Por qué el último axioma de las matemáticas resultó tan controvertido

La teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel está tan ampliamente aceptada que los matemáticos modernos apenas piensan en ella. Pero llegar a creer en sus principios fundamentales no fue sencillo.

Un artículo de Gregory Barber. Historia original reimpresa con permiso de Quanta Magazine, una publicación editorialmente independiente respaldada por la Fundación Simons.

¿Cómo deciden los matemáticos que algo es verdadero? Escriben una demostración.

A menudo parten de demostraciones ya existentes, construyendo sobre ellas o estableciendo conexiones entre afirmaciones previamente demostradas. Cada una de esas demostraciones, a su vez, se apoya en otras demostraciones para sostener su argumento, y así sucesivamente. Demostraciones sobre demostraciones. Verdades sobre verdades. Pero, finalmente, este proceso debe terminar. En algún momento, ciertas cosas son verdaderas simplemente porque lo son.

Esas verdades son los axiomas, las reglas fundamentales. Y resulta tentador detenerse ahí —declarar, como expresa Penelope Maddy, filósofa de las matemáticas de la Universidad de California en Irvine, «que los axiomas son verdades evidentes, intuitivas o conceptuales».

Después de todo, la mayoría de los matemáticos simplemente aceptan que su trabajo se basa en un sistema axiomático —a saber, la «teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel con el axioma de elección», o ZFC—, si es que llegan siquiera a reparar en los axiomas. ZFC es una lista de 10 principios básicos que, conjuntamente, constituyen el fundamento sobre el que se edifica casi toda la matemática moderna.

Pero un examen más detenido revela un proceso de establecimiento de la verdad mucho más inestable y humano. «Cualquier análisis honesto y lúcido de cómo llegaron a adoptarse los axiomas de ZFC tendría que reconocer que en esas decisiones intervinieron consideraciones matemáticas de muy diversa índole», afirma Maddy.

Ese proceso, que comenzó hace más de un siglo, sigue todavía en marcha.

Paradojas y dudas

Finales del siglo XIX fueron una época de paradojas y dudas, resultado de que los matemáticos comenzaran a buscar ideas coherentes acerca de las reglas que gobiernan el universo matemático. Existían ya sistemas axiomáticos, pero tendían a corresponder a áreas concretas de las matemáticas: los postulados de Euclides para la geometría; diversos esquemas destinados a formalizar la aritmética. Pero ¿cómo encajaba todo ello? ¿Podía derivarse toda la matemática de un único conjunto común de reglas?

Los matemáticos encontraron una posible solución —y también nuevas dudas— en la obra de Georg Cantor.

Por entonces, Cantor estudiaba los números reales —es decir, todos los números que aparecen en la recta numérica— y lo que podían revelar acerca de la naturaleza del infinito. Había descubierto que existen más números reales que números enteros, lo que dio lugar a la profunda constatación de que no todos los infinitos tienen el mismo tamaño.

Para realizar esta comparación, Cantor había empleado una herramienta aparentemente simple: el conjunto. Un conjunto es una colección de objetos, o elementos. Puede ser una colección de números, como los números reales, o una colección de figuras geométricas, o incluso una colección de otros conjuntos. Con el tiempo, se hizo evidente que ideas matemáticas complejas y muy diversas —casi todas ellas— podían representarse mediante estas mismas entidades elementales. Como consecuencia, el conjunto surgió como una herramienta potencial para eliminar las inconsistencias entre distintas ramas de las matemáticas.

Pero la teoría de conjuntos primitiva carecía de reglas canónicas. Era posible definir conjuntos mediante cualquier propiedad, lo que condujo exactamente al tipo de paradojas que inquietaban a los matemáticos de la época. Consideremos, por ejemplo, el conjunto de todos los conjuntos que no son miembros de sí mismos. ¿Se contiene este conjunto a sí mismo? Tanto si se responde sí como no, se obtiene una contradicción conocida hoy como la paradoja de Russell.

Mientras los matemáticos se obsesionaban con estos dilemas, ZFC fue emergiendo a partir de la confrontación con otra idea de Cantor.

En 1883, Cantor introdujo su «principio del buen orden». Sostenía que debía ser posible ordenar cualquier conjunto de modo que todos sus subconjuntos no vacíos tuviesen un elemento mínimo. En el caso de conjuntos finitos, esto resulta intuitivo. Siempre se pueden colocar primero los elementos menores. Pero para los conjuntos infinitos es menos evidente. Tomemos el conjunto de los enteros {…, −2, −1, 0, 1, 2, …}. Los números negativos forman un subconjunto, pero también descienden indefinidamente. Parece, por tanto, que no puede existir un elemento mínimo.

