Euler y el último teorema de Fermat

Matemoción

El pasado martes, 15 de marzo de 2016, la Academia Noruega de Ciencias y Letras resolvía conceder el Premio Abel 2016 (de matemáticas) a Sir Andrew J. Wiles, “por suimpresionante demostracióndel último teorema de Fermat mediante la conjetura de modularidad para las curvas elípticas semiestables, iniciando una nueva era en la teoría de números”.

Mítica fotografía de Andrew Wiles, que recorrió el mundo entero, obtenida al final de la tercera conferencia del ciclo “Formas modulares, ecuaciones elípticas y representaciones de Galois” que impartió en Cambridge en junio de 1993, tras sus palabras “… y esto demuestra el último teorema de Fermat. Creo que lo dejaré aquí”; después llegaría el descubrimiento del error en la prueba y más de un año de trabajo extra para completar la demostración del último teorema de Fermat
Mítica fotografía de Andrew Wiles, que recorrió el mundo entero, obtenida al final de la tercera conferencia del ciclo “Formas modulares, ecuaciones elípticas y representaciones de Galois” que impartió en Cambridge en junio de 1993, tras sus palabras “… y esto demuestra el último teorema de Fermat. Creo que lo dejaré aquí”; después llegaría el descubrimiento del error en la prueba y más de un año de trabajo extra para completar la demostración del último teorema de Fermat

La historia del último teorema de Fermat se inicia con la edición en latín, realizada por Bachet de Méziriac, amigo del jurista francés y aficionado a las matemáticas Pierre de Fermat (1601-1665), del libro Aritmética de Diofanto. El “príncipe de los aficionados” (como le apodaría el matemático de origen escocés Eric Temple Bell, en su libro Los grandes matemáticos) Pierre de Fermat escribió en el margen de este libro, al lado del problema de expresar el cuadrado de un número como la suma de los cuadrados de dos números, es decir, buscar soluciones de números enteros positivos a la ecuación pitagórica x2 + y2 = z2 (existen infinitas soluciones, ternas pitagóricas, como (3,4,5) o (5,12,13)), lo siguiente [2]:

Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratos, et generilater nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividiré cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exigüitas non caperet”,

es decir,

Es imposible encontrar la forma de convertir un cubo en la suma de dos cubos, una potencia cuarta en la suma de dos potencias cuartas, o en general cualquier potencia más alta que el cuadrado en la suma de dos potencias de la misma clase; para este hecho he encontrado una demostración maravillosa. El margen es demasiado pequeño para que quepa en él”.

En consecuencia, el teorema del matemático francés afirmaba lo siguiente.

Teorema de Fermat: no es posible encontrar tres números enteros positivos x, y, z tales que verifiquen la ecuación, xn + yn = zn, para n mayor, o igual, que 3.

Sin embargo, Pierre de Fermat nunca publicó ninguno de sus resultados matemáticos. Estos se encontraban como anotaciones en los márgenes de sus libros, en particular, de los seis libros que conformaban la Aritmética de Diofanto (originalmente eran 13 libros, pero el resto se perdieron), en sus notas manuscritas y en las cartas a otros colegas matemáticos. A su muerte, su hijo Clement-Samuel decidió recopilar y publicar todos los resultados matemáticos de su padre, para evitar que se perdieran. Por ejemplo, en 1670 publicó la obra Diophanti arithmeticorum libri cum observationibus P. de Fermat (es decir, Aritmética de Diofanto con observaciones de P. de Fermat), que contenía la versión original griega, la latina de Bachet y cuarenta y ocho observaciones del príncipe de los aficionados, una de las cuales era la anotación sobre la solución de la ecuación diofántica xn + yn = zn. Sin embargo, no se encontró ni entre sus papeles, ni en las cartas a otros matemáticos, la mencionada “maravillosa demostración”.

 Página de la publicación Diophanti arithmeticorum libri cum observationibus P. de Fermat (1670), en la que se incluye la observación de Fermat, que sería conocida como el último teorema de Fermat
Página de la publicación Diophanti arithmeticorum libri cum observationibus P. de Fermat (1670), en la que se incluye la observación de Fermat, que sería conocida como el último teorema de Fermat

A partir de las obras de Pierre de Fermat, en particular, Diophanti arithmeticorum libri cum observationibus P. de Fermat, los matemáticos se afanaron por demostrar todas las interesantes afirmaciones realizadas por el matemático francés, pero que, sin embargo, no constaban de una prueba escrita. Con el paso del tiempo se consiguió probar cada uno de los resultados formulados por el jurista de Toulouse, salvo la no existencia de soluciones enteras positivas de la ecuación xn + yn = zn, motivo por el cual desde entonces se conocería como el “último teorema de Fermat”.

