El tamaño sí importa, que se lo pregunten a Colón (o de la geometría griega para medir el diámetro de la Tierra)

Matemoción

Si miramos a nuestro alrededor, puede dar la impresión de que vivimos en un planeta plano, como así lo creyeron muchos pueblos en la antigüedad. Babilonios, egipcios, chinos, incas, nativos americanos, o incluso los primeros griegos, pensaron que la Tierra era plana. Según el filósofo y matemático griego Tales de Mileto (aprox. 624-547 a.n.e.), la Tierra es un disco flotando en un mar de agua, mientras que, para su discípulo Anaximandro (aprox. 610-545 a.n.e.), es un cilindro, con la ecúmene (el mundo habitado) en una de sus tapas planas. Precisamente, el mapa de la ecúmene de Anaximandro está considerado uno de los primeros mapas geográficos del mundo.

Reconstrucción del mapa de Hecateo, basado en el mapa de Anaximandro, perteneciente al “Cram’s atlas of the world, ancient and modern” (1901), de G. F. Cram. Imagen de la David Rumsey Map Collection [2]
Sin embargo, también fueron los antiguos griegos quienes pronto descubrirían que la Tierra tiene forma esférica, como aparece recogido en el diálogo del filósofo griego Platón (aprox. 427-347 a.n.e.) Fedón o la inmortalidad del alma o en el Tratado del Cielo de su discípulo Aristóteles (384-322 a.n.e.), este último con argumentos físicos y lógicos que lo demostraban.

El siguiente pasaje es del diálogo Fedón o la inmortalidad del alma (Platón, Diálogos, Espasa-Calpe, 1984):

Primeramente, repuso Sócrates, estoy convencido de que, si la Tierra está en medio del cielo, y es de forma esférica, no tiene necesidad ni del aire ni de ningún otro apoyo que la impida caer…

Además, estoy convencido de que la Tierra es muy grande y que no habitamos en ella más que esta parte que se extiende desde Fasis hasta las columnas de Hércules, repartidos alrededor del mar como las hormigas y las ranas alrededor de un pantano…

Se dice, mi querido Simmias, que si se mira esta Tierra desde un punto elevado, se parece a uno de esos balones de cuero…

Por otra parte, los argumentos de la esfericidad terrestre que aparecen en la obra de Aristóteles son sencillos y contundentes, como puede leerse en el libro El sueño del mapa perfecto (RBA, 2010), la posición de las estrellas en el firmamento, la existencia de husos horarios o la existencia y forma del horizonte.

Representación de la Tierra vista desde el espacio utilizando datos obtenidos por la NASA y NOAA. Imagen de la NASA realizada por Reto Stöckli

Una vez conocida la forma del planeta en el que vivimos, surge la cuestión de conocer cuál es su tamaño. De nuevo, fue la ciencia griega la que se puso manos a la obra, y realizó algunas estimaciones, utilizando la geometría, del perímetro terrestre.

Ya Aristóteles, en el mencionado Tratado del cielo, escribía que los “matemáticos” habían calculado la longitud de la circunferencia del globo terráqueo, estableciéndola en 400.000 estadios (más adelante, discutiremos el valor de esta unidad de longitud). Según parece la estimación citada por Aristóteles se debía al matemático y astrónomo griego Eudoxo de Cnido (aprox. 400-347 a.n.e.), considerado el fundador de la astronomía matemática.

La siguiente estimación del tamaño de la Tierra aparece en la obra El Arenario de uno de los más grandes científicos griegos, Arquímedes de Siracusa (aprox. 287-212 a.n.e.), quien en el transcurso de la discusión sobre la cantidad de granos de arena que se necesitarían para llenar todo el universo, y, por tanto, sobre el tamaño del universo, afirma que “el perímetro de la Tierra es de 3.000.000 de estadios y no más”, aunque también reconoce que hay quienes afirman que es de 300.000 estadios, que a él le parece demasiado pequeña.

“Muerte de Arquímedes”, del pintor francés Edouard Vimont (1846-1930)

La medición griega más famosa, y certera, del perímetro de la Tierra se debe al sabio polifacético griego Eratóstenes de Cirene (276-194 a.n.e.). Eratóstenes trabajó en geografía, matemáticas, astronomía, filosofía, cronología, gramática, crítica literaria e incluso escribió poesía, lo que motivó que sus compañeros le pusieran el mote “pentathlos”, en referencia a la prueba atlética “penthlaton” que integraba cinco disciplinas. Pero el hecho de que trabajara en tantos campos también fue la razón por la cual le pusieran también otro apodo, “beta”, es decir el segundo, que puede interpretarse como una persona que ocupa el tiempo en muchas cosas no puede ser excelente en cada una de ellas. A pesar de este apodo, Eratóstenes fue uno de los grandes sabios de la antigüedad. Con 30 años fue nombrado director de la Biblioteca de Alejandría, puesto en el que permaneció hasta su muerte, 45 años después.

