Los números desnudos

Siguiendo el camino marcado por mis dos últimas entradas en el Cuaderno de Cultura Científica, tituladas Los números de Smith y Canadá tiene su propia familia de números, esta entrada se centra en una nueva familia de números naturales, los llamados números desnudos. Esta es, además, una familia muy interesante para trabajar las reglas de la divisibilidad (véanse las entradas Las curiosas reglas de divisibilidad y Las curiosas reglas de divisibilidad (II)).

¿Qué es un número desnudo?

Se dice que un número natural es un número desnudo si es divisible por todos sus dígitos. Por ejemplo, 3.276 es un número desnudo ya que es divisible por sus dígitos 2, 3, 6 y 7, de hecho, 3.276 = 2 x 1.638 = 3 x 1.092 = 6 x 546 = 7 x 468. O también el número 1.153.395, que es divisible por 1, 3, 5 y 9, siendo 1.153.395 = 3 x 384.465 = 5 x 230.679 = 9 x 128.155.

Los números repidígitos, o monodígitos, que son los números naturales formados por la repetición de una misma cifra, como 3, 99, 666, 222.222, 77.777.777 o 111.111.111.111.111 (que es un número repituno, de los que hablamos en la entrada ¿Tienen algún interés los números repitunos, cuyos dígitos son todos unos?), son claramente números desnudos, ya que son divisibles por la cifra que se repite. Como existen infinitos números repidígitos, podemos afirmar que también existen infinitos números desnudos.

Teorema: Existen infinitos números desnudos.

Se pueden construir más subfamilias infinitas de números desnudos. Por ejemplo, los números cuyos dígitos son todos 1, salvo el último (el de las unidades), que es un 2, como 11.112 o 111.111.111.112, que son divisibles por sus dígitos, 1 (todo número es divisible por 1) y 2 (un número terminado en 2 siempre es par). Argumento que sigue siendo válido si sustituimos el 2 por el 5, ya que los números divisibles por 5 son los que terminan en 0 o 5. En general, si tenemos en cuenta las reglas de divisibilidad podemos construir más familias infinitas de números desnudos.

Los números desnudos fueron introducidos por el creador de pasatiempos matemáticos Yoshinao Katagiri en una carta al editor publicada en la revista Journal of Recreational Mathematics (vol. 15, no. 4, 1982-83). Además, estos números forman la sucesión A034838 de la Enciclopedia on-line de sucesiones de enteros – OEIS, cuyos primeros términos son

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 15, 22, 24, 33, 36, 44, 48, 55, 66, 77, 88, 99, 111, 112, 115, 122, 124, 126, 128, 132, 135, 144, 155, 162, 168, 175, 184, 212, 216, 222, 224, 244, 248, 264, 288, 312, 315, 324, 333, 336, 366, 384, 396, 412, 424, 432, 444, 448, …

¿Números desnudos consecutivos?

Si dos números consecutivos n y n + 1 son números desnudos (asumimos que tienen más de un dígito, ya que todos los números de un solo dígito son desnudos) esto quiere decir que ambos son divisibles por los dígitos comunes, que son todos menos los de las unidades, luego todos esos dígitos tienen que ser igual a 1, ya que dividen a dos números consecutivos. Por lo tanto, esos dos números consecutivos desnudos serán de la forma 111…111U y 111…111(U + 1).

Ahora, nos podemos plantear cuando un número de la forma 111…111U es desnudo. Ya hemos visto que para U = 2 y 5 se tiene un número desnudo, pero qué ocurre con el resto de cifras. Atendiendo a las reglas de divisibilidad el número 111…111U es desnudo cuando ocurre lo siguiente:

i) si U = 1; ii) U = 2; iii) U = 3 y el número de unos es múltiplo de 3 (por la regla de divisibilidad del 3, que nos dice que “un número es divisible por 3 si, y sólo si, la suma de sus dígitos es divisible por 3”), como el 1.113 o 1.111.113; iv) U = 4, pero no hay ningún 1 (ya que “un número es divisible por 4 si, y sólo, si el número formado por los dos últimos dígitos, los de la derecha (decenas y unidades), es divisible por 4”, pero 14 claramente no lo es); v) U = 5; vi) U = 6 y el número de unos es múltiplo de 3, ya que el número debe ser divisible por 3; vii) U = 7 y el número de unos es múltiplo de 6 (lo cual se puede deducir de la regla de divisibilidad del 7, “un número es divisible por 7 si la suma alternada de los grupos de tres dígitos, empezando por la derecha, también lo es”); viii) U = 8, pero no hay ningún 1 (como en el caso del 4); ix) U = 9 y el número de unos es múltiplo de 9 (por la regla de divisibilidad del 9, que es similar a la del 3).
Teniendo en cuenta todo lo anterior podemos afirmar lo siguiente sobre números desnudos consecutivos (de más de un dígito). Si k es la cantidad de unos del número,