Un siglo después aún se estaban intentando probar algunos de dichos resultados. Una de las personas que trabajó en la obtención de demostraciones para las afirmaciones relacionadas con la teoría de números formuladas por Pierre de Fermat, fue el matemático más prolífico de todos los tiempos, el suizo Leonhard Euler (1707-1783). Fue el matemático prusiano Christian Goldbach (1690-1764) quien, en su correspondencia con Euler, le animó a que se interesara por las mismas.

Uno de los resultados que demostró el padre de la teoría de grafos fue el conocido como “pequeño teorema de Fermat”, que afirma lo siguiente.

Pequeño teorema de Fermat: si a es un entero positivo y p es un primo que no divide a a, entonces p debe ser un factor de ap11.

Por ejemplo, si tomamos a igual a 9 y p el primo 5, que no divide a 9, entonces efectivamente 5 divide a 94 – 1 = 6.560. Este resultado aparecía en una de las cartas de Pierre de Fermat, de 1640, al matemático francés Bernard Frénicle de Bessy (1604 – 1675), en la que tras su enunciado, Fermat escribía “le enviaría la prueba, si no temiese que es demasiado larga”.

En 1729 Goldbach le preguntó a Euler en una de sus cartas a ver si conocía otra de las conjeturas de Fermat, una fórmula para generar números primos: “¿Conoce usted la observación de Fermat de que todos los números de la forma 2^{2^n} + 1 son primos? Él dijo que no lo puede probar, yo tampoco y no sé de alguien que lo haya hecho”.

Es evidente que para los primeros n = 1, 2, 3 y 4 esto es cierto, puesto que 2^{2^1} + 1 = 2^{2} + 1 = 5 , 2^{2^2} + 1 = 2^{4} + 1 = 17 , 2^{2^3} + 1 = 2^{8} + 1 = 257 y 2^{2^4} + 1 = 2^{16} + 1 = 65.537 son números primos. Sin embargo, para n = 5 se obtiene un número muy grande, y no resulta fácil saber si es primo o no, 2^{2^5} + 1 = 2^{32} + 1 = 4.294.967.297 . Euler demostró, haciendo uso del pequeño teorema de Fermat, que dicho número no es primo (4.294.967.297 = 641 x 6.700.417), y por lo tanto, la anterior conjetura de Fermat no era cierta. Efectivamente, Fermat se había equivocado en una de sus afirmaciones matemáticas.

Caricaturas de Pierre de Fermat y Leonhard Euler, realizadas por Gerardo Basabe de Viñaspre y Enrique Morente, para la exposición de la Real Sociedad Matemática Española, El rostro humano de las matemáticas (2008)
Caricaturas de Pierre de Fermat y Leonhard Euler, realizadas por Gerardo Basabe de Viñaspre y Enrique Morente, para la exposición de la Real Sociedad Matemática Española, «El rostro humano de las matemáticas» (2008)

Pero volviendo a la conjetura de Fermat sobre las soluciones de la ecuación diofántica xn + yn = zn, el primer avance significativo en más de un siglo se produce precisamente de la mano del matemático Leohnard Euler. El “maestro de todos nosotros”, como lo calificó el matemático francés Pierre Simon Laplace (1749-1827) para expresar la gran influencia de su obra en la matemática posterior, estaba estudiando los papeles de Pierre de Fermat cuando en mitad de la demostración de la afirmación “ningún triángulo rectángulo, con lados enteros, tiene un cuadrado por área”, que era equivalente a que existieran números enteros positivos x, y, z tales que x4 – y4 = z2, encontró un razonamiento válido para el teorema de Fermat cuando n = 4, es decir, no existen números enteros positivos x, y, z tales que x4 + y4 = z4. La técnica que utilizaba Fermat era la del “descenso infinito”.

