El contador de arena

El contador de arena o Arenario es el título de un tratado de Arquímedes (ca. 287 a. C.- ca. 212 a. C.) escrito alrededor de 216 a. C. y dedicado a su benefactor, Gelón II de Siracusa.

En este escrito, el científico griego pretendía determinar la cantidad de granos de arena necesarios para llenar el universo.

La tarea no era sencilla, ya que Arquímedes tuvo que estimar el tamaño del universo según el modelo de la época e idear una manera de hablar de números extremadamente grandes…

Nombrando números grandes

Como hemos comentado, Arquímedes tuvo que idear un método para nombrar números grandes. El sistema numérico de ese momento podía expresar números hasta una miríada (diez mil, 10⁴). Así, usando esta misma palabra, se puede extender inmediatamente esta nomenclatura para nombrar todos los números hasta una miríada de miríadas (es decir, cien millones,10⁸). Arquímedes denominó a los números hasta 10⁸ (sin incluirlo) números primeros del primer periodo.

El científico consideraba a cien millones, 10⁸, la unidad de los números segundos del primer periodo. Los múltiplos de 10⁸ eran así los números segundos del primer periodo, hasta esta unidad tomada una miríada de miríadas de veces, 10⁸ x 10⁸ = 10¹⁶, la unidad de tercer orden, cuyos múltiplos eran los números de tercer orden, y así sucesivamente.

Arquímedes continuó nombrando números de esta manera hasta llegar a una miríada-miríada de veces la unidad 10⁸, es decir, 10⁸ elevado a 10⁸ (denotamos a esta cantidad N) que es la unidad del primer orden del segundo período.

La unidad del segundo orden del segundo periodo sería N x 10⁸ y se continuaría de este modo hasta definir una miríada de órdenes en el segundo periodo, y seguir con un tercer período cuya unidad es N², y luego con un cuarto periodo que empieza en N³. Arquímedes continuó con este proceso hasta definir 10⁸ periodos.

Arquímedes también descubrió y demostró la ley de los exponentes para poder manejar estas cantidades.

Midiendo el Universo

Arquímedes utilizó el modelo heliocéntrico de Aristarco de Samos: el Sol permanece inmóvil mientras la Tierra orbita a su alrededor. El propio Arquímedes decía en su Arenario:

Sus [las de Aristarco] hipótesis son que las estrellas fijas y el Sol permanecen inmóviles, que la Tierra gira alrededor del Sol en la circunferencia de un círculo, estando el Sol en el centro de la órbita, y que la esfera de estrellas fijas, situada alrededor del mismo centro que el Sol, es tan grande que el círculo en el que él supone que gira la Tierra guarda tal proporción con la distancia de las estrellas fijas como el centro de la esfera guarda con su superficie.

Según Arquímedes, Aristarco no especificó a qué distancia se encontraban las estrellas de la Tierra por lo que tuvo que hacer las siguientes suposiciones:

1. que el universo era esférico;
2. que la relación entre el diámetro del Universo y el diámetro de la órbita de la Tierra alrededor del Sol era igual a la relación entre el diámetro de la órbita de la Tierra alrededor del Sol y el diámetro de la Tierra.

Para calcular la cantidad de granos de arena que llenan el universo, también supuso:

1. que la circunferencia de la Tierra no superaba las 300 miríadas de estadios (5,55 × 10⁵ km, una sobreestimación de aproximadamente un factor de 40);
2. que la Luna no era más grande que la Tierra, y que el Sol no era más de treinta veces más grande que la Luna (1,65 × 10⁷ km, una sobreestimación de aproximadamente un factor de 10);
3. que el diámetro angular del Sol, visto desde la Tierra, era mayor que 1/200 de un ángulo recto (π/400 radianes, una sobreestimación, pero precisa dentro del 20 % del valor real).

Teniendo en cuenta estas hipótesis, Arquímedes concluyó que el diámetro del Universo no superaba los 10¹⁴ estadios (unos 2 años luz en unidades modernas).

Contando granos de arena

Para Arquímedes, cada grano de arena tenía un diámetro aproximado de 19 μm (0,019 mm).

El científico manifestaba que cuarenta semillas de amapola colocadas una al lado de la otra equivalían a un dáctilo griego (el ancho de un dedo), que medía aproximadamente 19 mm de longitud. Como el volumen es proporcional al cubo de una dimensión lineal, una esfera de un dáctilo de diámetro contendría (según nuestro sistema numérico actual) 40³ = 64 000 semillas de amapola.

También afirmaba que cada semilla de amapola podría contener una miríada (10⁴) de granos de arena. Multiplicando ambas cifras, propuso 640 millones como el número de hipotéticos granos de arena en una esfera de un dáctilo de diámetro. Para simplificar los cálculos posteriores, redondeó 640 millones a mil millones, señalando que, como el primer número era menor que el segundo, la cantidad de granos de arena calculada posteriormente superaría la cantidad real.

Un estadio griego tenía una longitud de 600 pies griegos, y cada pie medía 16 dáctilos, por lo que había 9600 dáctilos en un estadio. Arquímedes redondeó de nuevo esta cifra a una miríada para simplificar los cálculos, señalando que el número resultante superaría la cantidad real de granos de arena.

El cubo de una miríada es 10¹², así que, multiplicando mil millones (el número de granos de arena en una dáctilo-esfera) por un billón (número de dáctilo-esferas en una estadio-esfera) se obtiene 10²¹, el número de granos de arena en una estadio-esfera.

Como hemos comentado antes, Arquímedes estimó que el Universo tenía un diámetro de 10¹⁴ estadios, por lo que habría (10¹⁴)³ = 10⁴² estadios-esferas en el universo. Así, en el Universo podría contener 10²¹ x 10⁴² = 10⁶³ granos de arena.

Para este verano…

… quizás te apetezca hacer un cálculo más asequible, ¿quizás estimar la cantidad de granos de arena de la playa que (si es el caso) visites?

Referencias

• Heinrich F. Fleck, Archimede Arenario, Quaderni di Scienze Umane
• e Filosofia Naturale vol. 2, no. 2, 2016
• Juan Navarro Loidi, El Arenario de Arquímedes, Actes de la XXI Jornada sobre la Història de la Ciència i l’Ensenyament. Barcelona, SCHCT-IEC
• Ferragud, C.; Massa-esteve, M. R. (ed.) (2025) 70-76
• Arenario, original en griego
• Arenario, en latín
• The Sand Reckoner, Wikipedia

Sobre la autora: Marta Macho Stadler es profesora de Topología en el Departamento de Matemáticas de la UPV/EHU, y editora de Mujeres con Ciencia