El rigor lógico de un problema matemático

Matemoción

Muchas veces he pensado cuán interesante sería un artículo de revista donde un autor quisiera –o, mejor dicho, pudiera– detallar paso a paso el proceso por el cual una de sus composiciones llegó a completarse. […] La mayoría de los escritores –y los poetas en especial– prefieren dar a entender que componen bajo una especie de espléndido frenesí […] He elegido El cuervo por ser el más generalmente conocido. Es mi intención mostrar que ningún detalle de su composición puede asignarse al azar o una intuición, sino que la obra se desenvolvió paso a paso hasta quedar completa, con la precisión y el rigor lógico de un problema matemático.

Edgar Alan Poe, Filosofía de la composición (1846). Traducción de Julio Cortázar

Encontré hace unos días, por azar, este interesante texto de Edgar Alan Poe. Me gusta comprobar a través de las palabras de un escritor al que admiro que, independientemente de la creatividad incluida en cualquier texto literario, nada se completa sin una planificación rigurosa. Me ha parecido una hermosa manera de introducir el sencillo problema de razonamiento lógico que se explica a continuación.

Foto: Andrey Zvyagintsev / Unsplash

Un problema de sombreros

Una caja contiene cinco sombreros, tres son negros y dos son blancos. Ana, Beatriz y Carmen extraen (sin mirar) un gorro de la caja y se lo colocan en la cabeza. Cada una de ellas ve el sombrero de las demás, pero no puede ver el suyo.

Diana ha estado observando a sus amigas. Comprueba que el azar ha hecho que las tres hayan extraído un sombrero negro de la caja. ¡Vaya casualidad!

Conocedora de la honradez y las cualidades deductivas de sus amigas, Diana está segura de que Carmen sabrá cuál es el color de su sombrero si, por orden alfabético, cada una de ellas va declarando si conoce el color del sombrero que lleva.

Así que Diana pide a sus amigas que digan en voz alta si saben el color de su sombrero. Tras reflexionar brevemente, Ana contesta: «No lo sé». Atenta a la respuesta de su compañera, Beatriz responde un rato después: «Yo tampoco lo sé». Carmen, tras un corto periodo de reflexión, contesta finalmente con contundencia: «Yo sí lo sé. ¡Estoy segura de que mi sombrero es de color negro!».

Así que Diana tenía razón: Carmen ha sido capaz de dar la respuesta correcta. ¿Por qué? ¿Cuál ha sido ese razonamiento de Carmen que Diana sabía que no podía fallar?

Piensa un poco antes de mirar la respuesta…

Solución

Carmen, por supuesto, sabe que Ana y Blanca llevan sombreros negros. Y razona de la siguiente manera:

Mi gorro es blanco o negro. Si fuera blanco, mi amiga Beatriz vería que Ana lleva un sombrero negro y yo uno blanco…

Pero Beatriz no tiene un pelo de tonta. Si la situación fuera esa, Beatriz sabría con toda seguridad que su sombrero es negro. ¿Por qué? Porque si su sombrero fuera blanco, Ana (que es, igualmente, una excelente razonadora) vería a Beatriz y a mí misma con gorros blancos (de los que solo hay dos) e inmediatamente habría sabido que su sombrero es negro. Y ha declarado que desconocía el color de su gorro.

Es decir, si supongo que mi sombrero es blanco, la respuesta de Ana y Beatriz no tenía que haber sido la que han dado… y sé que mis colegas no mienten. Así que, sin ninguna duda, mi sombrero es negro.

Como decía Poe en su texto, Carmen ha sabido concluir «con la precisión y el rigor lógico de un problema matemático».

Visto (y adaptado) en: Aurélien Alvarez, «Coqito ergo sum», Images des Mathématiques, CNRS, 2014

Sobre la autora: Marta Macho Stadler es profesora de Topología en el Departamento de Matemáticas de la UPV/EHU, y colaboradora asidua en ZTFNews, el blog de la Facultad de Ciencia y Tecnología de esta universidad

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