En la novela El rescoldo, de Joaquín Leguina, en la cual el teorema de Fermat-Wiles, desde su formulación hace más de tres siglos en el margen de la Aritmética de Diofanto hasta la compleja demostración del matemático británico Andrew Wiles haciendo uso de curvas elípticas y formas modulares, es uno de los elementos principales de la trama, se explica el significado del “descenso infinito” como técnica demostrativa:

Si para una potencia 4 existe una solución para la fórmula aquí escrita –dijo Lardy señalando la pizarra–, es decir, si existe una terna de números enteros [positivos] que cumplen la ecuación para n = 4, se puede construir a partir de ella una segunda terna formada por tres números [enteros positivos] más pequeños que también la cumplen, a partir de esa segunda una tercera… y así hasta el infinito, pero esa escalera descendiente e infinita de ternas contradice que la escalera descendente de los números enteros [positivos] es finita, pues acaba en el uno, luego no existe esa hipotética solución inicial”.

Euler hizo uso de la técnica del descenso infinito, pero utilizando números complejos en el razonamiento, para demostrar la conjetura de Fermat para el caso n = 3, x3 + y3 = z3. Aunque Euler cometió un error en dicha demostración, el resultado necesario para corregirlo estaba en otro de los trabajos del matemático suizo, por lo que se sigue considerando válida su demostración. Las ideas de la demostración de Euler fueron generalizadas por matemáticos como Dirichlet, Legendre o Lamé para probar algunos otros casos particulares de la conjetura diofántica, como por ejemplo, n = 5, 7.

Tras la demostración de la conjetura de Fermat para n = 3, no existen números enteros positivos que sean solución de la ecuación x3 + y3 = z3, o dicho de otra forma, un cubo no puede descomponerse como suma de dos cubos, Euler generalizó esta conjetura afirmando que “La suma de tres bicuadrados no puede ser un bicuadrado”, es decir la ecuación x4 + y4 + z4 = w4 tampoco admite soluciones de números enteros positivos.

Al igual que ocurre con el resultado de Fermat para n = 2, es decir, sí existen soluciones a la ecuación pitagórica x2 + y2 = z2, en el caso de la conjetura de Euler también se verifica el resultado para la potencia anterior, en este caso, n = 3, x3 + y3 + z3 = w3. Una solución es, por ejemplo, 33 + 43 + 53 = 63.

De hecho, podemos expresar la conjetura de Euler de una forma más general.

Conjetura de Euler (sobre sumas de potencias): Dados dos números n y k, mayores que 1, si la suma de n potencias k-ésimas de números enteros positivos es una potencia k-ésima, entonces n es mayor o igual que k. Es decir, si \sum_{i=1}^n a_i^k = b^k , donde n > 1 y a_1, \ldots , a_n, b son enteros positivos, entonces n\geq k .

En particular, no existen números que verifiquen las ecuaciones x4 + y4 + z4 = w4, x5 + y5 + z5 + v5 = w5, etc.

Imagen 4
Portadas de las novelas citadas en esta entrada, «El oro de Newton» (2014), «El rescoldo» (2008) y «Los hijos de Noboddady» (2012)

Pero volvamos de nuevo nuestra mirada a la literatura. En el tercer libro, Espejos negros, de la trilogía Los hijos de Nobodaddy (publicadas originalmente en 1953 y 1951), del escritor alemán Arno Schmidt, se mencionan las conjeturas de Fermat y Euler. Esta trilogía es una dura reflexión sobre la condición humana, escrita mediante reflexiones cortas del protagonista, alter ego del autor, y ambientada en la Alemania de la segunda guerra mundial, en la posguerra y en una hipotética tercera guerra mundial en los años 60. Schmidt, muy interesado en las matemáticas en su juventud, afirma (su personaje) haber demostrado el teorema de Fermat (40 años antes que Andrew Wiles), e incluso muestra el inicio de una supuesta demostración (que, por supuesto, no sería correcta). Y plantea además una generalización, que no es otra que la conjetura de Euler (para sumas de potencias).

El problema de Fermat: Para AN + BN = CN, siendo todas las variables números enteros, N no puede ser mayor de 2. E hice rápidamente la demostración:

(1) AN = CN BN ó A2 N/2 = (CN/2BN/2). (CN/2 + BN/2), o bien

(2) AN/2 = raíz del lado derecho; llamé CN/2 BN/2 = x2, y: CN/2 + BN/2 = y2, lo que automáticamente resulta

(3) AN = (x y)2 = a2, por consiguiente:

(4) CN = [(x2 + y2)/2]2 = c2 tanto como (5) BN = [(y2 x2)/2]2 = b2.

La ecuación AN + BN = CN, entonces, por ley, se deja reducir a la forma potencial a2 + b2 = c2, en la que x e y son las variables fundamentales. Para que a, b y c sean números enteros, es necesario que x e y también lo sean, y además y x = 2m. etcétera, etcétera.

