Una paradoja del infinito: la oferta del diablo

Matemoción

Profesor MoriartyEl criminal James Moriarty muere y va al infierno. El diablo le propone un juego de azar al que sólo podrá apostar una vez. Si gana, irá al cielo, y si pierde arderá para siempre en el infierno.

El juego podría resumirse de este modo:

Si gana, lo gana todo; si pierde, no pierde nadai.

Moriarty –que posee grandes habilidades matemáticas–, sabe además que si juega el primer día, tiene 1/2 de posibilidades de ganar, si apuesta el segundo tiene 2/3 de posibilidades de vencer, el tercer día 3/4, al cuarto 4/5, y así sucesivamente, de manera indefinida.

Obviamente, si permanece más días en el infierno antes de jugar, se incrementan sus posibilidades de ganar. La pregunta es: ¿cuál es el momento más razonable para que Moriartyjuegue?ii

La respuesta no es obvia: como hemos comentado antes, tras cada día de espera, Moriarty incrementa sus posibilidades de éxito ya que:

n/(n+1)

Por ejemplo, si el criminal espera un año para jugar, sus posibilidades de ganar son de:

365/366 = 0,997268.

Pero, si Moriarty espera un año y un día, sus posibilidades de ganar son de:

366/367 = 0,997275,

es decir, se incrementan en 0,000007. Aún así, 0,000007 multiplicado por infinito –ir al cielo es la ganancia infinita– es infinito…

Por otro lado, parece razonable asumir el coste por retrasarse un día en el juego como finito: se trata de un día más de sufrimiento en el infierno. Así, el supuesto beneficio infinito que supone una demora en jugar excederá siempre ese coste… Esta lógica parece sugerir que Moriarty debería esperar eternamente para jugar. De manera más técnica, la utilidad obtenida al esperar otro día –el producto de la probabilidad extra de ‘triunfo’ por la ganancia infinita– es infinita.

Pero, claramente, esta estrategia debe ser por la misma razón rechazada: ¿por qué quedarse para siempre en el infierno con la esperanza de incrementar la posibilidad de abandonarlo? Para hacer esto, ¿no sería mejor arriesgarse y jugar?

Notas:

iExtraído de Blaise Pascal (1670). Pensées. III, §233:

“Usted tiene dos cosas que perder: la verdad y el bien, y dos cosas que comprometer: su razón y su voluntad, su conocimiento y su bienaventuranza; y su naturaleza posee dos cosas de las que debe huir: el error y la miseria. Su razón no resulta más perjudicada al elegir la una o la otra, puesto que es necesario elegir. Ésta es una cuestión vacía. Pero ¿su bienaventuranza? Vamos a sopesar la ganancia y la pérdida al elegir cruz (de cara o cruz) acerca del hecho de que Dios existe. Tomemos en consideración estos dos casos: si gana, lo gana todo; si pierde, no pierde nada. Apueste a que existe sin dudar”.

Este argumento se conoce como la apuesta de Pascal, y tiene mucho que ver con la paradoja aquí planteada.

iiParadoja extraída y adaptada de Erickson, G.W.; Fossa, J.A. (1998): Dictionary of paradox, Univ. Press of America, Lanham (EE.UU.), pág. 48.

Sobre la autora: Marta Macho Stadler es profesora de Topología en el Departamento de Matemáticas de la UPV/EHU, y colaboradora asidua en ZTFNews, el blog de la Facultad de Ciencia y Tecnología de esta universidad.

30 comentarios

  • Avatar de Emilio Molina

    No entiendo por qué si juega el primer día, tiene 1/2 de posibilidades de ganar y si apuesta el segundo tiene 2/3 de posibilidades de vencer, etc.. Me he perdido algo ahí en el casos favorables/casos totales.

    • Avatar de Marta Macho Stadler

      Es parte del enunciado del problema. No lo deduce, quizás en la forma que lo he planteado lleva a error, disculpa.

      • Avatar de Emilio Molina

        Un poco ambiguo, sí 🙂 ese «sabe además» parece que tenga que ver con el «tiene grandes habilidades matemáticas». Lo reescribiría algo así como:
        «El diablo le añade a Moriarty –que posee grandes habilidades matemáticas–, la regla adicional de que si juega el primer día, tendrá 1/2 de posibilidades de ganar, si apuesta el segundo tendrá 2/3 de posibilidades de vencer, el tercer día 3/4, al cuarto 4/5, y así sucesivamente, de manera indefinida.»

