Los números de Smith
Mi libro La gran familia de los números (2021), de la colección Miradas matemáticas (coeditado por Libros de la Catarata, ICMAT y FESPM), está dedicado a presentar algunas sorprendentes e interesantes familias de números naturales, entre las que están los números figurados, primos, capicúas, cíclicos, perfectos, amigos, sociables, intocables, extraños, prácticos, narcisistas, potentes, felices o vampiros, entre muchos otros. En el mismo se muestra la historia de cada familia, interesantes anécdotas y leyendas, fascinantes propiedades matemáticas, problemas matemáticos abiertos, es decir, que aún no se han conseguido resolver y se siguen investigando, el uso que se ha hecho de estas familias en la matemática recreativa, su presencia en las artes, las aplicaciones prácticas, cuando las hay, pero, sobre todo, la fascinación que nos provocan a muchas personas.
Sin embargo, muchas otras familias de números naturales, también muy interesantes y sorprendentes, se quedaron fuera del libro. En el Cuaderno de Cultura Científica se han ido recogiendo algunas de estas familias, como los números harshad o de Niven (véase la entrada Los números que proporcionan alegría , apocalípticos (véase Los números apocalípticos), congruentes (véase El teorema de Pitágoras y los números congruentes), insólitos (véase Los números insólitos), repitunos (véase ¿Tienen algún interés los números repitunos, cuyos dígitos son todos unos?), parásitos (véase Los números parásitos), o de la suerte (véase Los números de la suerte), entre otros.
En esta entrada vamos a añadir una familia más a la colección, un grupo de números naturales que llamaron mi atención mientras trasteaba en una página web que suelo visitar con cierta asiduidad, Numbers Aplenty. Esta es una familia de números naturales que está en la intersección de dos grandes colecciones de familias, las definidas por las propiedades de los divisores de los números (como los números amigos, perfectos, ambiciosos o intocables) o las basadas en las propiedades de los dígitos de los números (como los números narcisistas, potentes, de Follet, felices o de Munchausen), ya que en su definición aparecen tanto los divisores, como sus dígitos.
Los números de Smith
Empecemos por el principio.
Definición: Un número natural se dice que es un número de Smith si es un número compuesto, es decir, no es primo, tiene divisores, tal que la suma de sus dígitos es igual a la suma de los dígitos de sus factores primos, contados estos con su multiplicidad, es decir, tantas veces como aparecen en la descomposición factorial.
Un ejemplo que puede ilustrar este concepto es el número de la bestia 666 (véanse las entradas 666, el número de la Bestia (1) y 666, el número de la Bestia (2)), que es un número de Smith, ya que si se tiene en cuenta que la descomposición factorial de este número es 666 = 2 x 3 x 3 x 37, puede observarse que al sumar sus dígitos 6, 6 y 6, se obtiene 18, lo mismo que sumando los dígitos de la descomposición en factores primos, 2 + 3 + 3 + 3 + 7.
El nombre de números de Smith se debe al matemático canadiense-estadounidense Albert Wilansky (1921-2017) quien los introdujo en su pequeño artículo de diez líneas Smith numbers (The Two-Year College Mathematics Journal, vol. 13, no. 1, p. 21, 1982). El ejemplo que incluía en el mismo era el número 9.985, cuya descomposición es 5 x 1.997, de manera que la suma, tanto de sus dígitos, como de los dígitos de sus factores primos, es 31.
Una de las cosas que llama la atención al introducirse en estos números es que el apellido del matemático que ha puesto el nombre a los mismos no sea Smith. Por lo tanto, la pregunta es obvia, ¿por qué se llaman así los números de Smith? Wilansky lo explica en su artículo. La culpa la tiene el teléfono de su cuñado Harold Smith, que no es matemático, 493-7775, que es un número que tiene esta propiedad, de hecho, el número de Smith más grande que conocía en ese momento Wilansky. Efectivamente, el número 4.937.775 se descompone en factores primos como 3 x 5 x 5 x 65.837, siendo la suma, tanto de sus dígitos, como de los dígitos de sus factores primos, 42.
