencias naturales. En la actualidad existen 28 tripos modernos, es decir, exámenes para obtener el título de graduado por la universidad de Cambridge.

Bibliografía

1.- Raúl Ibáñez, Cayley, el origen del algebra moderna, RBA, 2017.

2.- Tony Crilly, Arthur Cayley, Mathematician Laureate of the Victorian Age, The Johns Hopkins University Press, 2006.

3.- R. Flood, A. Rice, R. Wilson, (editores), Mathematics in Victorian Britain, Oxford University Press, 2011.

4.- Revista Sciencia: The Mathematical Tripos in the University of Cambridge, Science, Vol. 1, No. 15, pp. 412-415, 1883.

5.- César Tomé López (2015) El Tripos y la profesionalización (serie Las matemáticas como herramienta) Cuaderno de Cultura Científica

Sobre el autor: Raúl Ibáñez es profesor del Departamento de Matemáticas de la UPV/EHU y colaborador de la Cátedra de Cultura Científica