Las proporciones de la Vesica Piscis

Cada vez que estoy leyendo sobre cuestiones matemáticas y me encuentro con la vesica piscis me planteo escribir una entrada en el Cuaderno de Cultura Científica sobre esta sencilla, pero potente, construcción geométrica, que hemos visto en multitud de ocasiones a lo largo de nuestra vida, ya sea en el arte sacro, en la arquitectura antigua, como en templos religiosos, o la moderna, como en proyectos de Norman Foster y Santiago Calatrava, en el diseño de logotipos y otros símbolos, como en la flor de la vida, o en el diseño de joyería y moda.

En esta ocasión, me encontraba yo leyendo sobre algunas proporciones, como la raíz de dos (véase la entrada Visitad los museos, también en clave matemática), la raíz de tres (véase también Formas ritmo-espacio) y la razón áurea (podemos incluir la lectura de las entradas Crímenes áureos y El sistema de numeración en base Phi), cuando volví a encontrarme con la geométrica y proporcionada vesica piscis, pero en esta ocasión he decidido no dejar pasar más tiempo y dedicar una entrada a la misma.

La construcción geométrica

La vesica piscis es una figura geométrica que se construye como intersección de dos círculos del mismo radio tales que el centro de cada uno de ellos está en la circunferencia del otro, como se muestra en la siguiente imagen.

El nombre de “vesica piscis” es una expresión en latín que significa “vejiga de pez”. También se conoce a la vesica piscis con el nombre de “mandorla”, palabra del italiano que significa “almendra”.

La vesica piscis aparece en la gran obra de la matemática griega, y universal, Los Elementos, del matemático griego Euclides de Alejandría (aprox. 325 – 265 a.n.e.), en la Proposición I, del Libro I, sobre la construcción de un triángulo equilátero, con regla y compás, a partir de un segmento dado.

Dado un segmento se trazan dos circunferencias cuyos centros son los dos extremos del segmento y cuyos radios son la longitud del segmento, es decir, cada extremo del segmento está en la circunferencia trazada desde el otro extremo (por lo tanto, estamos ante una vesica piscis). El triángulo rectángulo está formado por tres vértices, los extremos del segmento y uno de los puntos de intersección de las dos circunferencias, y los segmentos que unen esos tres vértices, como se muestra en la siguiente imagen.

Según algunos autores esta construcción geométrica ya era conocida por el matemático griego Pitágoras de Samos (aprox. 585-500 a.n.e.).

La raíz cuadrada de dos

La vesica piscis tiene una enorme simbología, aunque en esta entrada nos centraremos en los aspectos geométricos de la misma. En concreto, se analizará su relación con ciertos polígonos -como el triángulo equilátero que ya se ha mencionado- y algunas proporciones que son raíces cuadradas.

La raíz (cuadrada) de dos está estrechamente ligada al cuadrado de lado unidad, puesto que la longitud de la diagonal del cuadrado unidad es igual a la raíz de dos, como puede observarse fácilmente teniendo en cuenta el teorema de Pitágoras.

Esta observación nos lleva, además, a la construcción geométrica, con regla y compás, de un rectángulo con proporción raíz de dos, es decir, la razón (cociente) entre el largo y el ancho del rectángulo es igual a la raíz de dos, que puede verse en la siguiente imagen.

Estos rectángulos están relacionados con el formato de papel DIN A, como se explica en la entrada Visitad los museos, también en clave matemática.

Es fácil observar que podemos construir, relacionado con la vesica piscis, un cuadrado (segundo polígono regular) cuyo lado sea igual al radio de las circunferencias y que se apoye en el segmento que una los centros de las mismas, como se muestra en la siguiente imagen, cuya diagonal mide la raíz de dos multiplicado por el radio de las circunferencias.

La raíz cuadrada de tres y cinco

La vesica piscis tiene proporción igual a la raíz (cuadrada) de tres, el cociente entre el alto y el ancho es raíz de tres, en particular, la podemos meter dentro de un rectángulo con esta proporción.