Antes de continuar nuestro viaje, una breve parada para hablar de la Biblioteca y el Museo de Alejandría.

Tras anexionar Egipto a su imperio, Alejandro Magno (356-323 a.n.e.), rey de Macedonia, fundaría la ciudad de Alejandría en el año 331 a.n.e., la cual se convertiría en la ciudad más importante e influyente durante siglos, sustituyendo a Atenas en hegemonía cuando esta perdió su esplendor. A la muerte de Alejandro, cuando este contaba con 33 años, se desmanteló su imperio y en el trono de Egipto se instaló el rey Ptolomeo I, fundando la dinastía de los Lángidas. Este decide poner en práctica el proyecto aristotélico de un saber universal, motivo por lo que construye la Biblioteca y el Museo, y hace el siguiente llamamiento: “Pido a todos los soberanos y gobernantes de la Tierra que envíen a nuestra ciudad de Alejandría las obras de poetas y prosistas, retóricos y sofistas, médicos y adivinos, historiadores, filósofos y …”.

La Biblioteca llegaría a tener 700.000 rollos. Hay que tener en cuenta que las obras se escribían en papiros (el nombre griego para papiro es Biblos, de donde surge la palabra Biblioteca), los cuales no se plegaban, sino que se enrollaban alrededor de un bastón. Cada obra podía estar formada por varios rollos (volumen en latín), es decir, varios volúmenes.

Imagen de la película “Ágora” (2009), dirigida por Alejandro Amenábar, en la que vemos a Hipatia, interpretada por la actriz Rachel Weisz, en la Biblioteca de Alejandría, aunque en esa época ya no era la Gran Biblioteca, sino la Biblioteca hija, mucho más humilde, intentando salvar algunos rollos de dicha biblioteca, durante su destrucción por orden del emperador Teodosio el Grande

“Buscadores de libros” se pusieron a rastrear en los principales mercados del mundo mediterráneo, comprando, a precio de oro, todos los manuscritos que encontraban, y si no podían comprarlos, los conseguían por otros medios (robo, soborno o extorsión). Además, cuando un navío entraba en el puerto de Alejandría los soldados entraban en el barco en busca de todos los manuscritos que se encontraban en el navío para llevarlos a los talleres de la Biblioteca, donde eran cuidadosamente estudiados y copiados por escribas. Si se trataba de un ejemplar raro, se le devolvía al dueño la copia. A esta colección de la Biblioteca se la llamó “los fondos de los barcos”.

El Museo era una especie de centro de investigación financiado por el estado, dedicado a todas las Musas, de ahí su nombre, es decir, a todo tipo de conocimiento. Por él pasaron grandes sabios como Euclides, Apolonio, Eratóstenes, Hiparco, Aristarco, Herón o Ptolomeo.

Con el paso de los siglos el sueño de toda la sabiduría del mundo reunida en la Biblioteca de Alejandría se desvanecería. Diferentes desastres asolaron Alejandría, miles de libros se quemaron y la Biblioteca acabó totalmente destruida. Lo cierto es que la destrucción de las obras de la Biblioteca de Alejandría es sin duda una de las mayores tragedias de la historia de la humanidad, en la que se han perdido para siempre parte de la cultura y ciencia humanas.

Pero volvamos a la estimación del diámetro de la Tierra realizada por Eratóstenes, quien estableció en 252.000 estadios la longitud del meridiano terrestre que pasa por Alejandría. Conocemos el método utilizado por Eratóstenes gracias al astrónomo griego Cleomedes (aprox. 10-70) y a algunos autores clásicos como Herón, Estrabón, Plinio o Vitrubio, entre otros.

La medición de la circunferencia terrestre realizada por Eratóstenes tenía en cuenta que la Tierra es esférica, que podemos considerar que los rayos del Sol llegan paralelos al encontrarse con la superficie terrestre, debido a la distancia a la que se encuentra el astro, así como que las ciudades consideradas, Alejandría y Siena (en la actualidad, Asuán), estaban situadas en el mismo meridiano.

