Zorn, su lema y el axioma de elección

El matemático Max August Zorn (1906-1993) nació un 6 de junio.

Max Zorn en una fotografía de 1989 realizada por Paul Halmos (imagen tomada de la MAA)

Trabajó en diferentes áreas de las matemáticas; el álgebra abstracta, la teoría de grupos y el análisis numérico fueron sus principales temas de investigación. Zorn nació y se formó en Alemania; su tesis doctoral Theorie Der Alternativen Ringe –Teoría de anillos alternativos– fue dirigida por el conocido algebrista austriaco Emil Artin (1898-1962) y defendida en 1930 en la Universidad de Hamburgo. Poco después, Zorn emigró a Estados Unidos, y continuó allí con su vida y su carrera.

Cualquier persona que haya cursado una licenciatura o un grado de matemáticas –y de algunas otras carreras científicas– ha oído hablar del famosísimo lema de Zorn. De hecho no solo ha oído hablar de él, lo ha utilizado en múltiples ocasiones. ¿Y qué dice lema de Zorn? Vamos a escribir su enunciado, aunque no es nada ‘intuitivo’ al involucrar muchos conceptos sobre conjuntos ordenados. Aunque no es necesario leerlo para seguir esta anotación, puede servir de ‘repaso’ para aquellas personas que lo hayan estudiado alguna vez. Por cierto, además, es precioso, y dice así:

Si X es un conjunto parcialmente ordenado (no vacío) en el que toda cadena (subconjuntototalmente ordenado de X) posee una cota superior, entonces X contiene, al menos, un elemento maximal.

Es una herramienta muy útil en teoría de conjuntos, y es muy valioso para demostrar resultados en prácticamente todas las áreas de las matemáticas. Es un teorema de existencia, es decir, el lema de Zorn no proporciona una manera de encontrar ese ‘elemento maximal’ aludido… solo afirma que existe.

Como decíamos, se usa en casi todas las áreas de las matemáticas, como en la demostración de importantes resultados de análisis funcional (el teorema de Hahn-Banach o el teorema de Krein-Milman, por citar algunos), de topología (el teorema de Tychonoff que afirma que el producto de espacios compactos es compacto), de espacios vectoriales, de álgebra, etc.

Se puede demostrar que el lema de Zorn es equivalente al axioma de elección, que forma parte de los axiomas de Zermelo-Fraenkel, el sistema axiomático aceptado mayoritariamente para formular la teoría de conjuntos. La paradoja de Banach-Tarski –de la que hablamos en la anotación El guisante y el Sol: una extraña equivalencia–es una de las más sorprendentes consecuencias del axioma de elección. Este resultado tan contrario a la intuición –dada una bola (sólida) de dimensión 3, es posible recortarla en un número finito de trozos, y reagruparlos para obtener dos copias idénticas de la bola original– no agrada a algunos matemáticos que optan por evitar usar el axioma de elección en sus argumentaciones… aunque esa decisión les lleva a no poder demostrar muchos resultados clásicos de las matemáticas.

Como suele pasar a veces con las propiedades que llevan nombre, el lema de Zorn fue descubierto por otra persona, seguramente por varias que estaban trabajando en estos mismos temas. El matemático y lógico Kazimierz Kuratowski (1896-1980) dio una prueba de este resultado en 1922, y Zorn lo hizo, de manera independiente, en 1935. Ahora, en muchos libros y artículos se cita como lema de Kuratowski-Zorn.

Por cierto, el lema de Zorn aparece en el episodio El nuevo amigo de Bart de los Simpson (ver [3]). En este capítulo, la familia visita un parque de atracciones. En la carpa del ‘maestro hipnotizador Sven Golly’, Cleto, que está en trance, cree que es un gran matemático, y ante una pizarra afirma:

De esta manera se demuestra el lema de Zorn.

La escena aludida aparece en el minuto 2 del siguiente video:

También aparece este resultado matemático en el libro Los Simpsons y las matemáticas de Simon Singh (ver [3]). Un par de retos cómicos se plantean y responden así:

  1. ¿Qué es marrón, peludo, corre hacia el mar y es equivalente al axioma de elección? (respuesta: El lemming de Zorn).

  2. ¿Qué es amarillo y equivalente al axioma de elección? (respuesta: El limón de Zorn).

La película de cine experimental Zorns Lemma (1970) de Hollis Frampton también alude a este conocido resultado…

Por cierto, también llevan el apellido de Max August Zorn el teorema de Artin-Zorn y los anillos de Zorn, ambos relacionados con el tema de su tesis doctoral.

Referencias:

[1] O’Connor, John J.; Robertson, Edmund F., Max August Zorn, MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews

[2] Max August Zorn, Wikipedia (consultado el 3 de junio de 2018)

[3] Simon Singh. Zorn’s Lemma. The Simpsons and their Mathematical Secrets

Sobre la autora: Marta Macho Stadler es profesora de Topología en el Departamento de Matemáticas de la UPV/EHU, y colaboradora asidua en ZTFNews, el blog de la Facultad de Ciencia y Tecnología de esta universidad.

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