La llegada de los ordenadores e internet ha cambiado de forma significativa el mundo de la ciencia, y de las matemáticas, la forma en la que nos relacionamos y colaboramos unos matemáticos con otros, la manera en la que desarrollamos nuestra ciencia, la posibilidad de obtener resultados matemáticos o de desarrollar nuevas teorías que antes eran impensables, e incluso ha removido los cimientos de las propias matemáticas.

Los ordenadores han traído, por ejemplo, una velocidad de cálculo que permite realizar cómputos que antes eran ciencia ficción, que nos han dado acceso de una forma casi inmediata a soluciones a problemas para los que antes habríamos necesitado siglos de trabajo. Por ejemplo, en 2007 el informático canadiense Jonathan Schaeffer y otros investigadores demostraron que las damas, si se juegan a la perfección siempre terminaran en tablas. La demostración se extendió a lo largo de 18 años. Empezaron estudiando las diferentes disposiciones con 10 o menos piezas, lo que significó el análisis de 39 billones de posiciones y resolver el resto fue solo cuestión de tiempo. Eso sí, con 200 ordenadores trabajando a tiempo completo, que en los últimos años se redujeron a unos 50 más potentes.

Pero también han hecho tambalearse uno de los pilares de las matemáticas, como es el concepto de demostración. La demostración del teorema de los cuatro colores, la clasificación de los grupos simples finitos en álgebra o la prueba del teorema del empaquetamiento de esferas, no solamente han necesitado de la ayuda de los ordenadores, sino que sin ellos habría sido imposible. Pero estas demostraciones realizadas por ordenador han hecho también tambalear uno de los cimientos de las matemáticas, puesto que ha abierto el debate de si una demostración realizada por ordenador es realmente una demostración matemática. Con defensores y detractores, como el medalla Fields Pierre Deligne (1978) que opina:

No creo en una prueba hecha con ordenador. En primer lugar, soy demasiado egocéntrico. Creo en una demostración si la entiendo, si está clara. Un ordenador puede también cometer errores, pero es mucho más difícil encontrarlos.

Pero, como decíamos al principio, los ordenadores e internet han cambiado la forma en la que nos relacionamos y colaboramos los matemáticos. Antiguamente, las cartas que se enviaban los matemáticos podían tardar semanas o meses en llegar a su destinatario, y en el transcurso de ese tiempo la vida y las matemáticas seguían avanzando. Con el teléfono llegó la comunicación directa, pero la gran revolución ha sido internet, ya que el correo electrónico y la posibilidad de adjuntar todo tipo de ficheros, los programas de comunicación instantánea y de videoconferencias, los programas para compartir ficheros u otras herramientas de este tipo, han permitido que matemáticos de diferentes partes del mundo podamos colaborar en tiempo real sin necesidad de estar ante la misma pizarra física, aunque sí electrónica.

Se puede incluso firmar un artículo con una persona a la que no has visto nunca, o a la que conociste mucho antes de empezar a colaborar. Por citar un ejemplo, los autores que aparecen en mi artículo On fundamental groups of symplectic aspherical manifolds (publicado en Mathematische Zeitschrift en 2005), además de por mí mismo, son Aleksy Tralle de la Universidad de Warmia y Mazuria en Polonia, Jarek Kedra de la Universidad de Szczecin en Polonia (que después se iría a Escocia), a quien nunca conocí en persona y de quien no había visto nunca una fotografía hasta empezar a escribir esta entrada, y Yuli Rudyak de la Universidad de Florida, a quien conocí en un workshop en 1998 en Varsovia, cuando aún estaba trabajando en Alemania, mucho antes de que empezáramos a colaborar, instalado ya en los EEUU.

Incluso es habitual que los matemáticos tengamos una fluida comunicación, ya sea por correo electrónico o incluso por teléfono, con otros matemáticos que trabajan en los mismos temas que nosotros, pero a los que nunca hemos visto, salvo si por curiosidad te has dedicado a rastrearlos por internet. A algunos de ellos los acabaremos conociendo en un congreso de nuestra área de investigación o al invitarles a nuestra universidad, o al revés, siendo invitados a sus universidades, pero a muchos otros no los conoceremos nunca en persona.