La primera estimación necesaria para el cálculo fue la de la distancia entre Alejandría y Siena, que el director de la Biblioteca consideró de 5.000 estadios. Según cuenta la leyenda, Eratóstenes preguntó a los caravaneros que comerciaban entre ambas ciudades, quienes le contestaron que un camello, que recorría una distancia aproximada de 100 estadios al día, tardaba 50 días en ir de una ciudad a otra. Aunque es muy probable que el sabio griego consultase ese dato en los libros de la biblioteca, contrastando las informaciones que caravaneros o saldados pudieran proporcionarle.

Por otra parte, la ciudad de Siena se encontraba en el trópico de Cáncer, es decir, que al mediodía del solsticio de verano (hacia el 21 de junio) los rayos solares caían perpendicularmente sobre la ciudad, lo cual podía ser comprobado observando que la luz se reflejaba en el fondo de un pozo profundo.

Además, Eratóstenes necesitaba medir el ángulo de inclinación del sol en Alejandría con respecto a la vertical (el ángulo α en la imagen con el esquema de la medición), lo cual se podía calcular con un sencillo gnomon (es decir, una estaca vertical colocada sobre una base horizontal), como se muestra en el esquema, aunque parece ser que Eratóstenes utilizó un gran obelisco.

Haciendo uso del gnomon y su sombra mediante los rayos solares se calcula la altura angular del Sol

Haciendo uso de un particular gnomon, el obelisco en la ciudad de Alejandría, Eratóstenes midió el ángulo de la inclinación del Sol respecto a la vertical (el ángulo α) en el mediodía del solsticio de verano, que, según sus cálculos, era 1/50 de una circunferencia, es decir, 360º / 50 = 7,2º. Como ya hemos dicho, el sol cae verticalmente en ese momento sobre la ciudad de Siena, luego el arco del ángulo del meridiano entre Alejandría y Siena es también 7,2º.

Al mediodía del solsticio de verano, los rayos solares caían verticalmente sobre la ciudad egipcia de Siena, por lo que se reflejaba en el fondo de cualquier pozo, mientras que sobre Alejandría caían formando un ángulo de 7,2º con la vertical, por ejemplo, un obelisco

Ya solo queda un pequeño cálculo. Si la longitud de un arco de meridiano de 7,2º, entre Alejandría y Siena, es de 5.000 estadios, entonces la circunferencia completa, correspondiente a los 360º, será de (360º / 7,2º) x 5.000 = 50 x 5.000 = 250.000 estadios.

Aunque según algunos autores, Eratóstenes llevó a cabo diferentes mediciones hasta considerar la estimación final de 252.000 estadios.

Uno de los problemas actuales para poder valorar las estimaciones antiguas del perímetro terrestre es el valor de la medida de longitud utilizada, en este caso, el estadio. En aquellos tiempos no existían medidas unificadas y el valor de los estadios variaba de unos lugares a otros, por lo que existen diferentes posibilidades a la hora de convertir los estadios en metros. Si consideramos el estadio egipcio, cuyo valor era de 157,5 metros, la estimación de Eratóstenes del perímetro terrestre era de 39.690 kilómetros. Si tenemos en cuenta que la longitud de uno de los meridianos terrestres es aproximadamente de 39.940 kilómetros (mientras que el ecuador mide 40.075 kilómetros), podemos decir que la de Eratóstenes no era una mala estimación.

Curiosamente, todas las estimaciones que realizó el director de la Biblioteca de Alejandría fueron ligeramente incorrectas, pero los errores se compensaron para dar una estimación que se aproxima bastante a la realidad. Las ciudades de Alejandría y Siena no se encontraban exactamente en el mismo meridiano, la longitud entre ambas ciudades era imposible de calcular en aquella época con cierta exactitud y con el método del gnomon el cálculo del ángulo de los rayos solares era más bien aproximado.

Reconstrucción del plano de la antigua Alejandría, realizado en 1898 por G. Botti, director del Museo Greco-Romano. Imagen de la página web Alexanders Tomb

Otra estimación importante del tamaño de la Tierra fue realizada por el político, astrónomo y filósofo estoico griego Posidonio (aprox. 130-50 a.n.e.), quien fuera uno de los grandes geógrafos de su tiempo. Al igual que en el anterior caso, su medición también nos ha llegado a través de diferentes autores clásicos.