Los números de Smith son la sucesión A006753 de la Enciclopedia online de secuencias de números enteros – OEIS, cuyos primeros términos son:
4, 22, 27, 58, 85, 94, 121, 166, 202, 265, 274, 319, 346, 355, 378, 382, 391, 438, 454, 483, 517, 526, 535, 562, 576, 588, 627, 634, 636, 645, 648, 654, 663, 666, 690, 706, 728, 729, 762, 778, 825, 852, 861, 895, 913, 915, 922, 958, 985, …
En ese pequeño artículo Wilansky también se planteó si existían infinitos números de Smith.
Infinitos números de Smith
Como no podía ser de otra manera, muchos matemáticos se interesaron por esta nueva familia de números naturales. Al año siguiente de su introducción, los matemáticos puertorriqueños Sham Oltikar y Keith Wayland, publicaron (Construction of Smith Numbers, Mathematics Magazine, vol. 56, no. 1, p. 36-37, 1983) una manera de construir números de Smith utilizando números repitunos primos.
Un número es un número repituno si en la representación del número todos sus dígitos son unos (1), como los números 11, 111, 1.111 o 11.111 (véase la entrada ¿Tienen algún interés los números repitunos, cuyos dígitos son todos unos?). A estos números se les suele denotar como Rk si están formados por k unos (R2 = 11, R3 = 111, etc), al subíndice k se le denomina índice del número repituno.
Los matemáticos Oltikar y Wayland demostraron el siguiente resultado.
Teorema: Si Rk es un número repituno primo, con más de tres dígitos, entonces 3.304 x Rk es un número de Smith.
La descomposición en factores primos de 3.304 x Rk es 2 x 2 x 2 x 7 x 59 x Rk, siendo la suma de sus dígitos k + 27, mientras que esa misma es la suma de los dígitos de 3.304 x Rk, puesto que el producto de 3.304 por Rk, para k mayor o igual que 4, es igual a 36711…110744 (con k – 4 unos).
Este resultado nos hace plantearnos si existen números repitunos primos, con índice mayor que tres (luego 11 no vale), y si existen infinitos, ya que en ese caso estaría resuelta la cuestión planteada por Wilansky. Sin embargo, no se conoce si existen infinitos números repitunos primos. Como se mencionaba en la entrada ¿Tienen algún interés los números repitunos, cuyos dígitos son todos unos?, la sucesión de índices k para los cuales el número repituno Rk es primo es la sucesión la sucesión A004023 de la Enciclopedia On-line de Sucesiones de Números Enteros, cuyos términos son:
2, 19, 23, 317, 1.031, 49.081 (demostrado en marzo de 2.022), 86.453 (demostrado en mayo de 2023),
y se incluyen otros cuatro índices k tales que el número repituno Rk es probablemente primo, pero no está demostrado aún:
109.297, 270.343, 5.794.777, 8.177.207. Por lo tanto, esto nos genera, al menos, seis números de Smith de un cierto tamaño y quizás cuatro más, pero no tenemos la seguridad de que genere una familia infinita.
Y fue en 1987 cuando el matemático estadounidense Wayne L. McDaniel demostró (The Existence of Infinitely Many k-Smith Numbers, The Fibonacci Quarterly, vo. 25, no. 1, p. 76-80, 1987) que existen infinitos números de Smith. Uno de los miembros de esta familia es el número 15 x (106 – 1) x 102 = 1.499.998.500, cuya descomposición en factores primos es 1.499.998.500 = 2 x 2 x 3 x 3 x 3 x 3 x 5 x 5 x 5 x 7 x 11 x 13 x 37 y la suma de sus dígitos, y de los dígitos de la descomposición, es 54.
Números de Smith palíndromos, reversibles y pandigitales
Cuando se introduce una nueva familia de números naturales es muy habitual estudiar cuales de ellos cumplen alguna propiedad numérica extra. Por ejemplo, podemos considerar los números de Smith que son palíndromos (capicúas), como el 121 (cuya suma de sus dígitos y de los dígitos de sus factores primos, 11 x 11, es igual a 4). La sucesión de números de Smith capicúas es la sucesión A098834 de la Enciclopedia On-line de Sucesiones de Números Enteros, cuyos primeros términos son:
4, 22, 121, 202, 454, 535, 636, 666, 1111, 1881, 3663, 7227, 7447, 9229, 10201, 17271, 22522, 24142, 28182, 33633, 38283, 45054, 45454, 46664, 47074, 50305, 51115, 51315, 54645, 55055, 55955, 72627, 81418, 82628, 83038, 83938, 90409, 95359, 96169, 164461, …
Wayne L. McDaniel publicó, el mismo año de la demostración de que existen infinitos números de Smith (1987) y en la revista Journal of Recreational Mathematics, un artículo titulado Palindromic Smith numbers, en el que mostraba, por ejemplo, el número de Smith capicúa 12.345.554.321.
