Viaje alrededor del mundo

Aunque cualquier momento es bueno para viajar alrededor del mundo, ahora que estamos en verano es una época más propicia, al menos para las personas que tenemos las vacaciones en este período y no podemos disfrutar de tiempo libre en otros momentos del año. Por este motivo, me ha parecido una buena idea escribir precisamente ahora sobre un juego denominado Viaje alrededor del mundo, entre otros nombres como El docecaedro del viajero o Juego icosiano. Además, las vacaciones son un momento excelente para jugar, por lo que un juego siempre es una buena idea.

El dodecaedro del viajero

El dodecaedro del viajero, también llamado el viaje alrededor del mundo o el juego icosiano, fue inventado por el matemático irlandés Sir William R. Hamilton (1805-1865) y consiste en lo siguiente. Se considera un dodecaedro (en la versión comercial, de madera, está modificada la forma del dodecaedro para hacerla más manejable, con un mango, como se muestra tanto en la anterior imagen, como en la siguiente), con sus 20 vértices, etiquetados con las 20 consonantes del alfabeto inglés, que representan 20 ciudades del mundo, desde Bruselas, Cantón, Delhi o Frankfurt, hasta Washington, Xerez y Zanzíbar.

El objetivo del juego es realizar un recorrido por las aristas del dodecaedro (recordemos que este poliedro regular tiene 30 aristas) que visite exactamente una vez cada una de las 20 ciudades (vértices), pero regresando a la ciudad de la que partió, es decir, la última ciudad del recorrido está conectada mediante una arista a la primera. En la versión comercial, que se muestra en la anterior imagen, los vértices del dodecaedro contienen unos salientes, clavos, y el recorrido se realiza enganchando una cuerda al primer vértice y pasándola después por los demás vértices.

El juego tenía también una versión plana del mismo, que consistía en un grafo plano asociado al dodecaedro, con el mismo número de vértices y aristas, conectando estas los mismos vértices que en el dodecaedro. La versión comercial en madera contenía 20 agujeros en los vértices, en los que se colocaba una de las 20 fichas numeradas del 1 al 20 y que marcaban el recorrido del viajero por las 20 ciudades.

Un grafo plano asociado al dodecaedro

Como nuestras lectoras saben perfectamente la teoría de grafos es la rama de las matemáticas que estudia los grafos, estructuras formadas por puntos –llamados vértices– y líneas uniendo pares de puntos –llamadas aristas–, que son estructuras matemáticas muy sencillas, pero a la vez muy versátiles, con muchas aplicaciones en ciencia y tecnología (véanse, por ejemplo, las entradas El problema de los tres caballeros y los tres criados, El grafo de Marion (Gray), El juego de Sim o Frank Harary, “padre” de la teoría moderna de grafos, entre otras).

Los vértices y aristas del dodecaedro forman claramente un grafo tridimensional, sin embargo, en muchas ocasiones nos resulta más fácil de manejar considerar una representación plana del grafo tridimensional, un grafo plano. Una forma de obtener el grafo asociado al dodecaedro es imaginar que nuestro sólido platónico con caras pentagonales fuese de goma extensible, que realizásemos un agujero en el centro de una de las caras y desplegásemos la superficie del dodecaedro, estirándola, sobre el plano. Otra forma de verlo es considerar la proyección geométrica que consiste en proyectar el dodecaedro desde un punto que está encima del centro de una cara y sobre el plano en el que descansa la cara opuesta.

El juego icosiano

El matemático William R. Hamilton, que realizaría importantes contribuciones en óptica geométrica, mecánica clásica y álgebra, había introducido en 1843 los cuaterniones, un sistema numérico que extendía los números complejos (los cuales se pueden escribir de la forma a + bi, para a y b números reales y donde i es el número imaginario que satisface que i² = – 1, es decir, es “la raíz cuadrada de menos 1”), y que estaba formado por números de la forma a + bi + cj + dk, para a, b, c y d números reales, donde los elementos i, j y k son números de tipo imaginario que verifican que i² = – 1, j² = – 1, k² = – 1, así como que el producto de las tres constantes es menos 1, ijk = – 1. Y resultó que la multiplicación de los cuaterniones no era conmutativa, puesto que, por ejemplo, ij = k = – ji.

