La entrada del Cuaderno de Cultura Científica titulada La recta de Euler estaba dedicada al resultado geométrico conocido como el teorema de la línea de Euler, que dice que tres de los puntos notables asociados a un triángulo cualquiera, el ortocentro, el circuncentro y el baricentro, se encuentran en una misma línea, que se conoce con el nombre de línea de Euler. Además, al final de la entrada se comentaba que, junto al ortocentro, el circuncentro y el baricentro de un triángulo, existen otros puntos definidos con relación al triángulo que también están en la recta de Euler, uno de ellos era el centro de la circunferencia de los nueve puntos. La entrada de hoy la vamos a dedicar precisamente a esta figura geométrica, la circunferencia de los nueve puntos.

La línea de Euler

Antes de nada, vamos a recordar brevemente el teorema de la línea de Euler que, aunque no se necesita para explicar qué es la circunferencia de los nueve puntos, sí está relacionado con ella, como se ha comentado.

Dado un triángulo cualquiera, los tres puntos notables asociados al triángulo que se mencionan en el teorema de la línea de Euler son el ortocentro, el circuncentro y el baricentro. El ortocentro es el punto de intersección de las tres alturas del triángulo (o las rectas que las extienden), el circuncentro es el punto de intersección de las tres mediatrices (la mediatriz de un segmento es la recta perpendicular al mismo que pasa por su punto medio) de los lados del triángulo y el baricentro es el punto de intersección de las tres medianas (una mediana de un triángulo es el segmento de recta que pasa por un vértice y el punto medio del lado opuesto) del triángulo. Esos tres puntos del plano podrían no estar alineados, como ocurre en general para tres puntos cualesquiera, sin embargo, estos tres puntos sí van a estar sobre una misma línea recta, como afirma este teorema.

Teorema de la línea de Euler: Dado un triángulo cualquiera ABC, el ortocentro O, el circuncentro CC y el baricentro BC son colineales (a la recta que incluye a los tres puntos se la denomina línea de Euler). Además, la distancia del ortocentro O al baricentro BC es igual a dos veces la distancia del baricentro BC al circuncentro CC.

El matemático suizo Leonhard Euler (1707-1783), el matemático más prolífico de todos los tiempos, incluía este resultado en su artículo titulado Solutio facilis problematum quorundam geometricorum difficillimorum / Soluciones fáciles para algunos problemas geométricos difíciles y, que fue publicado en la revista Novi Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae en 1767, aunque se presentó a la Academia de Ciencias de San Petersburgo en diciembre de 1763.

La circunferencia de los nueve puntos

Dado un triángulo cualquiera, vamos a considerar tres grupos de tres puntos, luego nueve puntos en total, definidos geométricamente en relación con el triángulo.

El primer grupo de tres puntos consiste en los pies de las tres alturas del triángulo. Por ejemplo, en la siguiente imagen tenemos un triángulo ABC cualquiera. Desde el vértice A se traza la recta que pasa por A y corta perpendicularmente al lado opuesto del triángulo (o a la recta que lo contiene), el lado BC, que es la altura del triángulo ABC desde el vértice A y se denota A’ al punto de corte, que es el pie de esa altura. Desde el punto B se traza la correspondiente altura, es decir, la recta que corta perpendicularmente al lado opuesto AC y se considera el punto de corte, B’, el pie de esta altura. Y desde C se traza también la altura y se denota por C’ el pie de la misma.

Ya tenemos el primer grupo de tres puntos, los pies de las tres alturas. Para considerar el siguiente grupo de tres puntos, vamos a tomar la intersección de las tres alturas (o de las rectas que las contienen), el ortocentro. Entonces, los puntos que nos interesan son los puntos medios de los segmentos que unen cada vértice con el ortocentro, que se denominan puntos de Euler. Si consideramos el triángulo ABC anterior, O es el ortocentro, los puntos de Euler son A’’, B’’ y C’’, que son los puntos medios de los segmentos OA’, OB’ y OC’.

El siguiente grupo de tres puntos son los puntos medios de los lados del triángulo. Si volvemos al triángulo ABC, el punto medio del segmento AB es C’’’, el punto medio del segmento BC es A’’’ y el punto medio del segmento CA es B’’’.

Ya están establecidos los tres grupos de tres puntos asociados a un triángulo y que aparecen en el teorema de la circunferencia de los nueve puntos, que enunciamos a continuación.

Teorema de la circunferencia de los nueve puntos: Dado un triángulo cualquiera ABC, los pies de las alturas del triángulo, los puntos de Euler y los puntos medios de los lados del triángulo están en una misma circunferencia, conocida como circunferencia de los nueve puntos.