La historia del matemático Shalosh B. Ekhard, que leí en el libro Festival Matemático, 50 pasatiempos y curiosidades, de George Szpiro, está muy relacionada con todo esto.

El primer artículo de Shalosh B. Ekhard, de la Universidad de Rutgers, era A 21st Century Proof of Dougall’s Hypergeometric Sum Identity (Journal of mathematical Analysis and Applications, 1990), junto a Doron Zeilberger. Al que le siguió A short proof of Jacobi’s formula for the number of representations of an integer as a sum of four squares (The American Mathematical Monthly, 1993), junto con George Andrews y Doron Zeilberger.

Aunque uno de sus primeros logros significativos que llamaría la atención de la comunidad matemática fue la demostración del teorema cosmológico de John Conway, en su artículo Proof of Conway’s Lost Cosmological Theorem, de 1997, de nuevo, junto a Doron Zeilberger.

John H. Conway consideró la sucesión 1 – 11 – 21 – 1211 – 111221 – 312211 – 13112221 – 1113213211 -…, conocida con el nombre de “desintegración audioactiva” (juego de palabras con “desintegración radioactiva”), ya que cada término de la sucesión se obtiene recitando las cifras del anterior término empezando por 1 (aunque se podría empezar por cualquier otro número). Así, el segundo término es 11 “un uno”, después 21 “dos unos”, le sigue 1211 “un dos y un uno”, 111221 “un uno, un dos y dos unos” es el siguiente término, y después del término 312211 “tres unos, dos doses y un uno”, seguro que el lector, o lectora, de esta entrada puede seguir con la sucesión. El cociente entre los términos consecutivos de la sucesión tiende a un valor fijo, que es la constante de Conway, 1,3035772690…

El teorema cosmológico de Conway dice que existe un número N a partir del cual la sucesión de desintegración audioactiva “se desintegra”, es decir, cada elemento a partir de ese se descompone como unión de alguno de los 92 subtérminos básicos, a los que se llamó “elementos atómicos” por su analogía con los elementos químicos. Aquí pueden verse esos “elementos atómicos”.

La lista de estos elementos atómicos consiste en los 92 primeros términos de la sucesión de desintegración audioactiva empezando en el 3 (a la que se le conoce como sucesión de Conway), que es el Uranio (U). Después, el término 13 es el protactio (Pa), el 1113 el Torio (Th), 3113 es el actinio (Ac), 132113 el radio (Ra), etc. Por ejemplo, el magnesio (Mg) es 3113322112 y da lugar a 132123222112, que se compone de Prometio (Pm) 132 y Sodio (Na) 123222112.

El profesor Conway de la Universidad de Princeton afirmaba que existían dos demostraciones del teorema cosmológico, una suya y del matemático Richard Parker, que establecía simplemente la existencia de ese número N, y otra del matemático Mike Guy. Sin embargo, ambas demostraciones se “perdieron” y nunca fueron publicadas. Posteriormente, Shalosh B. Ekhard y Doron Zeilberger demostraron el teorema cosmológico de Conway. Y este resultado daría notoriedad a ambos matemáticos, en particular al “joven” (su primer artículo es de 1990) matemático Shalosh B. Ekhard.

El matemático Shalosh B. Ekhard seguiría publicando artículos, la mayoría con su “maestro” Doron Zeilberger, pero también con otros matemáticos, y principalmente en el campo de la combinatoria.

Comenta el divulgador de las matemáticas George Szpiro en el mencionado libro, que “había algo raro en Ekhad y nadie alcanzaba a imaginar qué era”. Cuando la gente se metía en la página web de la Universidad de Rutgers para contactar con él o para ver sus publicaciones no lo encontraban entre la lista de docentes de la universidad, ni entre otro tipo de personal (postdoctorales, visitantes, etc). Las invitaciones que sus colegas le hacían desde diferentes partes del mundo para participar en seminarios o congresos, impartir conferencias o hacer estancias de investigación en otras universidades, se quedaban sin respuesta o eran “respondidas siempre con una negativa por una educada secretaria”. Tampoco respondía afirmativamente a los estudiantes que le solicitaban realizar una tesis doctoral bajo su dirección.

Por lo que algunos matemáticos empezaron a preguntarse sobre la identidad de este profesor, y empezaron a correr rumores por la red sobre su identidad. Comenta Szpiro que en la lengua hebrea el nombre “Shalosh B. Ekhad” significa “tres en uno”, por lo que eso daba lugar a dar rienda suelta a la fantasía de algunos.