De nuevo, la idea fue medir un arco de meridiano, en concreto, entre las ciudades de Rodas y Alejandría (aunque, como en el caso anterior, no están exactamente sobre el mismo meridiano). Desde su observatorio en Rodas, Posidonio observó que la estrella Canopus, la segunda más brillante del cielo, se encontraba sobre el horizonte, mientras que esa misma estrella se veía elevada en el cielo un ángulo de 1/48 de circunferencia completa, es decir, 7,5º (el ángulo θ en la siguiente imagen). Por lo tanto, el ángulo del arco de meridiano entre Rodas y Alejandría era también 7,5º. Según Cleomedes, Posidonio consideró que la distancia entre Rodas y Alejandría era de 5.000 estadios, lo que hacía que la estimación de la Tierra fuera de 48 x 5.000 = 240.000 estadios. Sin embargo, el geógrafo e historiador griego Estrabón (aprox. 63 a.n.e.-24 n.e.), en su Geografía, recoge la posterior estimación de Posidonio de 180.000 estadios, obtenida al realizar un cálculo más acertado de la distancia entre ambas ciudades de 3.750 estadios.

Esquema de la medición del meridiano terrestre que pasa por Alejandría y Rodas. Cuando la estrella Canopus se ve en el horizonte desde Rodas, en Alejandría se ve con un ángulo θ, igual al ángulo del arco de meridiano terrestre entre Rodas y Alejandría

Si consideramos los estadios egipcios la estimación de Posidonio, de 180.000 estadios, equivalía a 28.350 kilómetros, quedando así reducidas las dimensiones reales de la Tierra.

El método de Posidonio es, como el de Eratóstenes, sencillo, ingenioso y geométricamente impecable, aunque comete un error desde el punto de vista de la física. El filósofo estoico no tuvo en cuenta la refracción atmosférica terrestre, que provoca que cuando observamos objetos celestes cerca del horizonte su posición esté más baja de lo que nosotros creemos. Lo cual provoca que veamos el Sol, o las estrellas, por encima de su posición real. Si los rayos de luz no sufrieran este efecto, Posidonio no habría visto Canopus cuando lo vio, sino más tarde, y, en consecuencia, el ángulo que habría obtenido habría sido menor.

Esquema de la refracción atmosférica terrestre

El astrónomo, matemático y geógrafo greco-romano Claudio Ptolomeo (aprox. 90-170), dio por buena la estimación de Posidonio de 180.000 estadios (unos 28.350 kilómetros), y es la que recogió en su obra Geografía cuando en la misma aborda la cuestión del tamaño de la Tierra.

La Geografía de Ptolomeo, que estaba formada por 8 libros, era una recopilación de todo el saber geográfico del mundo en su tiempo. El libro I era un tratado de cartografía, de los libros II al principio del VII se daban las coordenadas geográficas, longitud y latitud, de gran cantidad de lugares de la ecúmene, 8.000 ubicaciones diferentes, en el final del libro VII se describían tres proyecciones cartográficas para crear mapas del mundo (aunque los mapas de Ptolomeo que conocemos hoy en día se deben a las primeras ediciones impresas del siglo XV) y el libro VIII era un atlas de mapas regionales, que contenía cuatro mapas de África, doce de Asia y diez de Europa.

Mapa del mundo con la primera proyección de Ptolomeo, que aparece en el Codex Vaticanus Urbinas Graecus 82 (Constantinopla, aprox. 1300), copia manuscrita bizantina de la “Geografía” de Ptolomeo. Imagen: Wikimedia Commons

Los diferentes manuscritos de la Geografía de la época de Ptolomeo se perdieron y la obra estuvo “perdida” hasta el siglo XIII que apareció una copia bizantina. La primera edición manuscrita en latín fue de 1406, y le seguirían muchísimas más (de hecho, se han conservado 38 códices o libros manuscritos). Pero fundamentalmente, a partir del momento en el que se empiezan a realizar ediciones impresas de las obras, junto con los dos conocidos mapas del mundo y los demás mapas regionales (en especial la hermosa edición impresa en Ulm, de 1482, con los conocidos grabados de mares azules y bordes amarillos, uno de cuyos mapas puede verse en la entrada Imago mundi, 7 retratos del mundo), la obra se convierte en una referencia fundamental en geografía y cartografía, y un auténtico “best-seller” durante varios siglos.

Terminaremos esta entrada del Cuaderno de Cultura Científica con un par de comentarios sobre el navegante y explorador italiano (aunque hay expertos que opinan que pudo ser catalán, gallego, portugués, andaluz, e incluso vasco) Cristóbal Colón (1451-1506) y el “descubrimiento” de América.

“Colón en Salamanca” (1887), de Joan Brull i Vinyoles (1863-1912). Imagen de Catàleg d’obres de Joan Brull i Vinyoles

El primer comentario está relacionado con la forma de la Tierra. Una de las creencias asociadas al descubrimiento de América, que nos enseñaron en nuestra etapa escolar, es que en aquél tiempo todo el mundo creía que la Tierra era plana, y que Colón tuvo que enfrentarse a esa creencia para encontrar quien apoyara su búsqueda de las Indias por el Océano Atlántico.

