Juegos matemáticos con el dominó
Las vacaciones de verano son una buena ocasión para jugar a diferentes juegos, incluidos los juegos y rompecabezas matemáticos. Por este motivo, solemos dedicar algunas entradas del Cuaderno de Cultura Científica próximas al inicio de las vacaciones a explicar algunos interesantes y entretenidos juegos matemáticos. En esta ocasión, me he decidido por algunos juegos para los que únicamente se necesitan las fichas del dominó, un juego muy conocido y popular que suele estar en todas las casas, pero que, si no es así, es muy fácil de construir por uno mismo.
El juego del dominó
Como puede leerse en el Diccionario de la Lengua Española el dominó es un «juego de mesa que se lleva a cabo con 28 fichas rectangulares que se van colocando por turnos según ciertas reglas y en el que gana quien primero coloca todas sus fichas o quien menos puntos tiene en ellas si se cierra el juego”.
A la forma de la ficha también se la conoce como dominó. De hecho, es el poliominó más sencillo que existe. Recordemos que un poliominó es una figura geométrica plana formada conectando dos o más cuadrados por alguno de sus lados. Los cuadrados se conectan lado con lado, pero no se pueden conectar ni por sus vértices, ni juntando solo parte de un lado de un cuadrado con parte de un lado de otro. Si unimos dos cuadrados se obtiene un dominó, si se juntan tres cuadrados se construye un triominó, o trominó, con cuatro cuadrados se tiene un tetraminó, con cinco un pentominó, y así se puede continuar para cualquier número de cuadrados (véanse las entradas Tetris, embaldosados y demostraciones y Embaldosando con L-triominós (Un ejemplo de demostración por inducción)).
Por lo tanto, las fichas del juego del dominó tienen forma de “dominó” (rectángulo formado por la unión de dos cuadrados, pegados lado con lado). Además de la forma, las fichas del juego de dominó tienen puntos, entre 0 y 6 puntos, en cada una de las dos partes cuadradas, lo que da lugar a las 28 fichas del dominó, que se muestran en la siguiente imagen.
En esta entrada no nos interesa el objetivo del popular juego, solo la regla básica para colocar cada ficha de dominó a continuación de otra, que consiste en que esto puede realizarse cuando los cuadrados adyacentes tienen la cantidad de puntos, como se muestra en la siguiente imagen.
Siete ventanas
Entendido el funcionamiento básico de las fichas del dominó, podemos plantear algunos juegos. Al primero le podemos denominar las siete ventanas.
Una ventana de dominó es una estructura cuadrada formada por cuatro fichas que dejan un hueco en medio, como las dos siguientes ventanas. La primera ventana de dominó tiene la característica de que las piezas siguen la regla básica del dominó, mientras que la segunda ventana no cumple la regla básica, pero la cantidad de puntos de cada uno de los cuatro lados es la misma (una regla tipo cuadrado mágico).
Solo con esto se pueden plantear dos interesantes juegos.
Rompecabezas 1: Utilizar las 28 fichas del juego del dominó para formar siete ventanas de dominó que cumplan la propiedad básica.
Rompecabezas 2: Utilizar las 28 fichas del juego del dominó para formar siete ventanas de dominó que cumplan la propiedad de que los cuatro lados de cada ventana suman lo mismo.
Se puede empezar construyendo ventanas de dominó individuales, tanto con la propiedad básica o con la de tipo cuadrado mágico, para entender bien el funcionamiento de los dos juegos.
Para el segundo rompecabezas pueden plantearse además algunos retos adicionales. En primer lugar, nos podríamos plantear cual es la mínima, respectivamente, la máxima, puntuación que puede conseguirse en una ventana de dominó. Para ello tomemos las cuatro fichas con menor puntuación (0-0, 0-1, 0-2, 1-1) y las cuatro con mayor puntuación (6-6, 6-5, 6-4, 5-5), e intentemos crear una ventana de dominó con la propiedad tipo cuadrado mágico con ellas. Si queréis intentarlo vosotras mismas no miréis la solución que se muestra en la siguiente imagen.
Claramente, podemos plantearnos el reto de conseguir, para cada valor entre 0 y 16, ventanas de dominó cuyas sumas laterales sean dicho valor.