        Gracias por la aclaración 🙂

      • Avatar de Antonio Rivera Figueroa

        Ciertamente está mal redactado, pues incluso en el enunciado se entiende que la probabilidad (no posibilidad) es calculada por Moriarty, ya que es un buen matemático. Por cierto no se responde la pregunta planteada, cualquiera que sea la respuesta.

      • Avatar de Antonio Rivera Figueroa

        Además no está por demás aclarar que no se trata de un juego de azar sino de un juego diferente para cada día, en principio una infinidad de juegos cada uno con su probabilidad (no posibilidad como está en el enunciado). Además ¿cuál es la paradoja? Por otra parte no hay respuesta a la pregunta planteada. Como matemáticos debemos cuidar que los enunciados sean precisos matemáticamente.

        • Avatar de Marta Macho Stadler

          Antonio
          claro que hay paradoja… esperar para incrementar las probabilidades de ganar o jugar. Dependiendo de cómo se razone, es convincente hacer una cosa u otra… Esa es la paradoja, y por ello no hay respuesta a la pregunta.

          • Avatar de Antonio Rivera Figueroa

            Disculpe que no comparta su opinión, una paradoja se refiere a una aseveración aparentemente cierta y falsa a la vez o dos aseveraciones aparentemente ciertas ambas pero contradictorias. Por ejemplo, la paradoja de Rusell en teoría de conjuntos o la paradoja del barbero. Lo que lo que ocurre en este problema es un dilema.

    • Avatar de Alanov Osoriovskaia

      1/2 es debido a dos posibles opciones. El 2/3 es de esta en su segundo día (2) y hay dos opciones más la cantidad de días que lleva (1) por tanto 2/2+1 = 2/3. Para el tercer día 3/4 y así sucesivamente. Quienes hayan llevado un curso de cálculo podrán saber que, si esta sucesión tiende al infinito, su valor será 1. Es decir que su espera será infinita para ganar.

    • Avatar de David

      El juego puede ser el sacar una pelota de color especifico como blanco. El día uno hay dos pelotas, una blanca y la otra de otro color. Cada día que no juegues se pone una pelota blanca en la bolsa. Así se obedece las reglas de la apuesta.

  • Avatar de Josué Vélez

    Es en verdad muy interesante y como dijo Blaise Pascal: » Su razón no resulta más perjudicada al elegir la una o la otra», en todo caso el malvado Prof. Moriarty ya esta en el infierno, empero el diablo ya le ha apostado y sabe que una vez viendo el beneficio del cielo infinito, no podrá mirar hacia otro lado, esto lo lleva inevitablemente a la siempre interesante paradoja.
    Me encanta el paralelismo entre «el deseo de salir del infierno» de Moriarty y «el tiempo que lleva a la inevitable desición de elegir en creer o no creer en la existencia de Dios» de Blaise Pascal. Ganar todo o perder nada. Miedo y deseo producidos por empirísmo sirven de impuslos humanos y mezclados con el conocimiento adquirido lo vuelve invaluable. Saludos Profesora Stadler.

  • Avatar de stive

    Yo me iría por el cuarto día con un ochenta %, al final no es tan paradógico, lo digo porque en 4 días ya tengo un ochenta por ciento de probabilidad, para que esperar una eternidad por un 20%?

  • Avatar de Luz Marina

    Una forma interesante de aprender la matemática, el error de no saber leer e interpretar es una manera de aprendizaje.

  • Avatar de Juan Gelos

    Esteee… que enunciado? 😀
    Aún si la apuesta es en base a tirar una moneda una única vez las probabilidades permanecen constantes en un 0.5 sin importar cuánto se espere! esto es un error muy burdo de estadísticas, se supone que la apuesta de Pascal tiene algo que ver con esto?

    Y bueno, ni hablemos de la ingenuidad de apostar a un dios tan endeble que tiene el 0.5 de probabilidades de existir! Esto equivale a decir que si de CASUALIDAD existe la mitad de la gente va a un supuesto infierno porque apostó mal. O sea, las probabilidades de que dicho dios exista Y sea justo son exactamente 0. Bien Pascal, un genio! (?)

    Maliiiiiisimo!

