La espiral de Teodoro

Preparando la entrada del Cuaderno de Cultura Científica titulada Dividiendo un cuadrado en rectángulos semejantes, en la cual se mencionan de pasada los “rectángulos raíz cuadrada”, es decir, los rectángulos cuya proporción -división entre el largo y el ancho- es igual a la raíz cuadrada de un número natural, me di cuenta de que no había escrito ninguna entrada en el blog sobre la espiral de Teodoro. En ese mismo instante pensé que no podía demorar la escritura de una entrada sobre esta curiosa espiral que está construida por cierto tipo de triángulos rectángulos. Y esta entrada es la consecuencia de ese pensamiento.

Raíz cuadrada de dos

La raíz cuadrada de 2, que se denota como √2, es un número que, elevado al cuadrado, es decir, multiplicado por sí mismo, es igual a 2. Geométricamente, la raíz cuadrada de 2 es igual a la longitud de la diagonal de un cuadrado de lado 1, como se deduce fácilmente del teorema de Pitágoras.

En el diálogo Menón (aprox. 385 a.n.e.) del filósofo griego Platón (aprox. 427-347 a.n.e.), el personaje principal de todos sus diálogos, el filósofo Sócrates (470 – 399 a.n.e.), le explica a un esclavo con el que dialoga que el problema de la duplicación del cuadrado, es decir, dado un cuadrado de un cierto área (Sócrates considera uno de lado igual a 2 “unidades”, luego área igual a 2 x 2 = 4 “unidades cuadradas”) construir un cuadrado cuyo área sea el doble (para el ejemplo concreto de Sócrates un cuadrado de área 8), se resuelve mediante la diagonal del cuadrado. La explicación de Sócrates, que incluye corregir al esclavo de la respuesta rápida de un cuadrado de doble de lado (sería un cuadrado de lado 4, luego área 16) o su segundo intento de un cuadrado de lado 3 (luego área 9), se recoge en el siguiente diagrama, en el que se comprueba que el área del cuadrado formado por la diagonal es 4 veces la mitad del cuadrado original, luego el doble de su área, resolviendo así el problema.

Que el cuadrado formado por la diagonal duplique el área del cuadrado original es tanto como decir que la longitud de la diagonal es la raíz cuadrada de dos multiplicada por la longitud del lado del cuadrado original. Por lo tanto, si el cuadrado original tiene un lado que mide 1, su diagonal mide la raíz cuadrada de 2.

El descubrimiento de que la raíz cuadrada de 2 es un número inconmensurable o irracional (véase la entrada El infinito en un segmento (2)) provocó una profunda crisis del pensamiento pitagórico, ya que para el gran matemático griego Pitágoras (aprox. 570-495 a.n.e.) el número era la esencia de todas las cosas, lo que se traducía en que todos los números debían ser conmensurables o racionales (véase la entrada El infinito en un segmento (1)). Aunque algunos autores atribuyen al propio Pitágoras el descubrimiento de los inconmensurables, se suele conceder su autoría a Hipaso de Metaponto (aprox. 530-450 a.n.e.), de quien se dice que murió asesinado por sus compañeros, los pitagóricos, por difundir ese resultado fuera de la hermandad.

En el texto Primeros analíticos del filósofo griego Aristóteles (384-322 a.n.e), para explicar la demostración por reducción al absurdo, está escrito “que la diagonal es inconmensurable, se prueba porque lo impar se hace igual a lo par, al suponer que sea conmensurable”. El desarrollo de esta prueba que aparece recogida en Los Elementos de Euclides (proposición 117, libro X), aunque realmente no estaba en el texto original, es la siguiente. Supóngase que √2 puede expresarse como el cociente a/b (siendo esta una fracción irreducible, con a y b sin factores comunes), es decir, (a/b)² = 2. Equivalentemente, a² = 2b². De donde se deduce que a es un número par y puede expresarse como a = 2c. En consecuencia, b² = 2c² y b sería también múltiplo de 2. Pero esto no es posible por ser a/b una fracción irreducible.

