La paradoja de las corbatas de Kraitchik

Matemoción

César e Ignacio tienen una preciosa corbata para ocasiones especiales, una corbata especialmente relacionada con sus saberes.

La paradoja de las corbatas de Kraitchik 1La paradoja de las corbatas de Kraitchik 2

César propone a Ignacio el siguiente juego: aquel que tenga la corbata más larga se la regala al otro. Ignacio adora su corbata, y antes de aceptar el juego, razona cuidadosamente:

“Mi corbata mide I centímetros. Hay una posibilidad sobre dos de que mi corbata sea más larga que la de César, es decir, hay un 50% de posibilidades de perder mi corbata de longitud I. En caso contrario, ganaré la corbata de César que mide C centímetros, y es más larga que la mía. Así, en el 50% de los casos pierdo I y en el 50% de los casos gano más que I. La ganancia media es positiva, así que jugaré con César.”

Yo diría que Ignacio tiene razón… Pero, el juego es obviamente simétrico, así que César –que también está muy orgulloso de su corbata– puede argumentar exactamente de la misma manera para concluir que el juego le es favorable.

¡Pero esto es paradójico! Debe de haber algún fallo en el razonamiento…

En efecto, ambos realizan su argumentación en un caso ideal. ¿En qué sentido ‘ideal’? Por un lado, su razonamiento supone que todas las longitudes imaginables de corbata tienen la misma probabilidad de existir. Y, por otro lado, su argumento presume que dada una longitud cualquiera L, el 50% de las corbatas es de longitud mayor y el otro 50% es de longitud menor.

Así, el error procede de aplicar el principio de indiferencia, es decir, viene de considerar que, en ausencia de datos precisos, las probabilidades entre diferentes casos son iguales. Para jugar –y pensar en la conveniencia de arriesgarse– a este juego, habría que dar una probabilidad a cada longitud de corbata previsible. Por ejemplo, si la corbata de Ignacio midiera 150 centímetros, la probabilidad de encontrar corbatas más largas que la suya parece ser menor que la de topar con una más corta, así que Ignacio no debería jugar con César…

Nota 1: Esta paradoja fue propuesta por el matemático Maurice Kraitchik en 1930.

Nota 2: Cualquier parecido con la realidad es mera coincidencia.

Referencia:

Jean-Paul Delahaye, Au pays des paradoxes, Belin-Pour la Science, 2008

Sobre la autora: Marta Macho Stadler es profesora de Topología en el Departamento de Matemáticas de la UPV/EHU, y colaboradora asidua en ZTFNews, el blog de la Facultad de Ciencia y Tecnología de esta universidad.

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