Sébastien Le Prestre, Marqués de Vauban (1633-1707) fue un ingeniero militar francés famoso por su destreza diseñando –y sometiendo– fortificaciones.

En su tratado aritmético y económico La cochonnerie, ou calcul estimatif pour connaître jusqu’où peut aller la production d’une truie pendant dix ans de temps –titulado previamente Chronologie des cochons– Vauban pretendía demostrar –basándose en diecisiete páginas de cálculos– que, debido a su gran fertilidad y en sólo unas pocas generaciones, una única cerda ¡podría alimentar a toda Europa!

Vamos a rehacer el cálculo que realiza el ingeniero para llegar a tan ¿sorprendente? conclusión (ver [1])

En su ensayo, Vauban estima –teniendo en cuenta posibles enfermedades, accidentes, etc.– que en cada parto nacen 6 cerdos –3 hembras y 3 machos–. En su modelo, supone que una cerda pare por primera vez en su segundo año de vida y después alumbra dos veces al año durante cuatro años seguidos hasta el séptimo año en el que se vuelve estéril.

1. Según este modelo, el primer año tenemos una cerda, llamémosla Peppa.
2. El segundo año –tras la camada de 6 cerdos de Peppa– hay 3 nuevas cerdas.
3. El tercer año, Peppa tiene dos partos –12 cochinillos, de los cuales la mitad son hembras– y una camada de cada una de sus hijas –3×6 animales, de los cuales la mitad son cochinillas–, es decir, en total habrá 15 nuevas cerdas.
4. El cuarto año habrá (1×2 + 3×2 + 15×1) × 3 = 69nuevas cerditas. Aquí, 1×2 significa que Peppa tiene dos partos, 3×2 que cada una de sus tres primeras hijas tiene también dos partos y 15×1 que cada una de las nietas de Peppa tiene un único parto. Y se multiplica todo por 3, porque cada camada consta de 3 hembras.
5. Argumentando de manera similar, el quinto año habrá (1×2 + 3×2 + 15×2 + 69×1) × 3 = 321nuevas cerditas.
6. El sexto año habrá (1×2 + 3×2 + 15×2 + 69×2 + 321×1) × 3 = 1.491nuevas cochinillas.
7. El séptimo año Peppa dejará de ser fértil, y cada año, una nueva generación se volverá estéril. Así, cada año, en el cálculo de nuevas cerdas nacidas, sólo habrá cinco términos a sumar; por ejemplo, el séptimo año habrá:

(3×2 + 15×2 + 69×2 + 321×2 + 1.491×1) × 3 = 6.921 nuevas cerdas.

Continuando los cálculos de este modo, las nuevas cerdas nacidas a lo largo de los once primeros años (todas descendientes de Peppa) serán sucesivamente:

1, 3, 15, 69, 321, 1.491, 6.921, 32.139, 149.229, 692.919 y 3.217.437.

Tras once años, Peppa tendrá una descendencia de más de 6 millones de cerdos –ahora ya contando los machos de las camadas–.

Si llamamos a(n) al número de cerdas nacidas durante el año n, la sucesión obtenida se conoce como sucesión de Vauban {a(n)}, y se define de manera recurrente –acabamos de describir las primeras etapas de construcción– por:

a(n)=0 (si n ≤ 0), a(1)=1 y

a(n)=3a(n-1)+6a(n-2)+6a(n-3)+6a(n-4)+6a(n-5) (si n ≥ 2).

Sus 27 primeros términos son:

0, 1, 3, 15, 69, 321, 1.491, 6.921, 32.139, 149.229, 692.919, 3.217.437, 14.939.559, 69.369.021, 322.101.927, 1.495.619.397, 6.944.625.855, 32.246.056.989, 149.728.468.167, 695.235.829.509, 3.228.196.110.975, 14.989.518.216.045, 69.600.993.441.975, 323.179.052.074.101, 1.500.620.817.813.327, 6.967.849.012.498.557, 32.353.889.326.768.359, etc.

Como puede observarse, la sucesión de Vauban {a(n)} crece a gran velocidad: de hecho, su crecimiento es exponencial. Más aún, cuandontiende a infinito, el cociente a(n+1)/a(n) converge a la constante c ≈ 4,643310908249259 (ver [1]).

En efecto, Peppa y sus descendientes podrían, en pocas generaciones, alimentar a poblaciones muy numerosas.

Referencias:

[1] Pierre de la Harpe, Vauban pour les cochons comme Fibonacci pour les lapins, Images des Mathématiques, CNRS, 14 de abril de 2013

[2] Marco Fulvio Barozzi, La successione di Vauban (altro che porcheria!), Popinga, 16 de agosto de 2013

[3] Marta Macho Stadler, La sucesión de Vauban y la descendencia de Peggy, ::ZTFNews, 18 de agosto de 2013

Sobre la autora: Marta Macho Stadler es profesora de Topología en el Departamento de Matemáticas de la UPV/EHU, y colaboradora asidua en ZTFNews, el blog de la Facultad de Ciencia y Tecnología de esta universidad.