En 1905, el matemático Jules Antoine Richard envío una carta al director de la Revue générale des Sciences pures et apliquées. Comenzaba su misiva refiriéndose a un editorial aparecido en esa misma revista el 30 de marzo de ese año (ver [1]): La théorie des ensembles. El editor hablaba en ella sobre dos afirmaciones contradictorias realizadas en un poco más de un mes por dos conocidos matemáticos: Julius König establecía en el III Congreso Internacional de Matemáticos (Heildelberg, agosto de 1904) que el continuo no posee un buen orden, mientras que poco tiempo más tarde, en septiembre de 1904, Ernst Zermelo daba una prueba de que todo conjunto podía dotarse de un buen orden. El editor aludía a lo delicado del tema, ya que era preciso recurrir a los números ordinales definidos por Georg Cantor para estudiar el problema.

En su carta, Richard argumentaba que no era necesario acudir a la teoría de conjuntos ordinales para encontrar tales paradojas, y proponía su versión, más sencilla de enunciar.

Reproducimos debajo la primera parte de esta carta en la que Richard introduce su ejemplo paradójico; en la traducción hemos respetado su notación original (ver la referencia [2]) y hemos añadido algunas notas y enlaces para aclarar los términos utilizados:

Voy a definir un cierto conjunto de números que llamaré el conjunto E, con ayuda de las siguientes consideraciones:

Escribamos todas las combinaciones de dos elementos tomados de las veintiséis letras del alfabeto francés, ordenando estas combinaciones por orden alfabético. A continuación, todas las combinaciones de tres letras ordenadas por orden alfabético, después las combinaciones de cuatro elementos, etc. Estas combinaciones pueden contener la misma letra repetida varias veces, son combinaciones con repetición.

Para todo número entero p, cualquier combinación de las veintiséis letras tomadas de p en p se encontrará en esta tabla de la que acabamos de indicar el modo de construcción.

Como la definición de un número se realiza con palabras, y éstas con letras, algunas de estas combinaciones serán definiciones de números. Suprimamos de nuestra tabla todas las combinaciones que no sean definiciones de números.

Sea u₁el primer número definido por una combinación, u₂ el segundo, u₃ el tercero, etc.

De este modo hemos ordenado en un orden determinado todos los números definidos mediante una cantidad finita de palabras.

Por lo tanto, todos los números que pueden definirse mediante una cantidad finita de palabras forman un conjunto numerable^{(ver [N1])}.

Veamos ahora la contradicción. Se puede formar un número que no pertenezca a este conjunto.

«Sea p el n-ésimo decimal del n-ésimo número del conjunto E; formemos un número que tenga cero como parte entera^{(ver [N2])} y como n-ésimo decimal p+1 si p no es ni 8 ni 9 y la unidad en caso contrario”^{(ver [N3])}.

Ese número N no pertenece al conjunto E. Si fuera el n-ésimo número del conjunto E, su n-ésima cifra decimal debería ser el n-ésimo decimal de ese número, cosa que no sucede.

Llamo G al grupo de letras entre comillas.

El número N está definido por las palabras del grupo G, es decir, por un número finito de palabras; por lo tanto debería pertenecer al conjunto E. Sin embargo, hemos visto que no pertenece.

Richard continúa su argumentación, introduciendo más ingredientes a la discusión sobre la contradicción obtenida.

La paradoja de Richard es una paradoja semántica que tiene mucho que ver con la paradoja de Berry, y ambas habrían inspirado a Bertrand Russell en su Les paradoxes de la logique.

Por cierto, el matemático francés Jules Antoine Richard (1862-1956) falleció un 14 de octubre.

Notas:

[N1] Un conjunto es numerable cuando sus elementos pueden ponerse en correspondencia uno a uno con el conjunto de los números naturales. Richard ordena las palabras de E por la cantidad de letras que poseen y después en orden lexicográfico; elimina después aquellas que no corresponden a números y considera el conjunto restante. Cada número definido mediante una cantidad finita de palabras ocupa un lugar en este listado y, recíprocamente, cada posición –cada número natural– está ocupada por uno de ellos.

[N2] La parte entera de un número real x es el mayor número entero que es menor o igual a x. Si la parte entera de x es 0, es 0 ≤ x < 1.

[N3] Este tipo de razonamiento es una versión del argumento diagonal de Cantor, que precisamente Georg Cantor utilizó para demostrar que los números reales no son numerables.

Referencias:

[1] La théorie des ensembles, Revue générale des Sciences pures et appliquées, no. 6, pág. 241-242, 30 de marzo de 1905

[2] Jules Richard, Les Principes des mathématiques et le problème des ensembles, carta enviada a Revue générale des Sciences pures et appliquées, no. 12, pág. 541, 30 de junio de 1905

Sobre la autora: Marta Macho Stadler es profesora de Topología en el Departamento de Matemáticas de la UPV/EHU, y colaboradora asidua en ZTFNews, el blog de la Facultad de Ciencia y Tecnología de esta universidad.