Una nueva demostración sobre los números primos ilumina la sutil relación entre la suma y la multiplicación, y aumenta la esperanza de avances en la famosa conjetura abc.

Un artículo de Erica Klarreich. Historia original reimpresa con permiso de Quanta Magazine, una publicación editorialmente independiente respaldada por la Fundación Simons.

Una mañana del pasado noviembre, el matemático Héctor Pastén finalmente resolvió el problema que lo había perseguido durante más de una década utilizando un truco de productividad archiconocido: la procrastinación.

Tenía que ponerse a redactar un examen final para su clase de teoría de números en la Pontificia Universidad Católica de Chile en Santiago. Para evitarlo, se puso a pensar, por enésima vez, en una de sus secuencias favoritas: 2, 5, 10, 17, 26 y así sucesivamente, la lista de todos los números de la forma n² + 1 (donde n es un número entero).

Los matemáticos han utilizado esta secuencia durante más de un siglo para investigar la complicada relación entre la suma y la multiplicación, una tensión que se encuentra en el corazón de la teoría de números. Los problemas fundamentales sobre la multiplicación (por ejemplo, sobre cómo se factorizan los números en primos) de repente se vuelven mucho más profundos y desafiantes tan pronto como la suma entra en escena. Una de las cuestiones abiertas más grandes de las matemáticas, por ejemplo, pregunta si todo número par mayor que 2 es la suma de dos primos; otra pregunta si hay infinitos pares de primos que difieren solo en 2, como 11 y 13.

La sucesión n² + 1 ofrece un buen punto de partida para investigar la relación entre la suma y la multiplicación, porque combina uno de los tipos más simples de multiplicación (elevar un número al cuadrado) con uno de los tipos más simples de adición (sumar 1). Eso no significa que la sucesión en sí sea simple. Los matemáticos aún no pueden responder a preguntas elementales sobre ella, como por ejemplo si contiene infinitos números primos. “No hace falta mucho para llegar al límite de nuestro conocimiento”, afirma Andrew Granville de la Universidad de Montreal. Cuando los matemáticos logran desplazar este límite, aunque sea un poco, las técnicas que desarrollan a menudo arrojan luz sobre cuestiones mucho más amplias sobre la suma y la multiplicación.

Pastén intentaba demostrar que los números de la secuencia siempre deben tener al menos un factor primo que sea bastante grande. La mañana en que debería haber estado preparando el examen final, finalmente lo logró, al descubrir cómo incorporar información sobre los factores primos de n² + 1 en la estructura de una ecuación llamada curva elíptica.

Ese día, durante el almuerzo, le describió la demostración a su esposa, la matemática Natalia García-Fritz. Dada la sorprendente solidez de su resultado, ella “me dijo que probablemente debería comprobarlo muchas veces”, cuenta Pastén. “Esa tarde lo hice y los teoremas seguían ahí”.

Había un solo inconveniente: Pastén no tenía ningún examen que poner a sus alumnos. Les pidió que escribieran un ensayo sobre el tema que quisieran. “El resultado fue un trabajo de muy alta calidad”, dice.

Pastén envió su demostración a Inventiones Mathematicae, una de las revistas más importantes de matemáticas, donde fue aceptada en poco más de un mes, un abrir y cerrar de ojos según los estándares de publicación habituales en el campo. “Es un avance encantador en algo que no ha experimentado mucho progreso durante prácticamente 100 años”, comenta Cameron Stewart de la Universidad de Waterloo. Los matemáticos esperan que también se traduzca en avances en secuencias numéricas relacionadas.

La técnica de Pastén también le permitió avanzar en ciertos casos de la conjetura abc, otra cuestión que trata de la interacción entre la suma y la multiplicación, y uno de los problemas sin resolver más famosos —y controvertidos— de las matemáticas. “Las ideas nuevas (y correctas) en esta área han sido escasas”, escribe Granville en un correo electrónico. “La originalidad y la promesa de sus métodos merecen mucha atención”.

