La flauta travesera emite sus gráciles —léase penetrantes, léase molestos— sonidos gracias a la excitación del aire, un medio elástico, en el interior de un tubo. Sin embargo, los detalles de una física aparentemente elemental conspiran para impedirnos obtener respuestas sencillas a preguntas tan directas como a qué frecuencia fundamental vibra un simple cilindro hueco. Convenzámonos con este experimento de acústica para todos los públicos.

Manos a la obra

Para este experimento vamos a necesitar un tubo cerrado por un lado, no muy largo y —sobre todo— más bien estrecho, de centímetro o centímetro y medio de diámetro. Yo tengo a mano un tubo de ensayo del juguete de química de mis hijos, así que usaré eso mismo. Necesitaremos también algo para medir el tubo: un calibre, también llamado «pie de rey» viene al pelo por su capacidad para medir profundidades y diámetros con facilidad. Una calculadora vendrá también bien para hacer las cuentas.

Por último, necesitamos un frecuencímetro sonoro. ¿Un qué, ha dicho? Es probable que tengáis uno cerca y no lo sepáis. ¿Tenéis un móvil un poco moderno, de esos que llaman smartphones y que a mí me gusta llamar «listófonos»? Entonces tenéis un frecuencímetro. En las tiendas de aplicaciones suelen llamarlos afinadores, y antiguamente casi todos los instrumentistas profesionales que no tuvieran oído absoluto tenían un cacharrito dedicado para medir la desviación de una nota cualquiera de su instrumento de lo que se supone que tenía que sonar. Como mi teléfono funciona con el sistema operativo Android os pondré un ejemplo que funciona con ese sistema, pero no me cabe duda de que si tenéis un iPhone encontraréis un buen puñado de aplicaciones que sirvan a nuestro propósito. Usaré gStrings, de Cohortor.org [7], para medir el sonido que produzca soplando por el tubo de ensayo (ejercicio para el lector: encontrar el chiste). Es el afinador que tenía instalado y será perfectamente adecuado para esta tarea.

La actividad que os propongo es muy sencilla. Medid con cuidado vuestro tubo: longitud y diámetro internos (por eso es útil el calibre y no una simple regla, aunque siempre podéis aproximar). Poned el teléfono sobre alguna superficie plana de modo que esté cerca del lugar donde vais a poneros a soplar, y donde podáis ver bien la pantalla a la vez —sesenta centímetros o un metro debería ser suficiente. Activad el afinador. Acercad el tubo a vuestros labios, de forma que el aire que salga de ellos describa un chorro perpendicular al tubo; aquí tener algo de práctica con botellas os vendrá bien. Y… soplad. Fijáos en el valor de frecuencia que aparece en la pantalla mientras sopláis, no en el que queda después de hacerlo. Bailará, así que calculad una media mentalmente. Podéis tomar varias medidas y haced la media entre los resultados si queréis algo más de precisión. Luego, intentad tensar los labios y soplar algo más fuerte para obtener el primer armónico del tubo; repetid el proceso.

Mi tubo tiene una longitud interna de L = 0,121 m. Con esa longitud y nuestro ya profundo conocimiento de los tubos cerrados por un extremo podemos calcular las frecuencias de las notas que podemos producir, al menos en teoría. Como dijimos antes, la longitud de onda de la nota fundamental será cuatro veces la longitud interna del instrumento, y la del primer armónico lo obtendremos multiplicando la longitud por cuatro tercios. Vamos allá, calculadora en ristre —¡el listófono también tiene una! Por cierto, c es aquí la velocidad del sonido en el aire. Tomamos c = 343,2 m/s; en la fórmula del apartado anterior despejamos la frecuencia para poder calcularla:

Frecuencia fundamental: f₀ = c / (4 × L) = 709 Hz

Primer armónico: f₁ = c / (4/3 × L) = 2127 Hz

Sin embargo, al medir la frecuencia no he obtenido esos números, ni con seguridad los obtendréis vosotros. La media de varias medidas para la frecuencia fundamental dio 700 Hz, y 1915 Hz para el primer armónico: un fa₅ (el fa de la octava media de la flauta travesera, que es la quinta octava del piano) y un do₇ (el do sobreagudo de la flauta, que empieza la séptima y última octava completa también del piano), ambos desafinados por arriba. ¿Qué hemos hecho mal? Nada. Tan solo se nos ha cruzado eso que hace necesaria la ingeniería una vez que la ciencia ha establecido los principios de funcionamiento de las cosas: la molesta realidad.