Tras la introducción de los cuaterniones otros matemáticos intentaron desarrollar otros sistemas algebraicos no conmutativos. El propio Hamilton introdujo, en 1856, los icosianos, relacionados con las simetrías del icosaedro. Hamilton relacionó las matemáticas del cálculo icosiano con el problema de viajar a lo largo de las aristas del dodecaedro, pasando exactamente una vez por cada vértice del mismo, y regresando al punto inicial, como expuso en una conferencia en la Asociación Británica de Dublin en 1857.

Hamilton se puso en contacto con la compañía londinense de juguetes John Jacques and Sons, a quienes vendió los derechos de su juego por 25 libras. El juego sería comercializado tanto en la versión tridimensional, con el nombre de Nuevo rompecabezas, el dodecaedro del viajero o un viaje alrededor del mundo, como en la versión plana, con el extenso nombre El juego icosiano, inventado por Sir William Rowan Hamilton, astrónomo real de Irlanda; se trata de un juego nuevo y sumamente entretenido para el salón, especialmente interesante para los estudiantes de matemáticas, ya que ilustra los principios del cálculo icosiano, aunque no parece que el juego fuese muy exitoso.

En 1855, un año antes de que el matemático irlandés inventase el juego icosiano, el matemático británico Thomas P. Kirkman (1806-1895), quien es conocido por el problema de las colegialas de Kirkman (véase la entrada El problema de las estudiantes de Kirkman), estudió la cuestión de si existían recorridos por las aristas de diferentes poliedros que pasasen una vez, y solo una, por cada uno de sus vértices, regresando al final al punto de partida, que es precisamente lo que plantea el juego icosiano para el dodecaedro.

Resolviendo el juego viaje alrededor del mundo

Como siempre que hablamos de juegos, lo primero que os recomiendo es que juguéis al juego en cuestión, en este caso, el viaje alrededor del mundo. Para lo cual solo se necesita papel, bolígrafo (o rotuladores) y lápiz, ya que puede dibujarse (con bolígrafo para que quede permanente) el grafo plano del dodecaedro (o imprimir la imagen del mismo), denominar los vértices con las 20 consonantes (B, C, D, F, G, H, J, K, L, M, N, P, Q, R, S, T, V, W, X, Z) y jugar, es decir, realizar (con un lápiz para que pueda borrarse) un recorrido cerrado por las aristas del “dodecaedro plano” pasando por los veinte vértices del mismo, por las 20 consonantes. En la siguiente imagen tenéis de nuevo el grafo plano del dodecaedro, para que podáis realizar vuestro propio juego.

De hecho, ya que estamos podéis jugar sobre los grafos planos de los cinco poliedros regulares, empezando por los tres más sencillos, tetraedro, cubo y octaedro, que os animarán a seguir con los otros dos, dodecaedro e icosaedro.

Pero vayamos con las soluciones del juego. Si los vértices del dodecaedro no están etiquetados, entonces existen dos soluciones con distinta forma, aunque una no es más que la imagen especular de la otra. Sobre el grafo etiquetado anterior, las dos soluciones serían las que aparecen en la siguiente imagen.

Pero si se considera que los recorridos son diferentes si se pasan por las ciudades en diferente orden, es decir, ahora si se considera que las ciudades están etiquetadas y no solo nos fijamos en la manera de realizar el recorrido, entonces existen 30 de esos circuitos que resuelven el juego, sin tener en cuenta el sentido contrario de los mismos.

El juego del dodecaedro del viajero está relacionado con la existencia de un cierto tipo de caminos sobre un grafo, los llamados, caminos, o ciclos si son cerrados, hamiltonianos (aunque quizás, por lo comentado anteriormente, deberían haberse llamado kirkmanianos), de los que ya hablaremos en otra ocasión.

Bibliografía

1.- Raúl Ibáñez, Del ajedrez a los grafos, la seriedad matemática de los juegos, El mundo es matemático, RBA, 2015.

2.- Édouard Lucas, Recreaciones Matemáticas, vol. 1 – 4, Nivola, 2007, 2008.

Sobre el autor: Raúl Ibáñez es profesor del Departamento de Matemáticas de la UPV/EHU y colaborador de la Cátedra de Cultura Científica