Primos grandes

Si una secuencia de números se hace cada vez más grande, eso no garantiza que sus factores primos más grandes hagan lo mismo. Tomemos la secuencia n²: los números 1, 4, 9, 16, etc. Es fácil encontrar números en esta secuencia cuyos factores primos sean pequeños. Por ejemplo, cualquier potencia de 2 en esta lista (4, 16, 64, 256, 1024…) tiene solo un factor primo: 2.

Pero cuando se añade 1 a esta secuencia, “se destruye por completo toda la información que se tenía” sobre los factores primos, afirma Pastén. “Los primos se comportan de una manera muy loca”.

En 1898, Carl Størmer demostró que, a diferencia de la sucesión n², los factores primos más grandes números en la sucesión n²+ 1 se acercan al infinito a medida que n crece. Este hallazgo demostró que “algo interesante está sucediendo, algo inusual”, explica Stewart.

Pero Størmer no pudo determinar con qué rapidez crecen los factores primos más grandes de n² + 1, un siguiente paso natural en la caracterización del comportamiento de la secuencia.

Si empiezas a calcular números de la secuencia, la mayoría de ellos parecen tener al menos un factor primo muy grande. Pero, ocasionalmente, hay una caída enorme. Por ejemplo, un número de la secuencia, 586.034.187.508.450, tiene un factor primo de 67.749.617.053. Pero el factor primo más grande del siguiente número de la secuencia, 586.034.235.924.737, es solo 89. Son estas excepciones las que hacen que el problema sea difícil.

A mediados de la década de 1930, Sarvadaman Chowla y Kurt Mahler demostraron de forma independiente que, para cualquier valor de n, el mayor factor primo de n²+ 1 siempre debe ser al menos tan grande como log(log n). Pero log(log n) crece increíblemente despacio (si lo graficamos, parece plano a simple vista). Los matemáticos sospechaban que el mayor factor primo de n² + 1 en realidad crece mucho más rápido, pero no podían demostrarlo.

En 2001, Stewart y Kunrui Yu, de la Universidad de Ciencia y Tecnología de Hong Kong, desarrollaron un nuevo enfoque para estudiar los factores primos en secuencias, utilizando un área de las matemáticas llamada teoría de la trascendencia. Dos años después, Julien Haristoy descubrió cómo aplicar su método a la secuencia n² + 1 , logrando una pequeña mejora respecto del resultado de Chowla y Mahler.

Pero desde entonces, el tema había quedado en un punto muerto. “Hacía tiempo que necesitabamos un nuevo ingrediente”, apunta Granville.

Exponentes pequeños

Pastén lleva más de una década cultivando ese nuevo ingrediente. En 2012, cuando era estudiante de posgrado en la Queen’s University de Kingston (Ontario), su director, Ram Murty, le sugirió que se centrara en problemas que exploraran la interacción entre la suma y la multiplicación.

Una de las herramientas más potentes de los teóricos de números para estudiar esta interacción es codificar los números en un tipo de ecuación llamada curva elíptica. Por ejemplo, los números pueden aparecer como soluciones de la ecuación o en un cálculo relacionado llamado discriminante. Con la codificación adecuada, los matemáticos pueden aprovechar la rica estructura de las curvas elípticas y hacer uso de objetos matemáticos asociados conocidos como formas modulares. “Siempre que se pueden incorporar esas formas modulares, para las que existe toda una maravillosa teoría, se obtiene mucha información”, explica Marc Hindry de la Universidad Paris Cité.

Con el paso de los años, Pastén desarrolló una nueva teoría que incluía formas modulares y entidades relacionadas, llamadas curvas de Shimura, que le permitieron abordar muchas de las preguntas que Murty le había planteado. “Pero no pude hacer ningún progreso en el problema n²+ 1, absolutamente nada”, cuenta. “Esto me molestó durante muchos años”.