(Aquí y en lo sucesivo las equivalencias de frecuencia acústica a nota se basarán en el sistema de afinación denominado «escala temperada». Matemáticamente, la escala temperada es la más sencilla de calcular. Más ventajas: para dos notas separadas un tono, la más grave alterada con un sostenido suena igual que la más aguda con bemol. Todas las tonalidades armonizan más o menos bien —pero no exactamente bien, lo que es matemáticamente imposible; esto evita tener que volver a afinar ciertos instrumentos como el piano al cambiar de tonalidad —y permite, de paso, modular entre tonalidades en una misma pieza musical. La flauta moderna está afinada tomando como referencia una escala temperada; veremos, sin embargo, que sus imperfecciones le permiten, en manos de un buen flautista, adaptarse a diferentes situaciones.)

La molesta realidad

Hay una variedad sorprendente de formas en que la simple actividad de soplar en un tubo puede recordarnos que de la física elemental a la realidad ingenieril va todo un mundo de distancia. Vamos a ver unas cuantas, en orden inverso de importancia.

Para empezar, la humedad ambiente puede introducir un cambio en la velocidad del sonido; a 25 °C, una humedad del 100% aumenta la velocidad del sonido en 1,5 m/s adicionales, para un pequeño error adicional. Otro error pequeño, pero de sentido contrario, viene impuesto por el contenido en CO₂ del aire, mayor en ambientes contaminados y en la exhalación humana que al aire libre.

No somos perfectos y podríamos haber cometido un error de medida. En este experimento concreto es fácil estimar que un error de un milímetro en la medida de la longitud nos hará cometer un error de alrededor de un 1% en la frecuencia fundamental. Más o menos 17 centésimos de semitono temperado o cents —en la escala temperada hay por definición 100 cents entre cada nota y sus contiguas. No parece un error demasiado significativo, pero hay más.

Hemos usado un valor de la velocidad del sonido en el aire de c = 343,2 m/s, pero esto solo es cierto para aire seco y una temperatura de 20 °C. ¿Qué pasa si hubiéramos hecho la medida a 15 °C, tan solo cinco grados menos? Entonces, c estaría más próximo a 340 m/s y estaríamos cometiendo otro error similar al anterior. Lo mismo, pero al revés, ocurre para temperaturas ambiente superiores: en el rango de temperaturas en el que nos movemos los humanos la dependencia de la velocidad del sonido con la temperatura es lineal; a 30 °C, por ejemplo, se alcanzan los 350 m/s. Una conclusión interesante es que al aumentar su temperatura interna todos los instrumentos de viento se hacen más agudos de una forma perceptible si quien los escucha tiene oído absoluto… O si tienen que armonizarse con otros instrumentos más estables.

Pero todavía no hemos rozado los errores que más afectan a nuestro sencillo modelo. Uno de ellos es completamente inevitable y surge de un choque más con la realidad del modelo simple que hemos usado para tratar de hacer las cuentas. El otro es más o menos controlable, y de hecho los flautistas profesionales lo usan conscientemente para ajustar notas que, por un motivo u otro, no están correctamente afinadas.

Vayamos con el primero. Las paredes de un cilindro relativamente estrecho constriñen el movimiento del aire, que se comporta así educadamente. Modelar de forma exacta lo que sucede cuando el tubo se acaba es un problema mucho más complejo debido a la viscosidad del aire y al aumento en los grados de libertad de su movimiento. ¡Turbulencia y caos!

