Canadá tiene su propia familia de números

En la anterior entrada del Cuaderno de Cultura Científica, titulada Los números de Smith, hablamos de una familia de números naturales que había llamado mi atención mientras trasteaba en una página web que suelo visitar con cierta asiduidad y que recomiendo a todas las personas apasionadas de los números y sus propiedades, Numbers Aplenty.

Los números de Smith es una familia de números naturales en cuya definición aparecen tanto los divisores de los números (como ocurre con los números amigos, perfectos, ambiciosos o intocables), como los dígitos de los números (como con los números narcisistas, potentes, de Follet, felices o de Munchausen). Un número de Smith es un número compuesto, es decir, no es primo, tiene divisores, tal que la suma de sus dígitos es igual a la suma de los dígitos de sus factores primos, contados estos con su multiplicidad, es decir, tantas veces como aparecen en la descomposición factorial. Por ejemplo, el número de la bestia 666 es un número de Smith, ya que si se tiene en cuenta que la descomposición factorial de este número es 666 = 2 x 3 x 3 x 37, puede observarse que al sumar sus dígitos 6, 6 y 6, se obtiene 18, lo mismo que sumando los dígitos de la descomposición en factores primos, 2 + 3 + 3 + 3 + 7.

En esta entrada vamos a hablar de otra familia de números particular en cuya definición también aparecen tanto los divisores de los números, como sus dígitos.

Los números de Canadá

Lo primero, como no puede ser de otra forma, es definir esta moderna familia de números. Un número natural se dice que es un número de Canadá (o también un número perfecto de Canadá, siendo la palabra “perfecto” una alusión a los números perfectos para los cuales la suma de sus divisores no triviales es el propio número menos 1) si la suma de los cuadrados de sus dígitos es igual a la suma de los divisores no triviales del número. Vayamos con algunos ejemplos ilustrativos. Por ejemplo, el número 125 es un número de Canadá ya que la suma de los cuadrados de sus dígitos 1² + 2² + 5² = 30 es igual a la suma de sus divisores no triviales que son 5 y 25 (los divisores triviales son 1 y 125), ya que 125 = 5³. Otro número de esta familia es 581, cuyos divisores no triviales son 7 y 83, ya que es un semi-primo, producto de los primos 7 y 83, cuya suma 7 + 83 = 90, que es igual a la suma de sus dígitos al cuadrado, 5² + 8² + 1² = 90.

Esta familia de números fue definida por los matemáticos polaco Jacek Fabrykowski (1950-2016), canadiense Barry Wolk (1941-2023) e indio (¿?) Ranganathan Padmanabhan, de la Universidad de Manitoba (Canadá), en 1992, con motivo del 125 aniversario de la independencia de Canadá.

Hemos visto un par de ejemplos de números perfectos de Canadá, 125 y 581, pero veamos un par de ejemplos más para irnos familiarizando con el concepto. Así, el número 8.549 también es un número de Canadá, ya que la suma de sus dígitos al cuadrado 8² + 5² + 4² + 9² = 186 es igual a la suma de sus divisores no triviales, que son los números primos 83 y 103, puesto que 8.549 también es un número semi-primo. Lo mismo ocurre para el semi-primo 16.999 = 89 x 191, para el que tanto la suma de los cuadrados de sus dígitos, como de los divisores no triviales, es igual a 280.

¿Cuántos números perfectos de Canadá hay?

Existen familias de números naturales que tienen una cantidad infinita de elementos, como los números de Smith, de los que hablamos en la anterior entrada, Los números de Smith, pero también son infinitos los números primos, intocables, extraños, prácticos, vampiros o felices, entre otros. Para algunas familias de números no se conoce si tienen una cantidad finita o infinita de elementos, son problemas que continúan abiertos y en los que se sigue investigando, como los números amigos, sociables, perfectos o primos gemelos. Mientras que para otras familias sí se conoce que tienen una cantidad finita de elementos, como los números narcisistas, de Follet, de Munchausen o primos permutables (véase el libro La gran familia de los números o algunas de las entradas sobre estos números en el Cuaderno de Cultura Científica).

Pero qué ocurre con los números perfectos de Canadá, ¿es una familia finita o infinita? La respuesta es sorprendente. Esta familia está formada únicamente por cuatro miembros, 125, 581, 8.549 y 16.999 (J. M. De Koninck, A. Mercier, Introduction a la théorie des nombres, Modulo, 2a. edición, 1997).

La idea de la demostración es la siguiente. Primero, se puede demostrar, teniendo en cuenta la propiedad definitoria de estos números, que no hay números de Canadá con más de seis dígitos (es decir, los números perfectos de Canadá tienen que ser menores que 10⁶). Para ello primero se observa que la suma de los cuadrados de los dígitos es, como máximo, igual a 81 veces su número de dígitos (ya que el valor máximo de cada dígito es 9). Mientras que puede razonarse que la suma de los divisores no triviales de un número compuesto (claramente los números primos no pueden ser perfectos de Canadá) es, como mínimo, igual a su raíz cuadrada. Estas dos desigualdades consideradas en la definición, que la suma de los cuadrados de los dígitos del número es igual a la suma de los divisores no triviales, conduce a que no existen números de Canadá mayores que 10⁶, más aún, mayores que 236.196 (la demostración puede leerse en la wikipedia en alemán: Kanada-vollkommene Zahl).

Una vez demostrado lo anterior, se trata calcular, por ejemplo, con un pequeño programa en el ordenador, todos los números de esta familia con menos de siete dígitos, que resultan ser los ya comentados: 125, 581, 8.549 y 16.999. Esta es la sucesión A070308 de la Enciclopedia on-line de sucesiones de enteros – OEIS.

Bibliografía

1.- Raúl Ibáñez, La gran familia de los números, Libros de la Catarata – ICMAT – FESPM, 2021.

2.- Numbers Aplenty.

3.- J. M. De Koninck, A. Mercier, Introduction a la théorie des nombres, Modulo, 2ª. edición, 1997.

4.- Wikipedia (alemán): Kanada-vollkommene Zahl.

Sobre el autor: Raúl Ibáñez es profesor del Departamento de Matemáticas de la UPV/EHU y colaborador de la Cátedra de Cultura Científica