Relacionado con estos están los números de Smith reversibles, que son aquellos números de Smith tales que su simétrico también es de Smith, como los números 58 y su simétrico 85, el 265 y su simétrico 562, o el 319 y su simétrico 913. Por supuesto, los números de Smith palíndromos también son reversibles.
Los primeros números de Smith reversibles son (sucesión A104171 de la OEIS):
4, 22, 58, 85, 121, 202, 265, 319, 454, 535, 562, 636, 666, 913, 1111, 1507, 1642, 1881, 1894, 1903, 2461, 2583, 2605, 2614, 2839, 3091, 3663, 3852, 4162, 4198, 4369, 4594, 4765, 4788, 4794, 4954, 4974, 4981, 5062, 5386, 5458, 5539, 5674, 5818, 5926, 6295, …
Otra subfamilia curiosa es la de los números de Smith pandigitales (véase la entrada Universo pandigital). El número pandigital (formado por todas las cifras básicas, 0, 1, 2, …, 8, 9) más pequeño que es de Smith es 1.023.465.798, cuya descomposición en factores primos es 2 x 3 x 3 x 56.859.211, mientras que el más grande es 9.876.542.103, que se factoriza como 3 x 3 x 53 x 20.705.539. Por otra parte, si se consideran números pandigitales que no incluyan al cero, el más pequeño que es de Smith es 123.456.879 = 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 7 x 13 x 1.861, mientras que el más grande es 987.653.214 = 2 x 3 x 3 x 7.151 x 7.673.
En general, se pueden estudiar los números de Smith cuadrados, cubos, triangulares, de Fibonacci, etcétera.
Números de Smith hermanos
Otro concepto que ha llamado la atención dentro de esta nueva familia de números naturales es el concepto de números de Smith hermanos, que son sucesiones de números consecutivos de Smith, como las parejas de números de Smith 728 y 729, así como 2964 y 2965, o el triple 73.615, 73.616 y 73.617.
Las primeras cinco parejas de números de Smith hermanos son
(728, 729), (2.964, 2.965), (3.864, 3.865), (4.959, 4.960) y (5.935, 5.936);
los primeros cinco tríos de números de Smith hermanos son
(73.615, 73.616, 73.617), (209.065, 209.066, 209.067), (225.951, 225.952, 225.953), (283.745, 283.746, 283.747) y (305.455, 305.456, 305.457);
los primeros cinco cuartetos de números de Smith hermanos empiezan por los siguientes números
4.463.535, 6.356.910, 8.188.933, 9.425.550 y 11.148.564;
los primeros cinco quintetos de números de Smith hermanos empiezan por los números
15.966.114, 75.457.380, 162.449.165, 296.049.306 y 296.861.735;
los primeros cinco sextetos empiezan por los números
2.050.918.644, 6.826.932.280, 16.095.667.238, 16.214.788.810, 17.753.840.815;
mientras que el septeto de números de Smith hermanos más pequeño empieza por el número
164.736.913.905;
y el más pequeño de los octetos empieza en
8.090.674.745.553.
Bibliografía
1.- Raúl Ibáñez, La gran familia de los números, Libros de la Catarata – ICMAT – FESPM, 2021.
2.- Numbers Aplenty.
3.- Albert Wilansky, Smith numbers, The Two-Year College Mathematics Journal, vol. 13, no. 1, p. 21, 1982.
4.- Clifford A. Pickover, La maravilla de los números, Ma Non Troppo, 2002.
5.- Sham Oltikar and Keith Wayland, Construction of Smith Numbers, Mathematics Magazine, vol. 56, no. 1, p. 36-37, 1983.
6.- Wayne L. McDaniel, The Existence of Infinitely Many k-Smith Numbers, The Fibonacci Quarterly, vo. 25, no. 1, p. 76-80, 1987
7.- Shyam Sunder Gupta: Number recreations
Sobre el autor: Raúl Ibáñez es profesor del Departamento de Matemáticas de la UPV/EHU y colaborador de la Cátedra de Cultura Científica