El problema del borde del tubo suele soslayarse suponiendo que el punto de máximo flujo (o, equivalentemente, mínima presión) no ocurre justo ahí, sino a cierta distancia fuera de él. Tomaremos, entonces, una longitud del tubo mayor que la real en cierto valor que dependerá de su diámetro interno D, multiplicado por un coeficiente que podríamos denominar, con toda la razón del mundo, «factor chanchullo de Flanagan» —pero que técnicamente se denomina corrección de extremo. Para las flautas, abiertas por los dos lados, suele aceptarse un valor de 0,6 (sin unidades), que se reduce a la mitad en el caso de un tubo con una única abertura:

L_eff = L + 0,3 D

En nuestro experimento este «efecto de borde» está introduciendo un error potencial que reducirá las frecuencias que midamos; en el caso de mi tubo de ensayo, con un diámetro de 14 mm, casi en un 3,4%. Es decir, 60 cents menos, algo más de medio semitono.

El segundo efecto es potencialmente más importante. Al soplar en un tubo como el de nuestro experimento, al igual que cuando lo hacemos en una botella o en la embocadura de una flauta travesera, buscamos que el ángulo del chorro del aire sea lo más paralelo posible a la abertura del agujero, aunque no del todo. Si modificamos ese ángulo conscientemente alterando nuestra forma de exhalar el aire —modificando hacia detrás la posición de la mandíbula inferior para inclinar el chorro hacia adentro— la resonancia del sistema se altera. En el caso del tubo de ensayo de mi experimento no es muy complicado llevarlo de esta forma desde los 700 Hz hasta los 666 Hz: del fa₅ al mi₅, ambos casi igual de desafinados.

Complejo, ¿verdad? Recordad que en todo momento estamos hablando de un sistema que tiene un agujero solo —con mis respetos a Bartolo. ¿En qué laberinto nos tendremos que internar para desentrañar los misterios de la flauta travesera?

Referencias

[1] S. A. Wicks, «Flutes or piccolos could harm your hearing», http://www.larrykrantz.com/flutesor.htm, consultado el 16/07/2016.

[2] S. Münzel et al., «The Geißenklösterle Flute – Discovery, Experiments, Reconstruction», Studien zur Musikarchäologie III; Archäologie früher Klangerzeugung und Tonordnung; Musikarchäologie in der Ägäis und Anatolien, Orient-Archäologie, 2002, tomo 10, ed. Verlag Marie Leidorf GmbH, Rahden/Westfalen; pp. 107-118.

[3] D. Buisson, «Les flûtes paléolithiques d’Isturitz (Pyrénées-Atlantiques)», Bulletin de la Société Préhistorique Française, 1990, tomo 87, nos. 10-12, pp. 420-433.

[4] T. Higham et al., «Τesting models for the beginnings of the Aurignacian and the advent of figurative art and music: The radiocarbon chronology of Geißenklösterle», Journal of Human Evolution, 2002, pp. 1-13.

[5] Pseudo-Plutarco, «De fluviis», cap. X, s. III-IV EC, ed. W. W. Goodwin, Little, Brown & Co., Cambridge, Massachussetts, 1874.

[6] I. Newton, «Principia Mathematica Philosophiae Naturalis», libro II, sección VIII, pág. 363 y ss., 1687, trad. y ed. I. Bruce., 2012.

[7] gStrings Tuner, https://play.google.com/store/apps/details?id=org.cohortor.gstrings, cohortor.org, consultado el 16/07/2016.

[8] J. Wolfe, «Flute acoustics, an introduction», http://newt.phys.unsw.edu.au/jw/fluteacoustics.html, University of New South Wales, Australia, consultado el 16/07/2016.

[9] A. Botros, The Virtual Flute, http://flute.fingerings.info/, consultado el 16/07/2016.

Sobre el autor: Iván Rivera es ingeniero de telecomunicaciones y aprendiz perpetuo de flautista.