El teorema del pollo picante (o sobre particiones convexas equitativas)

Matemoción

El artículo [1] comienza de la siguiente manera:

Imagina que estás preparando pollo en una fiesta. Quieres cortar el pollo crudo con un cuchillo afilado, marinar cada una de las piezas en una salsa picante, y luego freírlas. La superficie de cada trozo será crujiente y picante. ¿Es posible cortar el pollo para que todas y todos los invitados reciban la misma cantidad de corteza crujiente y la misma cantidad de pollo?

Además, amablemente, una nota a pie de página indica que las personas vegetarianas pueden sustituir el pollo por patatas peladas. ¡Está bien pensar en otros gustos!

pollo picante

No, no se trata de una broma. Los autores pretenden tan solo motivar a sus lectores para que entiendan la propiedad que demuestran en el artículo, que es a su vez un caso particular de un teorema de geometría de Riemann (que también prueban, aunque aquí no vamos a hablar de él). El resultado se enuncia del siguiente modo:

Corolario (de ese teorema general antes citado).

Dados un cuerpo convexo K en el espacio euclídeo d-dimensional, un número primo p y un entero positivo k, es posible dividir K en n=pk cuerpos convexos con iguales volúmenes (dimensión d) e iguales (d-1)-áreas.

Para entender un poco mejor el enunciado, en el caso del espacio euclídeo de dimensión 2, el corolario hablaría de dividir un cuerpo convexo K contenido en el plano en una cierta cantidad de cuerpos convexos con iguales superficies e iguales perímetros (las fronteras de las superficies).

En el caso del espacio euclídeo de dimensión 3 (donde se realiza la fiesta y vive el pollo) el resultado propuesto plantea realizar una partición del cuerpo convexo K (el pobre pollo) en la cantidad indicada de cuerpos convexos más pequeños (las piezas cortadas del pollo), de manera que todos esos nuevos cuerpos convexos deben poseer el mismo volumen y la misma superficie (los trozos de pollo obtenidos tras marinar y freír deben tener el mismo volumen de carne y la misma superficie de costra procedente de la fritura).

Continuando de este modo, en el espacio euclídeo de dimensión 4, se trataría de dividir K en cierta cantidad de cuerpos convexos del mismo volumen (4-dimensional) y la misma 3-área (correspondiente a la frontera del cuerpo convexo, que posee una dimensión menos), etc.

Las matemáticas (la demostración de este corolario) afirman que es posible repartir equitativamente el pollo (y su costra) entre las personas asistentes a la fiesta… lo que no dice el corolario es cómo debe hacerse. ¡Ese es un problema diferente!

Referencia:

[1] Roman Karasev, Alfredo Hubard, and Boris Aronov, Convex Equipartitions: The spicy chicken theorem, Geom Dedicata (2014) 170: 263. doi:10.1007/s10711-013-9879-5

Sobre la autora: Marta Macho Stadler es profesora de Topología en el Departamento de Matemáticas de la UPV/EHU, y colaboradora asidua en ZTFNews, el blog de la Facultad de Ciencia y Tecnología de esta universidad.

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