Rompecabezas 3: ¿Para cada valor entre 0 y 16, existen ventanas de dominó con la propiedad de que los cuatro lados de cada ventana sumen ese mismo valor? (en caso afirmativo construirlas)
Para los dos ejemplos con el menor y el mayor valor para las sumas laterales se han tomado las cuatro piezas con menor, respectivamente, mayor, puntuación y se ha buscado una solución. Por lo tanto, podríamos plantearnos si elegidas cuatro fichas al azar siempre se podrá realizar una ventana de dominó.
Rompecabezas 4: ¿Dadas cuatro fichas elegidas al azar, es decir, cualesquiera cuatro fichas, siempre se podrá realizar una ventana de dominó cuyas sumas laterales sean iguales? ¿Se pueden caracterizar aquellos grupos de cuatro fichas para los que sí es posible?
Claramente la respuesta a la primera pregunta es negativa, existen combinaciones de cuatro fichas de dominó que da igual cómo las coloquemos no puede generarse una ventana de dominó de tipo cuadrado mágico.
No olvidemos que tenemos los dos rompecabezas iniciales (1 y 2), en particular, el de tipo cuadrado mágico para resolver una vez que hemos jugado un poco con las ventanas de dominó.
Cuadrados mágicos de dominó
En la línea de los rompecabezas de tipo cuadrado mágico anteriores, puede plantearse el construir cuadrados mágicos con las fichas del dominó. En primer lugar, recordemos qué es un cuadrado mágico. Un cuadrado mágico de orden n es una distribución de los primeros n2 números (aunque, de forma general, puede ser una colección cualquiera de n2 números) sobre las casillas de un retículo cuadrado n x n, de forma que la suma de los números de cada fila, cada columna y cada diagonal principal sea siempre la misma, la cual se conoce con el nombre de constante mágica.
El concepto puede extenderse a un grupo de n2 números, no necesariamente los primeros n2 números naturales e incluso permitiendo que algunos números se repitan. En esta línea podemos definir qué es un cuadrado mágico dominó, que no es más que una estructura cuadrada formada por fichas de dominó tal que la suma de los puntos de cada fila, cada columna y cada diagonal principal sea siempre la misma, como en el siguiente ejemplo, que es un cuadrado mágico dominó, cuya constante mágica (la suma de filas, columnas y diagonales principales) igual a 13.
En general, un juego matemático interesante es la construcción de cuadrados mágicos dominó, como el anterior.
Rompecabezas 5: Utilizando algunas de las 28 fichas de dominó construir cuadrados mágicos dominó de diferentes tamaños n x n y diferentes constantes mágicas.
Este rompecabezas tiene muchas soluciones, por lo que es interesante abordarlo gradualmente, según tamaños y posibles constantes mágicas, de menor a mayor.
Además, una variante muy interesante, sobre todo si lo utilizamos para un aula o un taller, es ofrecer un grupo de fichas de dominó para realizar con ellas el correspondiente cuadrado mágico dominó (aunque para lo cual hay que tener la certeza de que esas fichas lo forman). Por ejemplo, utilizar las fichas 0-0, 0-1, 0-2, 0-3, 1-1, 1-2, 1-3, 1-4.
En el libro Amusements in mathematics (1917), del experto inglés en matemática recreativa Henry E. Dudeney (1857-1930), se plantea el problema de elegir 18 fichas de dominó para formar un cuadrado mágico dominó de tamaño 6 x 6, cuya constante mágica puede estar entre 13 (que es el ejemplo que ilustra el problema) y 23. En concreto el ejemplo de constante igual a 13 está formado por las siguiente fichas: 0-0, 0-1, 0-2, 0-3, 0-4, 0-5, 1-1, 1-2, 1-3, 1-4, 1-5, 1-6, 2-2, 2-3, 2-4, 2-6, 3-3, 3-4 (aquí tenéis un pdf con las fichas de este rompecabezas: piezas [cuadrado magico domino 66.pdf]).
Como se puede leer, por ejemplo, en el artículo The Existence of Domino Magic Squares and Rectangles, de Michael Springfield y Wayne Goddard, se puede extender el concepto de cuadrado mágico dominó a rectángulos. Un rectángulo mágico dominó es una estructura rectangular n x m formada por fichas de dominó tal que la suma de los puntos de cada una de las n filas es la misma (constante mágica de filas), de la misma forma, la suma de los puntos de cada una de las m columnas es también la misma (constante mágica de columnas). Por ejemplo, en las siguientes imágenes se muestran dos rectángulos mágicos dominó.
