La paradoja de Banach-Tarski es una de las más sorprendentes consecuencias del axioma de elección. Es un teorema de teoría de conjuntos –demostrado por Stefan Banach y Alfred Tarski en 1924, ver [1]– que afirma que, dada una bola (sólida) de dimensión 3, es posible recortarla en un número finito de trozos, y reagruparlos para obtener dos copias idénticas de la bola original. Más aún, en el proceso de ‘montaje’ sólo se rotan y trasladan las piezas, sin deformarlas. Y todavía más, bastan cinco piezas para conseguirlo.

Una versión más desconcertante –si cabe– de este teorema afirma que es posible cortar un guisante en un número finito de trozos y reajustarlos –utilizando únicamente rotaciones y traslaciones, sin deformar ninguno de los trozos– hasta obtener una bola del tamaño del Sol. Se dice que el guisante y el sol son equivalentes por descomposición.

¡Pero si eso es imposible! Este enunciado contradice el más mínimo sentido común: los volúmenes de los objetos inicial y final son diferentes…

En efecto, eso es cierto, pero sólo significa que es imposible realizar físicamente este teorema, pero sí lo es teóricamente, porque la prueba del teorema –que es correcta– así lo dice.

Lo que sucede es que, en el proceso seguido para demostrar el enunciado, los trozos en los que se recorta la bola inicial son ‘tan extraños’ que no tienen volumen. Hablando en términos de teoría de la medida, las piezas en las que se trocea la bola inicial son conjuntos no medibles.

El teorema de Banach-Tarski no puede demostrarse sin el axioma de elección, un axioma utilizado en todas las áreas de las matemáticas, y que es independiente del resto de los axiomas de la teoría axiomática de conjuntos (axiomas de Zermelo-Fraenkel). Kurt Gödel demostró en 1938 que el axioma de elección es consistente con los axiomas de Zermelo-Fraenkel, y Paul Joseph Cohen probó en 1963 que su negación también lo es. Es decir, el axioma de elección no puede ser ni probado ni refutado a partir de los nueve axiomas de la teoría de conjuntos.

La prueba del teorema de Banach-Tarski no es demasiado complicada –puede leerse, en cualquiera de las referencias indicadas–: utiliza esencialmente propiedades del grupo de isometrías del espacio.

¿Hay un ‘Banach-Tarski’ en otras dimensiones o es algo propio de la dimensión 3? No, de hecho, en cualquier dimensión mayor o igual a 3 hay una paradoja similar; es un problema ligado a la medida: en estas dimensiones no existen medidas que sean a la vez exhaustivas –aplicables a cualquier subconjunto–, invariantes por isometrías y para las que la medida del cubo unidad sea 1. Sin embargo, en dimensiones 1 y 2 si hay medidas de este tipo… así que la paradoja de Banach-Tarski no funciona en estos casos.

Algunas referencias

[1] S. Banach et A. Tarski, Sur la décomposition des ensembles de points en parties respectivement congruentes, Fundam. Math 6, 244-277, 1924 [pdf]

[2] Marc Guinot, Le Paradoxe de Banach-Tarski, Aléas, 2002

[3] Carlos Ivorra, La Paradoja de Banach-Tarski [pdf]

[4] Marta Macho Stadler, La Paradoja de Banach-Tarsky: como construir el sol a partir de un guisante, Un paseo por la Geometría 2002/2003 (BI-2866/05), 103-120, 2003 [pdf]

[5] Marta Macho Stadler, ¿Puede una rana hacerse tan grande como un buey? Banach y Tarski responden, ::ZTFNews, 2012

[6] Jonathan Muller, Le paradoxe de Banach-Tarski, Mémoire Université Louis Pasteur, 2007 [pdf]

[7] Francis Edward Su, The Banach-Tarski paradox, Minor Thesis, Harvard University, 1990 [pdf]

[8] Stan Wagon, The Banach-Tarski Paradox, Cambridge University Press, 1993

[9] Leonard M. Wapner, The Pea and the Sun. A mathematical paradox, AK Peters, 2005

Sobre la autora: Marta Macho Stadler es profesora de Topología en el Departamento de Matemáticas de la UPV/EHU, y colaboradora asidua en ZTFNews, el blog de la Facultad de Ciencia y Tecnología de esta universidad.