A. para cualquier valor de k, los números consecutivos de la forma 111…11 y 111…12 son desnudos;

B. si 3 divide a k, el trío de números 111…11, 111…12 y 111…13 son desnudos, así como la pareja de números 111…15 y 111…16;

C. si 6 divide a k, el trío de números 111…15, 111…16 y 111…17 son desnudos.

¿Cuál es el número desnudo más grande con todos sus dígitos distintos?

Otra cuestión interesante que se han planteado algunos matemáticos y matemáticas es cuál es el número desnudo más grande con todos sus dígitos distintos. Esta cuestión nos lleva a empezar a pensar en números desnudos con todos sus dígitos distintos, como 7, 15, 132, 4.128, 9.135 o 12.384, que son desnudos.

Resulta que los números desnudos cuyos dígitos son todos distintos tiene nombre. Son los números de Lynch-Bell, la sucesión A115569 de la Enciclopedia on-line de sucesiones de enteros – OEIS. Claramente la familia de los números de Lynch-Bell es finita puesto que no puede tener más de nueve dígitos.

Por lo tanto, si estamos buscando el número desnudo más grande con todos sus dígitos distintos, es decir, el mayor número de Lynch-Bell, lo primero que podemos hacer es intentar ver qué números pandigitales (que contienen todas las cifras básicas no nulas, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, sin repetir ninguna) son desnudos.

Primero analicemos una curiosidad relacionada con la cifra 5. Si un número desnudo contiene al 5 como uno de sus dígitos, entonces todos sus dígitos son impares. Esto se debe a la regla de divisibilidad del 5, es decir, un número es divisible por 5 si su dígito de las unidades es 0 o 5. Pero como el número no es divisible por 0, entonces su último dígito tiene que ser 5, por lo que no es par y no puede ser dividido por ningún número par.

Ahora, si tenemos en cuenta la anterior propiedad, el número desnudo más grande con todos sus dígitos distintos no puede ser pandigital, puesto que la cifra 5 no es compatible con las cifras pares 2, 4, 6 y 8.

Teorema: No existen números de Lynch-Bell, luego desnudos, pandigitales (con las nueve cifras no nulas, sin repetir ninguna).

Por lo tanto, lo lógico es que busquemos el número desnudo más grande que esté formado por todas las cifras no nulas (sin repetir ninguna), menos el 5, es decir, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8 y 9. Pero antes, veamos el otro caso, busquemos los números de Lynch-Bell que contengan al 5.

Como hemos comentado los números desnudos, en particular, los de Lynch-Bell, que contienen al 5 solo contienen cifras impares, 1, 3, 5, 7, 9. Pero como la suma de estas cifras es 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25, que no es divisible por 3 o por 9, no existen números de Lynch-Bell con todas las cifras impares.

Teorema: No existen números de Lynch-Bell con todas las cifras impares.

Ahora, nos podemos plantear si existen, y cuántos son, los números de Lynch-Bell con cuatro cifras impares. Por el mismo razonamiento que antes las cifras impares implicadas solo pueden ser 1, 3, 5, 9, cuya suma es 18. Como debe acabar en 5, para ser divisible por esta cifra, tenemos que las soluciones son 1.395, 1.935, 3.195, 3.915, 9.135 y 9.315.

Pero volvamos a la cuestión de encontrar el número de Lynch-Bell más grande. Sabemos que tenemos que empezar buscando entre los formados por las cifras 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9. Sumamos estas cifras, 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 7 + 8 + 9 = 40, que no es múltiplo de 3, luego no existen números de Lynch-Bell con estas ocho cifras, ya que no pueden ser divisibles por 3. Aquí tendríamos dos opciones: i) eliminar las cifras 3, 6, 9 (quedarían solo cinco cifras); ii) eliminar una única cifra para evitar el problema (quedarían siete cifras). Analicemos ambas opciones.

