¿Adivinando o empleando la lógica?

El juego reversi se juega con 64 fichas coloreadas en negro por una cara y el blanco por la otra.

Ana coloca las fichas de manera que 10 de ellas muestran su lado negro y las 54 restantes su lado blanco y pide al famoso mago Peter the Great que haga un truco con estas piezas.

adivinando

.

El mago reflexiona un momento y realiza la siguiente predicción:

Véndame los ojos y mezcla las fichas (sin darles la vuelta). Sin importar como las hayas dejado, las manipularé y agruparé en dos paquetes A y B. Te apuesto lo que quieras a que hay el mismo número de fichas blancas en el paquete A y en el B.

Ana piensa que es fácil ganar esta apuesta, y accede a jugarse una comida. Mezcla las piezas durante un largo rato… Ella cree con total seguridad que Peter no puede saber de ninguna manera donde ha quedado cada ficha.

El mago, con los ojos tapados, manipula las piezas. La asombrada Ana comprueba que ¡ha perdido la apuesta! Efectivamente la predicción de Peter se ha cumplido. Por si el azar ha jugado una mala pasada, el mago invita a Ana a volver a hacer el ‘experimento’. Ana mezcla de nuevo las 10 fichas negras y las 54 blancas, Peter las maneja sin poder verlas, ¡y su predicción se vuelve a cumplir!

¿Cómo lo ha hecho?

Peter explica a Ana su truco: ha empezado tomando 10 peones al azar entre los 64 y los ha metido en el paquete A. Después ha dado la vuelta a las 54 piezas restantes y las ha metido en el paquete B. Y… ¡ya está!

¿Ya está? Vamos a pensar un poco. Si en A hay 10 piezas blancas, no hay en ese paquete ninguna negra. Por lo tanto, en la mesa quedan 44 piezas blancas y 10 negras. Peter da la vuelta a todas y las mete en el paquete B, en el que hay entonces 44 piezas negras y 10 blancas, cumpliéndose la predicción.

Si en A hay 9 piezas blancas y una negra, en la mesa quedan 45 piezas blancas y 9 negras. Peter da la vuelta a todas y las mete en el paquete B, en el que hay entonces 45 piezas negras y 9 blancas, cumpliéndose la predicción.

El argumento es similar para cualquier número N entre 0 y 10. En efecto, si en A hay N piezas blancas y 10–N negras, en la mesa quedan 64–N piezas blancas y N negras. Peter da la vuelta a todas y las mete en el paquete B, en el que hay entonces 64–N piezas negras y N blancas, cumpliéndose la profecía del mago.

En realidad, Peter no es un gran mago, es más bien un gran lógico.

Nota:

Visto en Jean-Paul Delahaye,Solution du paradoxe « Jetons noirs et jetons blancs », Accromath Vol 11.2, été-automne 2016, pág. 31.

Sobre la autora: Marta Macho Stadler es profesora de Topología en el Departamento de Matemáticas de la UPV/EHU, y colaboradora asidua en ZTFNews, el blog de la Facultad de Ciencia y Tecnología de esta universidad.

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