  • Avatar de Marta Macho Stadler

    James Moriarty es un personaje (ficticio) que aparece en las historias de Sherlock Holmes, es uno de sus enemigos, un criminal. Y además era un gran matemático. Sólo quería hacerlo aparecer en el enunciado; parece que he elegido mal el lugar en el que decirlo. Mis disculpas por ello.

    Por si acaso, repito el enunciado resumido:
    «Moriarty muere y va al infierno. El diablo le propone un juego de azar al que sólo podrá apostar una vez. Si gana, irá al cielo, y si pierde arderá para siempre en el infierno.
    Si juega el primer día, tiene 1/2 de posibilidades de ganar, si apuesta el segundo tiene 2/3 de posibilidades de vencer, el tercer día 3/4, al cuarto 4/5, y así sucesivamente, de manera indefinida. La pregunta es: ¿cuál es el momento más razonable para que Moriarty juegue?»

  • Avatar de Sergio R B

    El momento más adecuado es en el primer día, ya que por la eternidad existirá posibilidad de quedarse en el infierno por pequeña que esta sea.

  • Avatar de Ácido

    la apuesta de pascal ya ha sido amplia y exitósamente refutada por el ateísmo porque es tendenciosa e incompleta no considera que al apostarle a un dios, también está en riesgo de que sea el dios equivocado de los tantos que existen, existieron o existirán tantos como religiones diferentes, de modo que la probabilidad de tener éxito al creer en un dios en particular se reducen a casi cero. Ahora bien, basados en los hechos (objetivamente entendidos) actuales y pasados ateniéndose a las evidencias racionales, la probabilidad estadística de que dios exista es 0 y la probabilidad de que no exista es 100.

  • Avatar de Pablo Vásconez Viteri

    Todos estais de acuerdo a que si a infinito le sumo uno es mas grande que infinito a secas.

    Pues :

    Simplemente con que juegue (infinito-1) dias saldra ganando. Pasara infinito menos un dia en el infierno pero no infinito. Saldra ganando ,¿no?

  • Avatar de Jacinto Martín-Prat Valls

    El que suscribe, en su desconocimiento matemático, siempre me ha sorprendido la apuesta de Pascal y no acabo de entender el parecido con la planteada aquí. Me ha sorprendido porque no es un planteamiento matemático, es interesado hasta la exageración. Viene a decir:»a mí lo que me interesa es que exista Dios – así mi vida tendrá sentido – luego entonces, pensaré que existe»…Pero claro que olvida dos cosas: que a la Naturaleza y/o a Dios le puede importar un pito lo que el señor Pascal, usted o yo pensemos» o que piense lo que piense el señor Pascal, Dios. el Universo, usted o yo, existimos o…tal vez no,tal vez seamos puro Saṃsāra – que tiene sentido – un «sentido» muy particular- por sí mismo… Saludo afectuoso y agradecimien to por desempolvar mis neuronas, tan a menudo.

  • Avatar de Maite P.

    Yo creo que no deberia jugar nunca, asi viviría con la ilusión de no perder nunca la posibilidad (probabilidad) de escaparse y aguantaria mejor el día a día. Y además, quien quiere salir del imfierno cuando en él están las personas más interesantes

  • Avatar de Pedro Francisco Ruiz

    Pues yo lo he entendido perfectamente. Lo curioso es que para asegurarse el triunfo, es decir para ir al cielo, y lograr la gloria eterna, deba arder en el infierno eternamente. El infinito para lograr más infinito. Otra cuestión es saber realmente lo que apostaría Moriarty. Él sabe que si quiere asegurar, no apostaría nunca, por lo que estaría siempre en el infierno. Yo creo que esperaría a que Holmes muriera para apostar

  • Avatar de Fernando

    Me hq encantado el artículo, que leo por primera vez 3 años después de su publicación jejeje, pero es que hasta hace poco no conocía a la maravillosa autora del mismo.

    Y con respecto al dilema de Pascal, prefiero la réplica al mismo de Richard Dawkins.

    Un saludo.

  • Avatar de Alfonso FR

    Existe una forma de resolver la paradoja. Y es cuestionando una aserción que se da por sentada, pero que puede ser falaz. Y ésta es que el coste de pasar una día en el infierno es finito. Si el infierno es el epítome del mal, parece lógico también suponer que el coste de pasar un día allí sea infinito. Vean la serie de televisión Preacher para hacerse una idea… Saludos

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