Por lo tanto, el juego genérico sería la construcción de rectángulos mágicos dominó, como los anteriores.
Rompecabezas 6: Utilizando algunas de las 28 fichas de dominó construir rectángulos mágicos dominó de diferentes tamaños n x m y diferentes constantes mágicas.
De nuevo, este es un problema muy amplio que hay que resolver también de forma gradual, según tamaños y posibles constantes mágicas, de menor a mayor.
Dominosa o el juego de las disecciones de dominó
El juego denominado dominosa o disecciones de dominó es un juego de ingenio muy interesante y entretenido. El juego consiste en una estructura reticular cuadrada o rectangular, tal que en cada celda de la retícula aparece el número, del 0 al 6, como en la siguiente imagen.
El objetivo del juego es descomponer el tablero del juego en las fichas del dominó que han dado lugar al mismo, como se observa en la solución del anterior juego que se muestra en la siguiente imagen.
En general, cuando se juega a este juego hay que conocer cuáles son las fichas empleadas. En el anterior juego se utilizan las fichas 0-0, 0-1, 1-1, 0-2, 1-2, 2-2, 0-3, 1-3, 2-3 y 3-3.
Lo habitual es que se utilicen las fichas desde 0-0 hasta k–k, es decir, todas las fichas con una cantidad de puntos en cada uno de sus cuadrados menor, o igual, que k, y se dice que el juego es un dominosa de tamaño k. Así, el anterior juego es un dominosa de tamaño 3.
El siguiente ejemplo es un dominosa de tamaño 4, luego utiliza las fichas 15 fichas que van desde 0-0 hasta 4-4, es decir, 0-0, 0-1, 1-1, 0-2, 1-2, 2-2, 0-3, 1-3, 2-3, 3-3, 0-4, 1-4, 2-4, 3-4 y 4-4.
La técnica para empezar la resolución consiste en buscar una pareja de números, en horizontal y vertical, de las correspondientes a las fichas utilizadas (en este último juego desde 0-0 a 4-4), de manera que esa pareja solo aparezca una vez. Por ejemplo, la pareja 0-0 solo aparece una vez, en la primera columna, luego necesariamente se corresponde con la ficha 0-0 de la solución. Y lo mismo ocurre con la pareja 0-3, que solo aparece en la quinta fila, por lo que se corresponde con una ficha 0-3 de la solución, como se muestra en la siguiente imagen.
Por otra parte, existen tres posibilidades para la ficha que se corresponde con la pareja 3-4, dos en la primera fila (4-3 y 3-4) y otra en la sexta columna (4-3), dos de las cuales habrá que desestimar más adelante según se vaya resolviendo el juego. En este caso es sencillo ya que, al determinar la posición de la ficha 0-0, el 4 de la esquena superior izquierda solo puede estar asociado al 3 siguiente, luego esa es la ficha 4-3. De igual forma, el 3 siguiente (en la primera fila), podría estar unido al 2 de abajo o al 4 siguiente, pero esta última opción no es posible, ya que ya está determinada la ficha 3-4 (o 4-3, que son la misma), por lo que se obtiene la ficha 3-2, en la tercera columna, como se muestra en la siguiente imagen. Además, esas tres fichas, 0-0, 4-3 y 3-2, rodean al 1, que solo puede unirse al 4 de abajo, luego esa es la ficha 1-4. Y así se puede seguir fácilmente.
Terminar este juego ya es cuestión de un poco de paciencia.
A continuación, algunos juegos más de tamaños 5 y 6, sacados de la página es.puzzle-dominosa.com [https://es.puzzle-dominosa.com/], en la cual también hay de más tamaños, ya que se considera el dominó extendido utilizando no solo puntos hasta 6 sino hasta otras cantidades.
También podéis encontrar muchos más juegos dominosa, de diferentes tamaños, en la página Rätsel, Puzzles & Denksport online / Rompecabezas, acertijos y juegos de ingenio en línea, de Angela y Otto Janko.
Sobre el autor: Raúl Ibáñez es profesor del Departamento de Matemáticas de la UPV/EHU y colaborador de la Cátedra de Cultura Científica