La construcción de un rectángulo con proporción raíz de tres es muy sencilla a partir de un rectángulo con proporción raíz de dos. A partir del cuadrado unidad se construye el rectángulo raíz de dos teniendo en cuenta que la diagonal del cuadrado unidad mide raíz de dos (por el teorema de Pitágoras). De la misma forma, la diagonal de este rectángulo mide raíz de tres (de nuevo, por el teorema de Pitágoras), lo que nos permite construir el rectángulo con esa proporción.

Veamos ahora que la vesica piscis tiene proporción raíz de tres. Para empezar, consideremos el triángulo equilátero construido por Euclides apoyado en el segmento que une los centros de las circunferencias (que podemos considerar unitario, es decir, que la distancia entre los centros sea la unidad), entonces la altura del triángulo, por el teorema de Pitágoras, es igual a la mitad de la raíz de tres, como se muestra en la siguiente imagen.

Ahora, si tenemos en cuenta que las dimensiones, alto y ancho, de nuestra vesica piscis son las mismas que las de los dos triángulos equiláteros apoyados en el segmento que une los centros de las circunferencias, como se muestra en la siguiente imagen, entonces su proporción es la raíz de tres, es decir, si la distancia entre los centros es 1, la distancia entre los cortes de las circunferencias es raíz de 3, que son el ancho y alto de la vesica piscis.

De la misma manera que se ha construido el rectángulo raíz de tres a partir del triángulo raíz de dos, y este a partir del cuadrado unidad, pueden construirse los rectángulos de proporción raíz de 4 (es decir, 2), raíz de 5, raíz de 6, etcétera, utilizando las diagonales del rectángulo anterior.

En particular, el rectángulo raíz cuadrada de cinco se construye a partir del rectángulo de proporción raíz de 4, es decir, 2 (luego unión de dos cuadrados de lado 1), mediante su diagonal, que mide la raíz de cinco. Por lo tanto, como en la vesica piscis tenemos un rectángulo de proporción 2

La divina proporción

En el citado texto Los Elementos de Euclides se dice que un segmento está dividido en media y extrema razón cuando la longitud del segmento total es a la parte mayor, como la de esta parte mayor es a la menor. Es decir, si tenemos un segmento como el que aparece en la siguiente imagen, buscamos el punto del mismo que divide al segmento en dos partes, de longitudes a y b, de forma que la proporción o razón (división) entre la parte mayor y la menor, a/b es igual a la proporción entre la longitud del segmento y la parte mayor (a + b)/a.

Ahora, si se denota por ϕ (Phi) al cociente a/b, la condición anterior se puede escribir como la ecuación algebraica siguiente:

Esta es una ecuación algebraica de segundo grado, cuyas soluciones, sin más que utilizar la conocida fórmula de resolución de la misma que se estudia en la enseñanza secundaria, son

Al número ϕ (Phi), solución positiva de la anterior ecuación, cuyos primeros dígitos son

1,618033988749894848204586834365…,

se le conoce con varios nombres como número áureo, divina proporción o razón áurea. Por otra parte, si se consideran (Phi) ϕ = a/b y su inversa (Phi^–1) ϕ^–1 = b/a en la expresión de la definición de la razón áurea se deduce la siguiente igualdad:

Entonces, se dice que un rectángulo es áureo si la proporción a/b entre su alto, a, y su ancho, b, es precisamente el número áureo ϕ (Phi). Este rectángulo se ha asociado históricamente con la belleza, aunque no sin cierta polémica, como se comenta en la entrada ECHO, un cómic áureo.

El número áureo también está asociado con la vesica piscis de diferentes formas. Mostraremos algunas de ellas en esta entrada. Vamos a empezar utilizando que la diagonal del rectángulo de dimensiones 1:2 tiene una longitud igual a la raíz de 5, para obtener la divina proporción, de hecho, ϕ (Phi) – 1, en el segmento que une el centro del rectángulo (es decir, el centro del segmento que une los centros de las dos circunferencias) con uno de sus vértices, como se muestra en la siguiente imagen.