La circunferencia de Feuerbach

Uno de los muchos nombres que recibe la circunferencia de los nueve puntos es circunferencia de Euler, puesto que según algunos autores ya era conocida por el matemático suizo, entre otros Heinrich Dorrie, autor del interesante libro 100 Great Problems of Elementary Mathematics: Their History and Solutions. Sin embargo, como explica el matemático John Sturgeon Mackay (1843-1904) en su artículo History of the nine-point circle / Historia de la circunferencia de los nueve puntos, no hay ninguna referencia a esta circunferencia en las obras de Euler:

El primer autor al que se ha atribuido el descubrimiento del círculo de nueve puntos es Euler, pero nadie ha dado nunca una referencia a ningún pasaje de los trabajos de Euler en el que se afirme, o se implique, la propiedad característica de esta circunferencia. La atribución a Euler es simplemente un error, y el origen del error puede, creo, explicarse.

Según Mackay, el error viene de un texto del matemático Eugène Charles Catalan (1814-1894), el libro Théorèmes et Problèmes Géométrie élémentaire, que en sus quinta y sexta ediciones atribuye el resultado a Euler, al malinterpretar dos artículos del matemático francés Olry Terquem (1782-1862) que tienen prácticamente el mismo título, lo que provoca la confusión. El primero titulado Considerations sur le triangle rectiligne, d’apres Euler / Consideraciones sobre el triángulo rectilíneo, según Euler (1842) y el segundo con el mismo título, salvo la expresión “según Euler”, y publicados además en el mismo número de la misma revista. Mientras que en el primero se recogían resultados de Euler, el segundo se dedicaba a resultados desarrollados por el propio Terquem y empezaba con el teorema de la circunferencia de los nueve puntos.

La primera vez que se menciona explícitamente la circunferencia de los nueve puntos es en un artículo publicado por el matemático, químico y militar francés Charles Julien Brianchon (1783-1864) y el matemático e ingeniero francés Jean-Victor Poncelet (1788-1867), en la revista Annales de Mathematiques, en 1821.

Un año después, el matemático alemán Karl Wilhelm Feuerbach (1800-1834) demostró la existencia de esta circunferencia, pero mencionando que pasa por seis puntos, los puntos medios de los lados del triángulo y los pies de las alturas (por este motivo en ocasiones se llama circunferencia de los seis puntos), en su pequeño libro Eigenschaften einiger merkwürdigen Punkte des geradlinigen Dreiecks und mehrerer durch sie bestimmten Linien und Figuren / Propiedades de algunos puntos peculiares del triángulo rectilíneo y de varias rectas y figuras determinadas por ellos (1822). Así mismo, demostró un resultado relacionado con esta circunferencia, que se conoce como teorema de Feuerbach y que presentamos más adelante. De manera que a la circunferencia de los nueve puntos se la suele conocer como circunferencia de Feuerbach, que es un nombre que se utiliza frecuentemente, y a su centro como centro de Feuerbach.

Además, el centro de Feuerbach, o centro de la circunferencia de los nueve puntos, se encuentra sobre la recta de Euler, que se presentó en la anterior entrada La recta de Euler.

El teorema de Feuerbach

Por lo tanto, dado un triángulo cualquiera la circunferencia que pasa por los pies de las alturas, por los puntos de Euler y por los puntos medios de los lados recibe muchos nombres, desde circunferencia de Euler, que resulta ser confuso e incorrecto, hasta el más habitual, circunferencia de los nueve puntos, pasando por circunferencia de los seis puntos y circunferencia de Feuerbach, entre otros que ya comentaremos.

La existencia de la circunferencia de los seis puntos no fue lo único que demostró el matemático alemán, también probó, entre otros resultados relacionados con esta circunferencia, el conocido teorema de Feuerbach, que enunciamos a continuación.

Teorema de Feuerbach: Dado un triángulo cualquiera ABC, la circunferencia de los seis puntos es tangente a las circunferencias inscrita y exinscritas del triángulo.

