Eva Ferreira

La última crisis ha generado inumerables opiniones acerca del sistema financiero, despachándose por doquier críticas al mismo, a los famosos derivados, -esos productos endiabladamente complicados-, y a la regulación de los mercados, entre otras. Las matemáticas utilizadas no han quedado exentas de crítica. De hecho, encontramos expresiones en los medios como “El gran fracaso de los modelos matemáticos en el mundo de la inversión”, “Los físicos y matemáticos que hundieron Wall Street” o “La ecuación matemática que causó el derrumbe en el sector financiero” (La Vanguardia 17-02-2012)

Pero ¿estaríamos mejor sin el desarrollo matemático que se ha utilizado en la economía financiera? ¿Sería el mercado financiero menos sensible a la especulación?

Las matemáticas no resuelven por sí mismas los problemas generados por el sistema financiero. Las matemáticas actúan en finanzas como instrumentos de ayuda a la toma de decisiones pero no son, ni serán, bolas de cristal.

Es cierto que los modelos matemáticos han tenido un enorme impacto en el desarrollo del mercado de derivados. Un derivado es un activo cuyo valor en el futuro es una función de otro activo, que denominamos activo subyacente. Así, los agricultores llevan siglos realizando contratos derivados. El contrato entre un agricultor y su financiero consiste en que el financiero paga al agricultor un precio X fijado de antemano por la cosecha, independientemente de lo que suceda cuando se recoja. Si el valor final de la cosecha (el activo subyacente) es mayor que X, los beneficios son para el financiero, y si, por el contrario, el valor final es menor, también lo serán las pérdidas. Es decir, con este contrato derivado (un contrato futuro) el agricultor transfiere al financiero el riesgo del valor de su cosecha.

Otro tipo de derivados son las opciones. Una opción de compra es un contrato por el cual el propietario de la opción adquiere el derecho a comprar un cierto activo S en un momento T (fijado en el contrato) a un precio de ejercicio K, también fijado en el contrato. De nuevo, con la opción de compra estamos transfiriendo el riesgo que supone comprar la acción directamente y acotamos las posibles pérdidas.

Los modelos matemáticos de derivados proporcionan las herramientas para que, si se dan determinados supuestos, seamos capaces de poner precio a esos contratos derivados. En particular, Black, Scholes y Merton se preguntaron cuál debe ser el precio justo P de una opción de compra.

Así, imaginemos por un momento que no hay inflación, y que hemos pagado P por nuestra opción de compra, y sea S_T el valor del activo en el futuro T. Si al llegar a T, S_T > P + K, ejerceremos nuestro derecho, ya que hacerlo nos proporciona un beneficio, puesto que S_T – P – K > 0. En otro caso, no merece la pena ejercer el derecho, ya que estaríamos pagando un precio mayor que el precio del activo en el mercado.

El gran logro de Fisher Black (matemático y economista), Myron Scholes (matemático y abogado) y Robert Merton (economista) fue determinar analíticamente la fórmula que valora esa opción en un mercado con dos activos, el activo libre de riesgo (cuyo precio en el futuro está determinado por el tipo de interés r) y el activo subyacente S_t. Eso sí, la fórmula, que acabó siendo merecedora del premio Nobel, se calcula bajo ciertos supuestos. La expresión de estos supuestos se puede realizar desde un enfoque de teoría financiera o como unos supuestos dentro del cálculo matemático bajo incertidumbre (cálculo estocástico):

1) Los rendimientos de los activos, sea cual sea el intervalo temporal en el que los calculemos, son variables aleatorias independientes y siguen una distribución normal. Formalmente, el proceso estocástico S_tque rige la dinámica de los precios de los activos es un proceso geométrico browniano.

2) No hay posibilidades de arbitraje (no puede haber beneficios netos sin riesgo). Por tanto, productos que dan en T el mismo valor, deben tener el mismo precio hoy. Esto supone que los precios descontados por el interés libre de riesgo e^-rt S_t , son un proceso martingala (i.e., su valor esperado condicionado a la información en un periodo s, coincide con el precio descontado en s, e^-rs S_s).