La siguiente relación de la vesica piscis con la divina proporción la podemos encontrar en el libro Icons of Mathematics: An Exploration of Twenty Key Images, de Claudi Alsina y Roger Nelsen. Dada la construcción de la vesica piscis mediante el trazado de dos circunferencias tales que el centro de cada una de ellas está en la otra, se dibujan otras dos circunferencias con los mismos centros, pero con radios del doble de la longitud que los radios originales. De manera que, si el segmento entre los dos centros mide 1, que es la medida de los radios de las circunferencias originales, las circunferencias concéntricas tendrán radio igual a 2. Entonces, si denotamos por A y B los centros de las circunferencias, por C y D los puntos de intersección de las dos circunferencias que dan lugar a la vesica piscis y por E y F los puntos de intersección de las dos nuevas circunferencias, concéntricas con las dos primeras y de radio el doble, entonces se tiene que el segmento DE (respectivamente, CF), entre dos puntos de corte alejados de las dos parejas de circunferencias, entonces el punto intermedio C (resp. D) determina la extrema y media razón, es decir, DE / DC = Phi = CF / CD.

Esta propiedad es sencilla de probar. Si tomamos el segmento AB de longitud 1, se tiene que el segmento DC mide la raíz de tres, como se ha probado más arriba. Para determinar el valor de DE vamos a descomponerlo como DE = DM + ME (donde M es el punto medio del segmento AB), pero DM es la mitad de DC, luego la mitad de la raíz de tres, mientras que para calcular ME necesitamos utilizar el teorema de Pitágoras en el triángulo AME (teniendo en cuenta que AM vale 1/2 y AE vale 2, ya que es el radio de la circunferencia grande), y se obtiene que ME es la mitad de la raíz de 15. De aquí, mediante una sencilla operación aritmética se deduce que DE / DC es la razón áurea, es decir, C es el punto que divide al segmento DE en extrema y media razón.

Para terminar … el triángulo de Reuleaux

Para terminar, vamos a construir el denominado triángulo de Reuleaux (del que ya hablaremos en otra entrada, ya que es una curva muy interesante, con curiosas aplicaciones), que es una curva de anchura constante (si lo encerramos por dos rectas paralelas, la distancia entre las rectas es siempre la misma, independientemente de la dirección de las rectas), que se construye a partir de un triángulo equilátero, trazando arcos de circunferencias centradas en los vértices del triángulo y que unen los otros dos vértices.

Como se muestra en la anterior imagen, se puede construir un triángulo de Reuleaux a partir de tres circunferencias tales que el centro de cada una de ellas está en las otras dos, generándose así tres vesicas piscis, de manera que el triángulo de Reuleaux está entre las tres.

Se pueden construir diferentes polígonos regulares, y no regulares, asociados a la vesica piscis, pero eso esperemos que sea motivo para una nueva entrada en un futuro cercano, o quizás no.

Terminamos con un hermoso diagrama con polígonos regulares apoyados en el segmento que une los centros de las circunferencias que generan la vesica piscis, creado por Bruce Lyons.

Bibliografía

1.- Mario Livio, La proporción áurea, La historia de phi, el número más sorprendente del mundo, Ariel, 2006.

2.- Fernando Corbalán, La proporción áurea, El lenguaje matemático de la belleza, RBA, 2010.

3.- Agustín Carrillo de Albornoz Torres, Números distinguidos en matemáticas, Miradas Matemáticas, Libros de la Catarata, 2024.

4.- Claudi Alsina, Roger B. Nelsen, Icons of Mathematics: An Exploration of Twenty Key Images, MAA, 2011.

Sobre el autor: Raúl Ibáñez es profesor del Departamento de Matemáticas de la UPV/EHU y colaborador de la Cátedra de Cultura Científica