Pero ¿qué ocurre si ordenamos el conjunto original de enteros de esta manera: {0, −1, 1, −2, 2, …}? Ahora podemos afirmar que el elemento mínimo es aquel que aparece primero en cualquier subconjunto. Así, −1 pasa a ser el elemento mínimo del subconjunto de números negativos.

La «ley» de Cantor sostenía que esto debía ser posible para todos los conjuntos, incluso aunque no pudiera construirse explícitamente el orden adecuado. Era una manera de argumentar que los conjuntos infinitos se comportan como los conjuntos finitos.

En 1904, el matemático alemán Ernst Zermelo lo demostró. Lo hizo mostrando que la ley de Cantor era equivalente a un principio que él había desarrollado mientras exploraba las propiedades de los conjuntos. Este principio, el denominado axioma de elección, afirmaba que, si se parte de múltiples conjuntos no vacíos —incluso infinitamente muchos—, puede elegirse un elemento de cada uno de ellos para formar un nuevo conjunto.

Zermelo desarrolló sus demás axiomas para demostrar esta equivalencia. «Simplemente estaba enumerando todos los supuestos que necesitaba para sacar adelante la demostración», explica Joan Bagaria, teórico de conjuntos de la Universidad de Barcelona. Esa lista incluía la idea básica de que existe algo llamado conjunto, definido por sus elementos. Otros axiomas trataban de la formación de conjuntos a partir de otros conjuntos o de la existencia de conjuntos infinitos.

La lista de axiomas de Zermelo apareció en un momento en que muchos matemáticos, como Abraham Fraenkel, también estaban reformulando los fundamentos de la teoría de conjuntos. Muchos de ellos acabaron llegando a formulaciones distintas de ideas similares —y también a algunas nuevas— que resolvían problemas surgidos de teorías más recientes relacionadas con formas mayores de infinito. En 1930, Zermelo publicó una lista «definitiva» que incluía revisiones de sus propios axiomas, así como varias adiciones, aunque inicialmente no el axioma de elección. Los matemáticos se mostraban más reacios a incluirlo porque, a diferencia de los demás axiomas, definía conjuntos sin proporcionar un método explícito para construirlos.

Zermelo estaba satisfecho de que su lista de principios, conocida como ZF, pareciera depurar el universo conjuntista de muchas paradojas importantes, como la de Russell. Pero lamentaba no haber podido demostrar que su sistema axiomático fuese «consistente», es decir, que no produjera contradicciones.

No tenía por qué preocuparse. Apenas unos años después de la aparición de ZF, Kurt Gödel demostró que ningún sistema axiomático capaz de desarrollar la aritmética básica puede utilizarse para demostrar su propia consistencia. Además, cualquier sistema consistente debe ser también incompleto, lo que significa que existen enunciados matemáticos verdaderos que no pueden demostrarse a partir de los axiomas del sistema.

Teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel con el axioma de elección

De hecho, en la década de 1960, el matemático de Stanford Paul Cohen demostró que el axioma de elección es «independiente» de los demás axiomas; es decir, que, dentro de las reglas de ZF, el axioma de elección no puede demostrarse ni verdadero ni falso.

Una vez quedó claro que la lógica no podía validar el axioma de elección ni en un sentido ni en otro, la cuestión pasó a ser: ¿es útil? Y lo era. Hace posible una enorme cantidad de matemáticas adicionales —especialmente matemáticas relacionadas con objetos infinitos. A partir de entonces, el axioma de elección obtuvo una aceptación mucho más amplia. «Sin elección, las herramientas de que dispones son muy limitadas», afirmó Bagaria. «Es como hacer matemáticas con las manos atadas a la espalda». Y así, la C (de «choice», elección) acabó incorporándose a la lista de axiomas originalmente desarrollados para respaldarlo.

El axioma de elección demuestra lo erróneo que resulta creer que los axiomas matemáticos son evidentes por sí mismos u obvios. Un axioma también puede aceptarse por muchas otras razones, como señala Maddy; por ejemplo, por su capacidad para generar teoremas interesantes.

Los axiomas de ZFC suelen considerarse quizá las verdades más universales que la humanidad ha logrado formular, pues, aunque para los físicos pueda ser posible imaginar universos en los que las leyes físicas estén completamente alteradas, las leyes matemáticas permanecerán invariables.

Es una paradoja sin resolución: los fundamentos de las matemáticas son tan universales, tan sólidos como cualquier otra cosa que la humanidad conozca, una parte esencial de casi toda verdad matemática. Y, sin embargo, siguen siendo simplemente aquello en lo que decidimos creer.

El artículo original, Why Math’s Final Axiom Proved So Controversial, se publicó el 29 de abril de 2026 en Quanta Magazine.

Traducido por César Tomé López