(Veamos algunas posibilidades: para y = 4; x = 2, resulta 82 + 62 = 102. Para y = 5; x = 3 resulta 152 + 82 = 172; lo cual significa que por ejemplo el 8 puede aparecer dos veces, según represente a o b.)

Pasarlo a la generalidad significativa: Con la premisa de que tratamos con números enteros, podemos decir que toda expresión AN + BN + CN + DN +……= ZN, en su forma más reducida, debe tener N términos del lado izquierdo, ¡no menos! Y ―como en el mencionado ejemplo, el 8― el mismo valor numérico no puede aparecer más de N veces, según sea AN, BN, etcétera. Por ejemplo para N = 3, es válido: 33 + 43 + 53 = 63; 183 + 33 + 243 = 273; 363 + 373 + 33 = 463. Los símbolos salían velozmente del lápiz, y yo seguí garabateando de buen humor: hay que imaginárselo: ¡yo resolviendo el teorema de Fermat! (Un modo excelente de pasar el tiempo)”.

Pero regresemos a la conjetura de Euler (sobre sumas de potencias), que el matemático suizo formuló en 1769. La conjetura de Fermat, de la que esta es una generalización, ha sido finalmente demostrada por Andrew Wiles en 1995, aunque para ello se han necesitado más de 350 años de duros esfuerzos matemáticos. ¿Qué ocurre con la conjetura de Euler? ¿Es cierta o falsa? ¿Se ha demostrado ya?

Resulta que la conjetura de Euler, al contrario que la afirmación de Fermat, es falsa. Sin embargo, se necesitaron prácticamente dos siglos para encontrar un contraejemplo. El primero fue para el caso k = 5, en concreto, los matemáticos L. J. Lander y T. R. Parkin encontraron, con ayuda de un ordenador, números que satisfacían la ecuación, es decir, 275 + 845 + 1105 + 1335 = 1445. Resultado que publicarían en el artículo Counterexample to Euler’s Conjecture on Sums of Like Powers (Bulletin of the American Mathematical Society 72, p. 1079, 1966), en lo que seguramente es el artículo matemático más pequeño jamás publicado en una revista de investigación matemática, cuyo texto principal solamente tiene 5 líneas.

 Counterexample to Euler’s Conjecture on Sums of Like Powers, Bulletin of the American Mathematical Society 72, p. 1079, 1966, de L. J. Lander y T. R. Parkin
Counterexample to Euler’s Conjecture on Sums of Like Powers, Bulletin of the American Mathematical Society 72, p. 1079, 1966, de L. J. Lander y T. R. Parkin

Y en 1986, el matemático Noam Elkies desarrolló una técnica, haciendo uso de las curvas elípticas, para obtener una familia infinita de números que satisfacen la ecuación x4 + y4 + z4 = w4. El contraejemplo, para k = 4, más pequeño de esa familia era

2.682.4404 + 15.365.6394 + 18.796.7604 = 20.615.6734.

Siguiendo las ideas de Elkies, en 1988, Roger Frye obtuvo el contraejemplo más pequeño posible de la conjetura de Euler (para k = 4),

95.8004 + 217.5194 + 414.5604 = 422.4814.

Bibliografía

1.- Simon Singh, El enigma de Fermat, Planeta, 2003.

2.- Joaquín Collantes, Antonio Pérez, El oro de Newton, Liber Factory, 2014.

3.- Joaquín Leguina, El rescoldo, Alfaguara, 2004.

4.- Javier Alfaro Pastor, Carlos Bosch Giral, La peor conjetura de Fermat sigue abierta, Miscelánea Matemática 34, pp. 113-123 (2001).

5.- VV. AA., El rostro humano de las matemáticas, Nivola, 2008 (Versión on-line en divulgamat)

5.- Arno Schmidt, Los hijos de Nobodaddy (trilogía Momentos de la vida de un fauno, El brezal de Brand y Espejos negros), Debolsillo, 2012 (originalmente publicadas en 1953, 1951 y 1951).

6.- L. J. Lander y T. R. Parkin, Counterexample to Euler’s Conjecture on Sums of Like Powers, Bulletin of the American Mathematical Society 72, p. 1079, 1966.

7.- Noam Elkies, On A4 + B4 + C4 = D4, Mathematics of Computation 51, p. 825-835, 1988.

Sobre el autor: Raúl Ibáñez es profesor del Departamento de Matemáticas de la UPV/EHU y colaborador de la Cátedra de Cultura Científica

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