Redes de carreteras y atascos: la paradoja de Braess

Matemoción

En esta anotación vamos a describir un ejemplo de una red de carreteras en la que una teórica mejora produce, sorprendentemente, que los tiempos de recorrido de los vehículos aumenten.

El diagrama 1 representa una red de carreteras en la que las vías secundarias se simbolizan en amarillo y las autovías en rojo.

La velocidad del tráfico en los tramos de A a X y Y a B –las carreteras secundarias– depende fuertemente de la cantidad de vehículos que circulan por ellos; si T es el número de automóviles transitando, se sabe que cada viajero necesita t=T/100 minutos para realizar el recorrido completo.

Los trayectos de A a Y y de X a B requieren, cada uno de ellos, un tiempo constante de 45 minutos: son vías rápidas en las que el tráfico es siempre fluido, independientemente del número de vehículos circulando.

DIAGRAMA 1
DIAGRAMA 1

Supongamos que 4000 conductores quieren viajar desde A hasta B. Las rutas por el norte (de A a Y y de Y a B) y por el sur (de A a X y de X a B) son igualmente eficientes, por lo que los viajeros se dividirán –si no intermedia ningún dato adicional– en dos grupos, y llegarán al final de su trayecto en 2000/100 + 45 = 65 minutos.

Imaginemos ahora que los responsables de tráfico, intentando reducir los tiempos de los viajes, agregan un acceso directo entre X e Y, cuyo recorrido precisa sólo 1 minuto (ver diagrama 2). ¿Cómo razonará ahora un viajero cualquiera? Tomará la ruta de A a X ya que, en el peor de los casos –si los demás argumentan de la misma manera– tardará 4000/100 = 40 minutos en llegar de A a X, en lugar de los 45 minutos que invertía con la primera ruta. Tras 1 minuto para llegar de X a Y, de nuevo en el peor de los casos, necesitará 4000/100 = 40 minutos para llegar de Y a B.

DIAGRAMA 2
DIAGRAMA 2

Es decir, el viaje le llevará 4000/100 + 1+ 4000/100 = 81 minutos… ¡16 minutos más que al principio, antes ‘de las mejoras’!

Ningún conductor –individualmente– tiene ningún incentivo para cambiar su manera de razonar y su comportamiento ulterior: de hecho, si todos los vehículos pudieran ponerse de algún modo de acuerdo para no usar el acceso directo recién añadido, todos reducirían su tiempo de viaje. Pero, sin una manera de coordinarlo, la ‘supuesta mejora’ sólo consigue desplazamientos más largos…

Este principio fue descubierto por el matemático Dietrich Braess (1938-) en 1968 y se conoce como la paradoja Braess.

Nota: Las imágenes están modificadas a partir de las que aparecen en Wikipedia

Más información:

Sobre la autora: Marta Macho Stadler es profesora de Topología en el Departamento de Matemáticas de la UPV/EHU, y colaboradora asidua en ZTFNews, el blog de la Facultad de Ciencia y Tecnología de esta universidad.

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