El Berlin-Uhr o Mengenlehreuhr (en alemán, el reloj de Berlín o reloj de teoría de conjuntos) se instaló en la ciudad alemana de Berlín el 17 de junio de 1975. Fue el primer reloj público en el mundo en dar la hora mediante un sistema de iluminación con diferentes áreas de colores.

Fue diseñado por el inventor Dieter Binninger (1938-1991), por encargo del Senado de Berlín.

Como se muestra en las instrucciones, cada luz encendida indica una determinada duración de tiempo ya pasada. En concreto –y de arriba abajo en la anterior imagen– cada luz en la primera fila representa 5 horas, en la segunda 1 hora, en la tercera 5 minutos y la cuarta fila 1 minuto. En la parte superior, un círculo oscila –se enciende y se apaga– cada segundo.

¿Seguro que Mengenlehreuhr es un verdadero reloj? Es decir, ¿cada hora del día puede representarse por medio de este reloj (existencia) y, además, ninguna configuración horaria se repite (unicidad)?

Para demostrar que es un ‘auténtico’ reloj, vamos a convertir todos los tiempos a minutos: un día tiene 24 horas, es decir 1440 minutos. Además, cada una de las cuatro luces en la primera línea representa 5×60=300 minutos, en la segunda fila 1×60 = 60 minutos (también hay cuatro), cada una de las once luces en la tercera línea equivale a 5 minutos, y en la cuarta fila 1 minuto (hay cuatro de estas).

Cualquier momento de un día, expresado en minutos pasados desde la medianoche, se representa por un número entero entre 0 y 1440. Por ejemplo, 1h34 son 94 minutos y 20h10 equivalen a 1210 minutos.

Probar que Mengenlehreuhr es un verdadero reloj consiste entonces en demostrar el siguiente teorema:

Todo número entero N entre 0 y 1440 (ambos incluidos) se escribe de manera única de la forma:

N = 300x₁ + 60x₂ + 5x₃ + x₄,

donde x_1, x₂y x₄ son enteros entre 0 y 4 (ambos incluidos) y x₃ es un entero entre 0 y 11 (ambos incluidos).

Notar que x₁ representaría cada luz de la primera fila (empezando por arriba), x₂ de la segunda, etc.

La prueba de este teorema no es complicada, puede verse en este enlace [PDF].

Tras la prueba puede afirmarse sin ninguna duda que: ¡Mengenlehreuhr es un auténtico reloj!

Más información:

• L’horloge de Berlin, Blogdesmaths, 14 septiembre 2014
• Set Theory Clock, 3 Quarks
• Berlin-Uhr, Wikipedia

Sobre la autora: Marta Macho Stadler es profesora de Topología en el Departamento de Matemáticas de la UPV/EHU, y colaboradora asidua en ZTFNews, el blog de la Facultad de Ciencia y Tecnología de esta universidad.

Esta entrada participa en la Edición 7.6 del Carnaval de Matemáticas, que organiza el blog Gaussianos.