Es cierto, que una interpretación literal de la Biblia en la Edad Media llevó a la concepción de una Tierra plana. Esta idea fue popularizada por la famosa Topographica Christiana del monje griego Cosmas Indicopleustes (siglo VI). La forma plana del Orbis Terrarum se convirtió en una verdad oficial defendida por muchos teólogos cristianos y personas afines al poder, y fue la creencia que mucha gente humilde a la que no llegó otro conocimiento más que el que recibían de la Iglesia.

Mapa del mundo de Cosmas Indicopleustes. Orientado con el norte hacia arriba, el mapa muestra la Tierra rectangular, colocada en el centro y rodeada por el Océano. A la izquierda se observa el mar Mediterráneo, en el que desemboca el río Nilo, mientras que a la derecha están representados, arriba, el mar Caspio y, abajo, los golfos Árabe (Mar Rojo) y Pérsico, en este último desembocan los ríos Tigris y Eufrates. Imagen: Wikimedia Commons.

Sin embargo, como hemos comentado, muchos siglos antes los griegos ya habían descubierto que la Tierra tenía forma esférica, y esta idea no fue abandonada por los sabios, ni las personas cultas, durante la Edad Media. Por este motivo, en los tiempos de Cristóbal Colón no había ninguna duda sobre la forma del planeta. Este mito erróneo tiene su origen en la biografía romántica que escribió el escritor estadounidense Washington Irving (1783-1859), Vida y viajes de Cristóbal Colón (1828).

El segundo comentario está relacionado con el tamaño de la Tierra. Entre los libros que se conoce que leyó, y anotó, Cristóbal Colón están Historia rerum ubique gestarum (1477) del Papa Pío II (Aeneas Sylvius Piccolomini, 1405-1464), que contiene la estimación de Eratóstenes del tamaño de la Tierra, la versión impresa (1480) del Imago Mundi de Pierre d’Ailly (1350-1420), la primera versión en latín (1478) de la Geografía de Ptolomeo, con la estimación de Posidonio y sus mapas cónicos del mundo, así como la primera edición en latín (1485) del libro de Marco Polo (1254-1324), narrando sus viajes a Catay (China) y Cipangu (Japón), De consuetudinibus et condicionibus orientalium regionum (1300).

Una de las personas que creyó en el relato que Marco Polo hizo de su viaje fue el matemático y astrónomo italiano Paolo Toscanelli (1397-1482). Toscanelli, después de hablar con algunos navegantes e influenciado el tamaño de la Tierra recogido en las Geografías de Estrabo y Ptolomeo, propuso alcanzar Asia viajando por el oeste y diseñó un mapa del Atlántico que mostraba la cercanía, por otra parte errónea, de Catay y Cipangu, con Europa, sin América, que no se sabía que existía, de por medio.

Mapa del océano Atlántico (1468) de Paolo Toscanelli
Reconstrucción moderna, con la silueta del continente americano dibujada en su posición más o menos real, de un mapa del océano Atlántico (1474) de Paolo Toscanelli, enviado al obispo de Lisboa, y posteriormente, a Cristóbal Colón

El navegante Cristóbal Colón tuvo conocimiento de las ideas y el mapa de Toscanelli, además de leer la Geografía de Ptolomeo, con la medida del perímetro terrestre de Posidonio, lo que le animaría a aventurarse en un viaje hacia las Indias a través del océano Atlántico. En el camino “descubriría” un “nuevo mundo”, que en un principio llamarían las “Indias Occidentales”, en contraposición a las “Indias Orientales”, a las que nunca llegó.

“Por el Oro, Dios y la Gloria” (2016), de Igor Babailov. Imagen de [7]

Biblioteca

1.- Raúl Ibáñez, El sueño del mapa perfecto; cartografía y matemáticas, RBA, 2010.

2.- David Rumsey Map Collection.

3.- Aubrey Diller, The Ancient Measurements of the Earth, Isis, vol. 40, n. 1, p. 6-9, 1949.

4.- I. E. Drabkin, Posidonius and the Circumference of the Earth, Isis, vol. 34, n. 6, p. 509-512, 1943.

5.- V. Frederick Rickey, How Columbus Encountered America, Mathematics Magazine, vol. 65, n. 4, p. 219-225, 1992.

6.- Denis Guedj, El Teorema del Loro, Anagrama, 2000

7.- Catàleg d’obres de Joan Brull i Vinyoles

8.- Página de Igor Babailov

Sobre el autor: Raúl Ibáñez es profesor del Departamento de Matemáticas de la UPV/EHU y colaborador de la Cátedra de Cultura Científica

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