Como escribe el matemático estadounidense Howard H. Eves (1911-2004) en su clásico Mathematical circles / Círculos matemáticos (2003), “Los geómetras consideran universalmente que el llamado teorema de Feuerbach es sin duda uno de los teoremas más bellos de la geometría moderna del triángulo”. De hecho, después de Feuerbach muchos otros matemáticos demostraron este resultado o generalizaciones del mismo. Por ejemplo, el matemático británico Thomas S. Davies (1795-1851) en su artículo Symmetrical properties of plane triangles (1827), que ya añadía los puntos de Euler a los seis considerados por Feuerbach, el matemático suizo Jakob Steiner (1796-1863), que publicó algunos resultados generalizando el teorema de la circunferencia de los nueve puntos en el artículo Developpement dune serie de theoremes relatifs aux sections coniques (1828) y en el libro Die geometrischen Constructionen, ausgefuhrt mittelst der geraden Linie und eines festen Kreises (1833), en el cual demostraba que la circunferencia de los nueve puntos pasaba por tres puntos notables más, doce en total (motivo por el cual esta circunferencia se conoce también con el nombre de circunferencia de los doce puntos) o el matemático francés Olry Terquem, que es quien le pone nombre a la circunferencia, llamándola “circunferencia de los nueve puntos”, en su artículo de 1842, en el que da una nueva demostración analítica del teorema de Feuerbach.

¿Qué fue de Feuerbach?

Vamos a terminar esta entrada del Cuaderno de Cultura Científica con la triste historia de Karl Feuerbach, el matemático que demostró de uno de los teoremas más hermosos de la geometría moderna, por el cual ha pasado a formar parte de la historia de las matemáticas, pero que no ha destacado por ninguna otra gran contribución. Por este motivo, el matemático Howard Eves, en Mathematical circles, se pregunta cuál es el motivo por el cual no ha producido más resultados matemáticos relevantes, qué fue de su vida y por qué murió tan joven, a la edad de 33 años (casi 34).

Karl W. Feuerbach nació en la ciudad alemana de Jena el 30 de mayo de 1800. Su padre fue un famoso jurista y Karl fue el tercero de un total de once hermanos, entre ellos el filósofo Ludwig Feuerbach. Estudio en las universidades de Erlangen y Freiburg, doctorándose en esta última a la edad de 22 años. Entonces se convirtió en profesor en el Gymnasium (instituto de educación secundaria) de Erlangen. Fue entonces, en 1822, cuando publicó el pequeño libro que contenía el hermoso teorema al que hemos dedicado esta entrada.

En mayo de 1824, mientras se dirigía al Gymnasium, fue detenido. Karl, junto a otros diecinueve jóvenes, fue encarcelado en Munich, donde permanecieron incomunicados durante varios meses. Fueron detenidos por el carácter político de algunas de las actividades organizadas por una asociación a la que pertenecieron cuando eran estudiantes.

Parece ser que durante el encarcelamiento se obsesionó con la idea de que solo con su muerte podía conseguir que liberasen a sus compañeros, por lo que intentó suicidarse en dos ocasiones. La primera se cortó las venas de los pies, pero antes de morir desangrado fue descubierto y trasladado en estado inconsciente a un hospital. Mientras que en la segunda ocasión saltó por una ventana después de escaparse por un pasillo, pero la nieve que había en el exterior amortiguo la caída y no consiguió quitarse la vida, aunque quedó lisiado. Tras este incidente, Karl fue puesto en libertad condicional, bajo la custodia de un antiguo profesor amigo de la familia.

Uno de sus compañeros sí murió durante su encarcelamiento, pero nadie fue liberado. Permanecieron bajo arresto hasta que se celebró el juicio catorce meses después, cuando fueron declarados inocentes y puestos en libertad.

Tras salir de prisión volvería a trabajar de profesor, esta vez en el Gymnasium de Hof, pero al poco tiempo sufrió una crisis nerviosa y tuvo que dejar el centro. En 1828, recuperado ya de la crisis nerviosa volvió a la docencia en el Gymnasium de Erlangen, en el que ya había trabajado. Sin embargo, un día se presentó en clase con una espada y amenazó con decapitar a aquellos estudiantes que no resolvieran unas ecuaciones que había escrito en la pizarra. Después de este episodio fue obligado a jubilarse de forma permanente.

Como comenta Eves, poco a poco se fue alejando de la realidad, se dejó crecer el pelo, la barba y las uñas, y se redujo a un estado de mirada perdida y murmullos ininteligibles. Vivió seis años retirado en Erlangen, tras los cuales murió el 12 de marzo de 1834, a la edad de 33 años.

Bibliografía

1.- David Wells, The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry, Penguin, 1991.

2.- Heinrich Dorrie, 100 Great Problems of Elementary Mathematics: Their History and Solutions, Dover, 1965.

3.- Howard Eves, A Survey of Geometry, Allyn and bacon, 1972.

4.- John Sturgeon Mackay, History of the nine-point circle,Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society 11, pp. 19-61, 1892.

5.- Howard H. Eves, Mathematical Circles, The Mathematical Association of America (MAA), 2003.

Sobre el autor: Raúl Ibáñez es profesor del Departamento de Matemáticas de la UPV/EHU y colaborador de la Cátedra de Cultura Científica