Raíces cuadradas de números naturales

En general, se define la raíz cuadrada de un número natural n, que se denota como √n, como el número que elevado al cuadrado es igual a n. Desde el punto de vista geométrico, las raíces cuadradas de los números naturales n mayores que la unidad pueden obtenerse, teniendo en cuenta el teorema de Pitágoras, como la diagonal de un rectángulo cuyos lados son 1 y la raíz cuadrada de (n – 1) o, equivalentemente, como la hipotenusa de un triángulo rectángulo de con esos mismos lados.

Si se consideran las raíces cuadradas de los números naturales no cuadrados, como √3, √5, √6, √7, √8, …, puede demostrarse también que son números irracionales. De hecho, en el diálogo Teeteto de Platón se afirma que el matemático griego Teodoro de Cirene (465-398 a.n.e.) demostró la inconmensurabilidad de estos, entre √3 y √17.

La interpretación geométrica, basada en el teorema de Pitágoras, de la raíz cuadrada de un número natural, que acabamos de comentar, permite la construcción de cualquier rectángulo de proporción √n (un rectángulo de proporción o razón r es aquel para el cual la división entre el largo y el ancho del mismo es r; además, dos rectángulos con la misma proporción tienen la misma forma, aunque varíe el tamaño, y se dice que son semejantes) a partir del rectángulo de proporción √(n – 1). Por lo tanto, partiendo de un cuadrado de lado 1 se puede construir con regla y compás cualquier rectángulo de razón √n mediante la construcción de los rectángulos anteriores.

La espiral de Teodoro

Utilizando que la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos son 1 y la raíz cuadrada de (n – 1) es igual a la raíz cuadrada de n (teorema de Pitágoras), se construye una curiosa espiral formada por triángulos rectángulos cuyas hipotenusas tienen longitud √n, para n = 1, 2, 3, …, la conocida como espiral de Teodoro.

Se empieza la construcción con un triángulo rectángulo isósceles de catetos de longitud 1, luego hipotenusa √2, sobre la que se apoya el triángulo rectángulo de catetos 1 y √2, cuya hipotenusa es √3. Sobre esta se coloca el triángulo rectángulo de catetos 1 y √3, cuya hipotenusa es √4. Y así se continúa con los demás triángulos rectángulos, como se muestra en la siguiente imagen.

Si le dotamos de color a la espiral de Teodoro obtendremos una imagen más hermosa.

Aunque hemos construido la espiral de Teodoro con los 16 primeros triángulos rectángulos (hasta la hipotenusa igual a √17), se puede continuar añadiendo triángulos rectángulos, como en la siguiente imagen.

Espiral de Teodoro artística

Para terminar esta entrada vamos a incluir alguna obra de arte en la que se ha representado la espiral de Teodoro.

La primera obra es Raíces cuadradas hasta 16 – Teodoro de Cirene (1969), del historietista, ilustrador, escritor de literatura infantil y pintor estadounidense Crockett Johnson, autor de libros como Harold y el lápiz de color morado (1955), Ellen y el león (1959) o la tira cómica Barnaby (1942-1952). Curiosamente, los diez últimos años de su vida (1965-1975) los dedicó a pintar una cantidad importante de obras, más de cien, que representaban teoremas matemáticos y propiedades geométricas.

A continuación, una serie de piezas del artista, grabador y profesor estadounidense Evan Summer, que destaca por sus grabados al aguafuerte, a la punta seca, a buril y colagrafías. Mostramos un par de sus colagrafías sobre la espiral de Teodoro, extraídas de la página web del artista Evan Summer.

Sobre el autor: Raúl Ibáñez es profesor del Departamento de Matemáticas de la UPV/EHU y colaborador de la Cátedra de Cultura Científica