Una paradoja del infinito: ¿riqueza o ruina?

Matemoción

Ana y Carlos ganan cada día dos monedas de oro y gastan una de ellas.

paradoja infinito

Ana administra del siguiente modo su dinero: el día n gana dos monedas que denotamos Pny Qn. Ha alquilado un almacén –va a necesitar mucho sitio– y deposita allí la moneda Pn bajo la pila de piezas que tiene acumuladas de los días anteriores, y gasta Qn. Así, el primer día, tiene ahorrado en su almacén {P1}, el segundo día {P1,P2}, el tercero {P1,P2,P3} –con esta notación, la moneda situada más abajo en la pila es la situada a la derecha–, etc.

Carlos prefiere actuar de otra manera, y hacer circular todas sus monedas: el día n –como cada día y en su propio almacén– coloca bajo la pila de monedas ahorradas las piezas Pny Qn que acaba de ganar; coge la moneda que se encuentra encima de la pila y la gasta. Así, el primer día su pila tiene la moneda {Q1} –ha colocado P1 y Q1 y gastado la moneda P1–, el segundo día, su montón de piezas de oro es {P2,Q2} –ha añadido P2 y Q2 debajo de la pila, quedando {Q1,P2,Q2}, y ha gastado la moneda de encima Q1 –, el tercer día su montón se transforma en {Q2,P3,Q3}, el cuarto en {P3,Q3,P4,Q4}, el quinto en {Q3,P4,Q4,P5,Q5}, etc.

Al final de los tiempos, aunque ambos han ahorrado y gastado la misma cantidad de dinero, Ana será infinitamente rica y Carlos estará en la más absoluta ruina.

En efecto, en ese momento, Ana tendrá ahorradas y acumuladas en su almacén las monedas

{P1,P2,P3,P4,P5,P6,P7,,Pn,Pn+1,}.

Sin embargo, Carlos no tendrá nada: la moneda Pn –colocada en la pila el día n–se gastará el día 2n-1, y la moneda Qn –también colocada en la pila el día n–se invertirá el día 2n. Así, toda moneda termina siendo desembolsada por Carlos, con lo que al final de los tiempos,… no le quedará nada.

¿No parece absurdo que, ganando y gastando ambos lo mismo, Ana sea rica y Carlos pobre?

Esta paradoja muestra lo difícil que resulta argumentar con el infinito en un razonamiento lógico.

El anterior contrasentido tiene que ver con la noción de cardinal. El cardinal de un conjunto finito es el número de elementos que posee. Denotamos por card(A) al cardinal del conjunto A.

Llamamos An al conjunto de las monedas conservadas por Ana en el instante n, es decir,

An = {P1,P2,P3,P4,P5,P6,P7,,Pn},

y A al conjunto de piezas que posee Ana al final de los tiempos. El cardinal de An, es card(An)=n, que tiende a infinito si n tiende a infinito, con lo que card(A)=, y Ana termina siendo infinitamente rica.

Del mismo modo, llamamos Cn al conjunto de las monedas ahorradas por Carlos en el instante n y C el número de piezas que conserva al final de los tiempos. Como hemos comentado antes, Carlos gasta todas sus monedas, ya que invierte la moneda Pn el día 2n-1, y la moneda Qn el día 2n. Así, card(C)=0, ya que C es… el conjunto vacío. ¡Es verdad! ¡Carlos está en la más absoluta ruina!

Vamos a intentar argumentar de otro modo para comprobar el resultado. Al cabo de 2n días:

A2n={P1,P2, P3,P3, …,P2n-1,P2n},

y card(A2n)=2n, quetiende a infinito con n, con lo que card(A)=. En el caso de Ana, confirmamos que obtiene una fortuna infinita.

Al cabo de esos mismos 2n días, las monedas almacenadas por Carlos son:

C2n={P2n,Q2n,P2n-1,Q2n-1,…,Pn+2,Qn+2,Pn+1,Qn+1},

es decir, card(C2n)=2n, quetiende a infinito con n, con lo que

card(C) = lím card(C2n)= lím(2n) =.

¿No habíamos dicho antes que C era el conjunto vacío?

El problema en toda esta argumentación se produce al pensar que los límites se pueden intercambiar con el cardinal. Si fuera

lím card(C2n) = card(lím C2n),

se obtendría que:

= lím card(C2n) = card(lím C2n) = card(C) = 0.

Así que, ¡mucho cuidado con el infinito!

Visto en: Jean-Paul Dalehaye, Bien ranger son argent, Accromath vol 2, été-automne 2007 (explicación en Accromath vol 3, hiver-printemps 2008).

Sobre la autora: Marta Macho Stadler es profesora de Topología en el Departamento de Matemáticas de la UPV/EHU, y colaboradora asidua en ZTFNews, el blog de la Facultad de Ciencia y Tecnología de esta universidad.

6 comentarios

  • […] Ana y Carlos ganan cada día dos monedas de oro y gastan una de ellas. Ana administra del siguiente modo su dinero: el día n gana dos monedas que denotamos Pny Qn. Ha alquilado un almacén –va a necesitar mucho sitio– y deposita allí la moneda Pn […]

  • Avatar de mario

    Hola.

    Hay algo que no entiendo del razonamiento sobre cómo se gasta Carlos las monedas. Lo he leído varias veces pero no encuentro una solución.

    Se dice: «… el primer día su pila tiene la moneda {Q1} –ha colocado P1 y Q1 y gastado la moneda P1–, el segundo día, su montón de piezas de oro es {P2,Q2} –ha añadido P2 y Q2 debajo de la pila, quedando {Q1,P2,Q2}, y ha gastado la moneda de encima Q1…».

    De ahí deduzco que, cada día, va gastando una moneda (P1 el primer día, Q1 el segundo…). Si estoy en lo cierto (que seguro que no), al cabo de infinitos días tendría infinitas monedas, tal y como sucede con Ana.

    • Avatar de Marta

      Mario, por supuesto…
      En la entrada, se argumenta de dos maneras diferentes y salen dos resultados contradictorios. Lo que pretende la entrada es explicar que hay que tener mucho cuidado en como se razona cuando hay involucrado un proceso infinito… la primera manera de argumentar (ha gastado la moneda P_n el día 2n-1) parece indicar que no le va a quedar nada… ¡y es bastante convincente!

      • Avatar de Mario

        Muchas gracias por responder, Marta.

        Leí también la referencia en francés y, más o menos, viene a decir lo mismo.

        Sigo viendo que el argumento falla: desaparecen dos elementos del conjunto de Carlos a partir del segundo día. Si estoy en lo cierto, al partir de una argumentación de principio errónea, se llegará a un resultado inconsistente, como bien dices.

        • Avatar de Marta

          El argumento falla por lo que se explica en la entrada… no por que esté mal argumentado al principio. 🙂

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