Círculos mágicos

Yang Hui (hacia 1238-1298) fue un matemático y escritor chino que vivió en tiempos de las dinastías Song del Sur y Yuan.

Entre los temas matemáticos que incluyó en sus textos, ofrecía explicaciones sobre cuadrados y círculos mágicos. Para él, eran una buena manera de despertar el interés de las personas por los números. Por supuesto, no le parecía que tuvieran ninguna propiedad mágica; de hecho, los denominaba diagramas numéricos.

En sus textos, Yang Hui presentó un cuadrado mágico de orden 3, dos de orden 4, dos cuadrados de orden 5, dos de orden 6, dos de orden 7, dos cuadrados de orden 8, uno de orden 9 y uno de orden 10. Aunque los presentaba en sus textos, no reclamaba su autoría y los mostraba como si se tratara de hechos ya conocidos que él sencillamente presentaba. De cualquier modo, no existe ningún registro de cuadrados mágicos de orden superior en los escritos de matemáticos chinos anteriores.

Los círculos mágicos

Se atribuye a Yang Hui la invención de los círculos mágicos. De manera similar a los cuadrados mágicos, un círculo mágico es una disposición en círculos concéntricos de una familia de números naturales consecutivos, de manera que la suma de los números en cada círculo y la de los números en sus diámetros sean iguales. También realizó algunos círculos mágicos dispuestos en cuadrados. En este caso, la suma de los números de cada lado y diagonal es idéntica.

La serie de círculos mágicos de Yang Hui se publicó en su Xugu Zhaiqi Suanfa (Continuación de «Fragmentos de maravillas matemáticas») de 1275. Esta serie incluye configuraciones con cinco círculos mágicos dispuestos en un cuadrado, con seis círculos mágicos colocados en un anillo, con ocho círculos mágicos dispuestos en un cuadrado, con círculos concéntricos mágicos y con nueve círculos mágicos ordenados en un cuadrado.

Uno de los círculos mágicos de Yang Hui contiene los números naturales del 1 al 33 dispuestos en cuatro círculos concéntricos, con el 9 en el centro. Y tiene las siguientes propiedades:

1) la suma de los números en los cuatro diámetros (excluido el 9 central) es 138 y la suma de los números cada uno de los ocho radios (excluido el 9 central) es 69;

2) la suma de los números de cada uno de los cuatro círculos concéntricos es 138 (138 = 2 x 69) y la suma de los números de cada uno de los ocho semicírculos es 69.

El siguiente ejemplo de Yang Hui contiene ocho círculos mágicos dispuestos en un cuadrado.

Contiene los números del 1 al 64 colocados en ocho círculos, cada uno con ocho números. Además:

1) la suma de los números de cada círculo es 260; así, la suma total de todos los números es 2080;

2) los círculos están dispuestos en una cuadrícula cuadrada de 3 × 3 con el área central vacía;

3) la suma de los números en las direcciones horizontal y vertical a lo largo de las columnas y filas centrales también es 260;

4) la suma total de los números a lo largo de ambas diagonales es de 520 (260 x 2).

En el caso de la propuesta de nueve círculos mágicos dispuestos en un cuadrado, están contenidos los números del 1 al 72. Cada círculo contiene 8 números.

Además, hay otros cuatro círculos adicionales de ocho números construidos con algunos números de círculos vecinos como se muestra en la imagen. Además, se cumple que:

1)la suma de los números en cualquier círculo de ocho números es igual a 292;

2)la suma de los números de tres círculos a lo largo de líneas horizontales es 876 (272 x 3);

3)la suma de los números de tres círculos a lo largo de líneas verticales es 876;

4)la suma de los números de tres círculos a lo largo de las diagonales es 876.

Más círculos mágicos

Muchas personas, además de Yang Hui, han realizado propuestas de círculos mágicos con distintas variantes.

La siguiente, una propuesta tridimensional creada por William Symes Andrews, coloca los números naturales del 1 al 62 sobre una esfera, situándolos a lo largo de las intersecciones de cinco círculos de latitud y seis de longitud. Cada uno de los círculos contiene 12 números que suman un total de 378. Me parece un bonito detalle colocar el 1 y el 62 en los polos norte y sur respectivamente.

Coincido con Yang Hui en que no hay nada mágico en estas ingeniosas e impresionantes disposiciones de números. Y de haber algo, es tan solo magia matemática.

Referencias

• John J. O’Connor and Edmund F. Robertson, Yang Hui, MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews
• William Symes Andrews, Magic squares and cubes, Open Court, 1908
• Círculos mágicos, Wikipedia

Sobre la autora: Marta Macho Stadler es profesora de Topología en el Departamento de Matemáticas de la UPV/EHU, y editora de Mujeres con Ciencia