El Shu Shu Jiu Zhang –Tratado matemático en nueve secciones– fue escrito por el matemático Qin Jiushao (1202-1261) en 1247, durante un período de auge de las matemáticas chinas.

El libro contiene nueve capítulos, cada uno de los cuales incluye nueve problemas, es decir, el autor propone 81 dilemas en su tratado (sobre fenómenos celestes, cálculos de áreas, tasaciones, topografía, almacenamiento de semillas, construcción de edificios, asuntos militares, intereses, etc.).

El problema que planteamos a continuación –es un problema de restos– tiene un enunciado fácil de entender, pero para resolverlo –de manera sencilla, con las técnicas actuales de teoría de números– se requieren pequeños conocimientos de teoría de congruencias, en particular propiedades de congruencias lineales y el teorema chino de los restos.

El problema se enuncia de la siguiente manera:

En una tienda de arroz, tres ladrones roban tres barriles de un cierto tipo de este cereal. Los barriles estaban llenos en el momento del saqueo, pero se desconoce su capacidad exacta –todos poseen la misma cabida, que es además un número entero–.

Un tiempo después se localizan los tres barriles: en el primero queda 1 ko de arroz, en segundo hay 1shêng y 4 ko –1shêng equivale a 10 ko–, y en el último 1 ko. Tras la captura de los tres ladrones, el primero confiesa haber metido su pala varias veces en el primer barril y haber vaciado el contenido en su saco; el segundo bandido afirma haberse quitado su zueco de madera para vaciar el segundo barril; y el tercer ladrón admite haber usado un cuenco para introducir en su saco el cereal del último tonel. Ellos no recuerdan las cantidades robadas, ya que se han comido todo el arroz en sus casas; pero se sabe que la pala contiene 1 schêng y 9 ko, el zueco 1 schêng y 7 ko, y el cuenco 1 schêng y 2 ko.

Con estos datos, la pregunta es: ¿cuál es el volumen de arroz robado y cuánto arroz ha hurtado cada ladrón?

Antes de empezar, pasamos todos los datos a la misma unidad: la pala contiene 19 ko, el zueco 17 ko y el cuenco 12 ko. Además, en el primer barril ha quedado un resto de 1 ko de arroz, en el segundo 14 ko, y en el tercero 1ko.

El problema se reduce a resolver un sistema de congruencias lineales: se trata de encontrar un número entero N –la capacidad de cualquiera de los barriles– que verifique simultáneamente las tres congruencias siguientes:

N ≡ 1 (mód 19),
N ≡ 14 (mód 17) y
N ≡ 1 (mód 12).

Cuando escribimos N ≡ a (mód b) queremos decir que al dividir N por b, el resto de la división es a (por supuesto, a < b). ¿Por qué estas tres congruencias?

1. Usando x veces su pala –que llena contiene 19ko de arroz–, el primer ladrón ha dejado un resto de 1ko en el primer barril. Así, la capacidad total del barril es de N = 19 x + 1. Con la primera congruencia, N ≡ 1 (mód 19), buscamos ese x.
2. Pero al mismo tiempo, el segundo bandido ha usado y veces su zueco –que lleno contiene 17ko de arroz– para dejar un resto de 14ko en el segundo barril. Es decir, se cumple además que N = 17 y + 14. Con la segunda congruencia, N ≡ 14 (mód 17), buscamos el valor de y.
3. Y por último, el tercer ladrón ha usado z veces su cuenco –que lleno contiene 12ko de arroz– para dejar un resto de 1ko en el tercer barril. Por ello también se verifica que N = 12 z + 1. Con la tercera congruencia, N ≡ 1 (mód 12), buscamos ese z.

El valor de N buscado debe cumplir las tres condiciones a la vez.

Para resolver este sistema, es preciso aplicar el teorema chino de los restos, que garantiza que la solución es única, módulo 3876 (= 19 x 17 x 12). Basta con encontrar la menor solución posible, y el resto de soluciones se obtendrían sumando a la primera cualquier múltiplo del número 3876.

La menor solución –en este enlace puede verse como se resuelve el sistema de congruencias– afirma que cada barril contiene un volumen de 3193 kb de arroz. Además, en ese caso, unas simples operaciones nos permiten concluir que el primer ladrón ha usado su pala 168 veces y se ha llevado 3192 kb de arroz (x=3192/19=168), el segundo ha manejado su zueco 187 veces y se ha llevado 3179 kb de arroz (y=3179/17=187), y el tercero ha utilizado 266 veces su cuenco y se ha llevado 3192 kb de arroz (z=3192/12=266).

Más información:

D. Daumas, M. Guillemot, O. Keller, R. Mizrahi, M. Spiesser, Un problème de voleurs par Ch’in Chiu-shao dans le Shu-shu chiu-chang, 1247, en Le théorème des restes chinois, CultureMATH, 2012.

Sobre la autora: Marta Macho Stadler es profesora de Topología en el Departamento de Matemáticas de la UPV/EHU, y colaboradora asidua en ZTFNews, el blog de la Facultad de Ciencia y Tecnología de esta universidad.