Al parecer George Szpiro fue una de esas personas interesadas en desvelar este misterio… ¿Quién era el extraño matemático Shalosh B. Ekhad? Por eso cuando oyó que una de las personas con las que colaboraba, el matemático Doron Zeilberger, también de la Universidad de Rutgers (EEUU), iba a asistir a un congreso matemático en la isla griega de Mykonos, decidió participar en el mismo con la intención de hablar con Zeilberger. Szpiro buscó entre las tarjetas identificativas, la del Profesor Zeilberger, y una vez localizado fue a la búsqueda de la respuesta al enigma que le había llevado hasta la pequeña isla griega, quien era el profesor Shalosh B. Ekhad…y descubrió que el misterioso matemático no era más que la computadora del profesor Zeilberger.

La historia de este ordenador era la siguiente. El ordenador personal de Doron Zeilberger, adquirido por este en 1987, había sido fabricado por AT&T, en el edificio número 3, pasillo B, habitación número 1 de los Laboratorios Bell, por lo que lo identificaron como “3B1”. El matemático que estaba entusiasmado con su ordenador le puso nombre en su lengua materna, “Shalosh B. Ekhad”.

Doron Zeilberger y el matemático Herbert Wilf, de la Universidad de Pensilvania, idearon un algoritmo para hallar y demostrar identidades matemáticas (por el que recibieron años más tarde, el Premio LeRoy P. Steele de la American Mathematical Society), que es precisamente lo que hacía el ordenador de Zeilberger, que superó rápidamente las expectativas que había puesto en el matemático en él. De esta forma, Shalosh B. Ekhad “encontró demostraciones nuevas para identidades ya conocidas, y también descubrió identidades completamente nuevas”. Lo interesante de esta historia, es que el matemático Doron Zeilberger reconoció el mérito de su ordenador incluyéndolo como autor de los trabajos en los que “participó”.

Pero Shalosh B. Ekhad, o más bien la familia de ordenadores del matemático Doron Zeilberger a los que ha seguido llamando de esta forma, ha continuado publicando artículos durante todos estos años. El último ha sido How To Generate As Many Somos-Like Miracles as You Wish (J. Difference Equations and Applications, 2014), de nuevo, con Doron Zeilberger.

Referencias:

1.- George Szpiro, Festival Matemático, 50 pasatiempos y curiosidades, Alianza Editorial, 2012.

2.- Clifford A. Pickover, El libro de las matemáticas, de Pitágoras a las 57ª dimensión, 250 hitos de la historia de las matemáticas, Librero, 2009.

3.- Marta Macho, ¿Cuatro colores son suficientes?, Un paseo por la Geometría 2004-2005, 97 – 114, Universidad del País Vasco, 2005.

4. Raúl Ibáñez, Jarek Kedra, Yuli Rudiak, Aleksy Tralle, On fundamental groups of symplectically aspherical manifolds, Math. Z., vol. 248, 805-826, 2005.

5. Shalosh B. Ekhad, Doron Zeilberger, A 21st Century Proof of Dougall’s Hypergeometric Sum Identity, Journal of mathematical Analysis and Applications vol. 147, 610-611, 1990.

6. George E. Andrews, Shalosh B. Ekhad, Doron Zeilberger, Short Proof of Jacobi’s Formula for the Number of Representations of an Integer as a Sum of Four Squares,The American Mathematical Monthly vol. 100, No. 3, 274-276, 1993.

7. Shalosh B. Ekhad, Doron Zeilberger, Proof of Conway’s Lost Cosmological Theorem, Electronic Research Announcement of the Amer. Math. Soc. 3, 78-82, 1997.

8.- Shalosh B. Ekhad, Doron Zeilberger,How To Generate As Many Somos-Like Miracles as You Wish, J. Difference Equations and Applications vol. 20, 852-858, 2014.

Sobre el autor: Raúl Ibáñez es profesor del Departamento de Matemáticas de la UPV/EHU y colaborador de la Cátedra de Cultura Científica

Esta entrada participa en la XII Edición delCarnaval de Humanidades, cuyo blog anfitrión es::ZTFNews.