En la mañana de noviembre en la que Pastén se suponía que tenía que estar redactando el examen, el problema n²+ 1 representaba una vía de escape en más de un sentido. A principios de ese año, su padre había muerto y Pastén se encontró recurriendo a las matemáticas en busca de consuelo. “Me resultaron muy útiles para eso”, explica. “Las matemáticas no se tratan solo de demostrar teoremas; tal vez se traten de una forma de interactuar con la realidad”.

Obtener el control directo sobre los factores primos de la secuencia n²+ 1 parecía demasiado difícil, por lo que Pastén había puesto hace tiempo su mira en un ataque más indirecto: obtener el control sobre los exponentes en la factorización en primos. Si estás factorizando un número grande, puede consistir en primos pequeños elevados a exponentes grandes, o primos grandes elevados a exponentes pequeños. Pero no puede consistir en primos pequeños elevados a exponentes pequeños: eso no daría un número lo suficientemente grande. Por lo tanto, si puedes demostrar que los exponentes son pequeños, entonces al menos uno de los primos debe ser grande, exactamente lo que Pastén quería demostrar.

Mientras Pastén observaba en su pizarra algunos cálculos del día anterior, de repente se dio cuenta de que podría controlar los exponentes en la factorización prima de n²+ 1 creando el tipo correcto de curva elíptica. Después de algunos experimentos, encontró una: la ecuación y² = x³ + 3x + 2n, cuyo discriminante es n²+ 1 multiplicado por un factor de −108.

Al aplicar su teoría de las curvas de Shimura a esta curva elíptica en particular, pudo demostrar que el producto de los exponentes de n²+ 1 debe ser bastante pequeño. Esto no significaba necesariamente que todos los exponentes debían ser pequeños, pero le dio suficiente control sobre ellos para poder aplicar el antiguo método de Stewart y Yu de la teoría de la trascendencia. Al utilizar las dos técnicas juntas, pudo demostrar que el mayor factor primo de n²+ 1 debe ser al menos aproximadamente (log(log n))², el cuadrado de la estimación que Chowla y Mahler descubrieron en la década de 1930. La nueva tasa de crecimiento de Pastén es mucho más alta que el récord anterior, aunque los matemáticos sospechan que la tasa de crecimiento real es aún mayor.

Aun así, “es una mejora notable”, afirma Hindry.

Pastén también pudo usar sus técnicas para mejorar las estimaciones para ciertos casos de la conjetura abc, que dice que si tres números enteros a, b y c (que no comparten factores primos) satisfacen la ecuación a + b = c, entonces el producto de sus factores primos debe ser grande comparado con c. La conjetura, una de las más importantes en la teoría de números, ha estado en el centro de una controversia durante una década: el matemático Shinichi Mochizuki afirma haberla demostrado, pero la mayoría de la comunidad matemática no está de acuerdo. El trabajo de Pastén representa un enfoque completamente diferente del problema. Si bien su resultado está lejos de ser una demostración de la conjetura completa, según algunas medidas representa el primer progreso significativo en décadas. «Siento que la conjetura abc es un tema muy estancado», comenta Granville.

Después de que Chowla y Mahler propusieran su límite hace 90 años, los matemáticos establecieron gradualmente el mismo límite para una familia infinita de secuencias relacionadas, como n² + 3 o n⁵ + 2. Es probable que los investigadores intenten hacer lo mismo con el nuevo límite de Pastén, mientras exploran también las ramificaciones de su método para otros problemas en la interfaz de la adición y la multiplicación. “La novedad del ataque” hace que esta sea una perspectiva emocionante, afirma Barry Mazur de la Universidad de Harvard.

Es difícil predecir qué surgirá de estas exploraciones. “Ese es el problema de la originalidad”, comenta Granville. Pero “definitivamente obtuvo algo muy bueno”.

El artículo original, Big Advance on Simple-Sounding Math Problem Was a Century in the Making, se publicó el 14 de octubre de 2024 en Quanta Magazine.

Traducido por César Tomé López