Opción i): eliminar las cifras 3, 6, 9, luego utilizar las cifras 1, 2, 4, 7 y 8. Si el número es divisible por 2, el último dígito (derecha) es 2, 4 u 8. Si es divisible por 4, los dos últimos dígitos (derecha) tienen que ser divisibles por 4, luego, con las cinco cifras anteriores, solo pueden ser las combinaciones 12, 24, 28 y 48. Si es divisible por 8, los tres últimos dígitos (derecha) tienen que ser divisibles por 8, luego las únicas combinaciones posibles, teniendo en cuenta el anterior comentario, son 712, 824, 128 y 248. Con ellas podemos generar ocho números 48.712, 84.712, 17.824, 71.824, 47.128, 74.128, 17.248 y 71.248, de los cuales solo el número 17.248 es también divisible por 7, luego es el único número de Lynch-Bell generado por las cifras 1, 2, 4, 7 y 8.

Opción ii): eliminar una única cifra, para que sea divisible por 3. Lo que nos llevaría a que de las cifras 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9 hay que eliminar una de ellas para que la suma sea múltiplo de 3, lo que nos lleva a tres candidatas 1, 4 y 7. Sin embargo, para que sea además divisible por 9 solo queda la opción de eliminar la cifra 4. En consecuencia, buscamos números de Lynch-Bell con las cifras 1, 2, 3, 6, 7, 8 y 9. Aquí tenemos muchas opciones, como el número 3.817.296, que es divisible por todos sus dígitos, 3.817.296 = 2 x 1.908.648 = 3 x 1.272.432 = 6 x 636.216 = 7 x 545.328 = 8 x 477.162 = 9 x 424.144.

De los 7! = 5.040 números que pueden construirse con las cifras 1, 2, 3, 6, 7, 8 y 9, de manera que no haya ninguna que se repita, hay 105 números de Lynch-Bell, es decir, números desnudos con todos sus dígitos diferentes. El más pequeño de ellos es 1.289.736 y el más grande, que era el que buscábamos, es 9.867.312.

Teorema: El número desnudo más grande con todos sus dígitos distintos es 9.867.312.

Por cierto, la cantidad total de números de Lynch-Bell es 548.

Rompecabezas matemáticos

Como comentábamos al principio, esta es una familia de números muy interesante para trabajar, o jugar, con las reglas de divisibilidad. De hecho, se pueden generar algunos interesantes juegos matemáticos, como el problema 34 del libro Puzzles 101: A Puzzlemaster’s Challenge, del inventor de rompecabezas matemáticos y juegos de ingenio japonés Nobuyuki Yoshigahara (1936-2004), al que denominó problema LYM (Least Yoshigahara Multiple – Menor Múltiplo de Yoshigahara).

Problema LYM: Elige dos cifras del 2 al 9. Crea un número cuyos dígitos sean alguna de estas dos cifras, de manera que sea divisible por cualquiera de los dos. Por ejemplo, con el 4 y el 8 se pueden formar el 48 o el 488, y cada uno de ellos es divisible tanto por el 4 como por el 8. Si utilizas el 2 y el 4, el número más pequeño de este tipo es el 24. Si utilizas el 3 y el 5, el número más pequeño de este tipo es el 3555. Encuentra dos cifras de tal forma que el número más pequeño de este tipo sea el mayor de todas las combinaciones.

Para obtener la solución a este problema, buscad el número más pequeño para todas las elecciones de dos cifras entre el 2 y el 9 y disfrutad del camino hacia la misma. Después de la bibliografía os dejo la solución al mismo, aunque os animo a que juguéis a este rompecabezas antes de mirar la solución.

Podéis ir más allá con este problema y elegir más de dos cifras. Primero podéis elegir tres cifras, cuando terminéis cuatro, etcétera hasta llegar a la mayor cantidad posible de cifras. O incluso incluir la cifra 1 entre las cifras a elegir, luego serían todas las cifras no nulas. Así podríais llegar al número más pequeño con la mayor cantidad de cifras posible (que es ocho, como ya sabíamos):

Bibliografía

1.- Raúl Ibáñez, La gran familia de los números, Libros de la Catarata – ICMAT – FESPM, 2021.

2.- Numbers Aplenty.

3.- Roberto A. Ribas, The Nude Numbers, The Pentagon, vol. 45, no. 1, pp. 18-31, 1985.

4.- Nobuyuki Yoshigahara, Puzzles 101: A Puzzlemaster’s Challenge, Taylor & Francis, 2018.

Nota:

La solución al problema LYM es el número 77.777.779.779, que es el más pequeño que puede ser dividido por 7 y 9. El siguiente más grande sería 8.888.889.888, que es el más pequeño divisible por 8 y 9.

Sobre el autor: Raúl Ibáñez es profesor del Departamento de Matemáticas de la UPV/EHU y colaborador de la Cátedra de Cultura Científica