Proponemos una paradoja relacionada con la teoría de la probabilidad, un problema para reflexionar.

Conociendo la autovía

Tenemos un tramo de autovía de 18 km de longitud que posee dos carriles, uno lento (L) y otro rápido (R). A lo largo de este recorrido, además, no se permite que los vehículos cambien de carril.

Se sabe que los coches que circulan por la vía L se mueven a 18 km/h (5 m/s) y mantienen una distancia entre ellos de 5 metros. Además, los vehículos que circulan por la vía R se mueven a 72 km/h (20 m/s) y mantienen una distancia entre ellos de 10 metros.

Unos cálculos sencillos

Por un lado, según los anteriores datos, por un punto cualquiera de la vía L, pasa un vehículo cada segundo. Además, un coche situado en el carril L permanece allí durante una hora antes de llegar al final del tramo de autovía. En un momento dado hay, por lo tanto, 3600 vehículos en el carril lento.

Por otro lado, por un punto cualquiera de la vía R, pasan dos vehículos cada segundo. Además, un coche situado en el carril R permanece allí durante 15 minutos antes de llegar al final del tramo de autovía. En un momento dado hay, por lo tanto, 1800 vehículos en el carril rápido.

Un coche en el carril R adelanta a tres vehículos de la vía L por segundo; de otra manera, cada coche que va por el carril lento es adelantado tres veces cada dos segundos.

Planteamiento del problema

Supongamos que estoy en un coche que circula por esa autovía con los ojos vendados; es decir, desconozco en cuál de los dos carriles estoy. Me dicen que se está produciendo un adelantamiento, y me plantean dos preguntas (en realidad, contestando a una de ellas se responde también la otra):

• ¿Cuál es la probabilidad P₁ de que el coche en el que viajo sea el que adelanta?
• ¿Cuál es la probabilidad P₂ de que el coche en el que viajo sea el adelantado?

Distintas maneras de razonar

Razonamiento 1

La respuesta a las preguntas no depende de los datos del problema porque, por cada adelantamiento que se produce, hay un coche adelantado y un coche que adelanta. Así, tengo la misma probabilidad de estar en cualquiera de las dos situaciones.

La respuesta es entonces P₁ = P₂ = 1/2.

Razonamiento 2

Como hemos comentado antes, en el tramo de 18 kilómetros de la autovía hay 3600 vehículos que circulan a baja velocidad y 1800 que circulan a alta velocidad. Así, tengo una probabilidad de 2/3 de estar en un coche lento y una probabilidad de 1/3 de estar en un automóvil rápido. De este modo, si voy en un coche lento, la próxima vez que se produzca un adelantamiento, me adelantarán. Por el contrario, si viajo en un coche rápido, en el próximo adelantamiento, será mi coche el que adelante.

Por lo tanto, sin ninguna información adicional, tengo el doble de probabilidades de estar en un coche que está siendo adelantado que en un coche que está adelantando, y las respuestas son, por lo tanto, P₁ = 1/3 y P₂ = 2/3.

Razonamiento 3

Según los cálculos realizados antes, en cada punto del tramo de autovía pasa un coche lento por segundo y dos vehículos rápidos por segundo. Al entrar en esta carretera, un coche no sabe cuál es el carril rápido y cuál es el carril lento. Los coches se distribuyen entonces de manera aleatoria. Como la vía rápida incorpora el doble de coches que la vía lenta, tengo el doble de probabilidades de estar en un coche que está adelantando que en un coche que está siendo adelantado.

Según este razonamiento, las respuestas son P₁ = 2/3 y P₂ = 1/3.

¿Cómo puede ser que tres argumentos rigurosos nos lleven a tres conclusiones diferentes?

¿Una solución?

Esta situación contradictoria se parece a la famosa paradoja de Bertrand (de la que ya hablamos en este Cuaderno). El problema radica en que los datos proporcionados no son lo suficientemente precisos como para deducir una probabilidad concreta.

El matemático Jean-Paul Delahaye, creador de este problema, elige el tercer razonamiento como “su favorito”, aunque admite que es discutible. Y lo razona pensando en la situación planteada, pero añadiendo información sobre la manera de proponerla. Supone que las personas que organizan “este reto” le colocan en un coche elegido al azar que recorre el tramo de autovía. Imagina que le vendan los ojos y, en un punto del trayecto antes de que sea posible que su coche salga del tramo, le plantean la pregunta. Entonces, el tercer modelo es el adecuado, siendo así más probable estar en el coche que adelanta… ¿Qué os parece su razonamiento?

Referencia

Jean-Paul Delahaye, Le paradoxe des files de voitures, Accromath Volume 20.1, hiver-printemps 2025

Sobre la autora: Marta Macho Stadler es profesora de Topología en el Departamento de Matemáticas de la UPV/EHU, y editora de Mujeres con Ciencia