La transformación del fotomatón es un caso particular de transformación biyectiva de imágenes. La introdujeron en 1997 los matemáticos Jean-Paul Delahaye y Philippe Mathieu (ver [1]).
Una transformación biyectiva de una imagen de n por m píxeles, es una modificación de esta imagen sobre sí misma: cada pixel se desplaza de su lugar a otro –y el que ocupa ese lugar se mueve a otro sitio–, ningún pixel se pierde –sólo cambia de posición–: en matemáticas se habla de una permutación de los estos píxeles.
La transformación del fotomatón –se denomina así porque el fotomatón nos devuelve cuatro fotografías ‘parecidas’– parte de una imagen con un número par de filas y columnas, que se recompone en cuatro imágenes reducidas.
Para ello, se recorta la imagen en cuadrados de cuatro píxeles, y para cada uno de ellos, se utiliza el pixel de arriba a la izquierda para la imagen –de tamaño la mitad– arriba a la izquierda, el pixel arriba a la derecha para la imagen arriba a la derecha, etc. Más adelante describiremos esta operación con más precisión.
Si se aplica al cuadro de la Gioconda esta transformación, en la primera iteración se obtienen cuatro copias de la Mona Lisa, en la segunda dieciséis, en la tercera sesenta y cuatro copias, etc.
La imagen de debajo consta de nueve imágenes ilustrando las etapas de la transformación del fotomatón sobre una imagen de 256 x 256 píxeles de la Gioconda: sorprendentemente, en ocho iteraciones, la imagen de la Mona Lisa vuelve a aparecer, y es idéntica a la imagen de partida.
¿Cómo se puede explicar esta increíble paradoja gráfica? La solución es matemática y se basa en una propiedad de las permutaciones.
El conjunto de las permutaciones sobre un conjunto finito forma un grupo –el grupo simétrico–, y puede demostrarse que si p es una permutación, existe un número entero k, tal que si p se aplica k veces, se recupera la transformación identidad –la permutación que no cambia nada–.
Para aclarar esta idea, supongamos un conjunto con cinco objetos {A,B,C,D,E} y llamemos p a la permutación que intercambia el primer y tercer objetos, lleva el segundo objeto a la cuarta posición, el cuarto al quinto lugar y el quinto pasa a ocupar la segunda posición. Puede simbolizarse esta transformación por:
ABCDE → CEABD
Si seguimos iterando p, obtenemos sucesivamente:
ABCDE → CEABD → ADCEB → CBADE → AECBD → CDAEB → ABCDE,
es decir, en seis iteraciones, hemos regresado a la configuración inicial.
La transformación del fotomatón es una permutación de un conjunto finito de píxeles, y por lo tanto, al iterarla un cierto número de veces, debe recuperarse la configuración original.
¿Por qué son ocho en el caso de la Mona Lisa? La imagen original consta de 256 líneas y 256 columnas –numeradas de 0 a 255–. La transformación descrita consiste en realizar la siguiente operación: se toman todas las líneas con número par, y se vuelven a colocar ordenadas en cabeza de una nueva lista de líneas, seguidas del paquete de líneas impares en orden. Por ejemplo, si hubiera ocho líneas, la configuración inicial 01234567 cambiaría a 02461357.
Se hace lo mismo para las columnas –esto explica la aparición de cuatro versiones más pequeñas de la imagen original–. Así, para un número par 2k –de fila o de columna– se pasa a k, y para un número impar 2k+1 se pasa a 128+k.
Cada pixel está representado por un par (m,n) que indica que está situado en la fila n y la columna m. Con la transformación del fotomatón, el pixel (0,0) sigue quedando en posición (0,0), el pixel (1,0) pasa a la posición (128,0), el pixel (1,1) pasa a la posición (128,128), el pixel que ocupa el lugar (4,5) pasa al lugar (2,130), etc.
El estudio de esta trasformación permite demostrar que en ocho iteraciones se vuelve a la imagen original, es decir, la primera y la novena imagen son idénticas. Sin entrar en detalles, el que la imagen número 9 sea justamente la original tiene que ver con esta propiedad:
(2 x 256) – 1 = 511 = 29 – 1.
Observar que las cuatro imágenes que aparecen tras una iteración no son una copia exacta de la imagen original: los píxeles que las forman no son los mismos que en la imagen de partida, pero ‘de lejos’, los pequeños detalles que las diferencian no se aprecian.
Referencias:
[1] Jean-Paul Delahaye y Philippe Mathieu, Images brouillées, Images retrouvées, Pour la Science 242 (1997) 102-106
[2] Jean-Paul Delahaye, Au pays des paradoxes, Bélin, 2008 (págs.36-39)
[3] Jean-Paul Delahaye, Mona Lisa au photomaton, Images des Mathématiques, CNRS, 2013
Sobre la autora: Marta Macho Stadler es profesora de Topología en el Departamento de Matemáticas de la UPV/EHU, y colaboradora asidua en ZTFNews, el blog de la Facultad de Ciencia y Tecnología de esta universidad.
Esta entrada participa en la edición 5.6: Paul Erdös del Carnaval de Matemáticas cuyo blog anfitrión es Cifras y teclas.
La transformación del fotomatón
[…] La transformación del fotomatón […]
Daniel
Muy buen articulo.
No conocía la transformación del fotomatón pero conocía el efecto de las permutaciones y la necesidad del numero 8 en otro campo: ¡la magia!
Todos los magos sabemos que si usamos una baraja sin comodines y hacemos mezclas perfectas americanas (en la cual las cartas de las dos mitades se entremezclan) necesitamos exactamente 8 mezclas para volver a la baraja original. Se que se basa en principios matemáticos y que si usa una baraja con comodines la cantidad de mezclas se eleva bastante, así que no sé si sigue el mismo principio que la foto, pero me ha hecho gracia ver el mismo número.
En fin, gracias por difundir el conocimiento. Nos vemos por la red.
Marta Macho Stadler
Gracias, Daniel. estos autores definen otro tipo de transfromaciones de este tipo (mover píxeles) y (creo) cada una de ellas tiene su número.
Resumen de la “Edición 5.6: Paul Erdős” del Carnaval de Matemáticas | Cifras y Teclas
[…] La transformación del fotomatón (Cuaderno de Cultura Científica) […]
Ó.
Gracias, Marta. Esa imagen con las 9 iteraciones de la transformación es estupenda.
Me estaba preguntando cuál es la transformación inversa, la que nos lleva paso a paso de la imagen final a la (idéntica) inicial. Veamos… si, abusando del lenguaje, decimos que la transformación directa hace 4 copias «iguales» de la imagen, la inversa la podemos entender como que divide la imagen en 4 cuartos y los superpone. ¿No?
Marta Macho Stadler
La imagen es de los creadores de esta transformación. Llamarle «del fotomatón» es por lo que sucede en la primera iteración. Pero esas 4 imágenes no son copias excatas de la primera. Lo parecen, los píxeles de estas 4 imágenes no son los mismos (ni en disposición ni en cantidad) que en la primera imagen.
En la última frase lo comento:
«Observar que las cuatro imágenes que aparecen tras una iteración no son una copia exacta de la imagen original: los píxeles que las forman no son los mismos que en la imagen de partida, pero ‘de lejos’, los pequeños detalles que las diferencian no se aprecian.»
¿La inversa de esta transformación? Es otra permutación de píxeles… es mirar la imagen de la Gioconda desde la novena imagen hacia la octava… y si, parece que ‘superpone’ dos imágenes.
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