Si no me equivoco, 64=65

Matemoción

La paradoja de Curryi se produce al considerar el siguiente enunciado: «Si no me equivoco, B es verdad», es decir, «Si este enunciado es cierto, entonces B es verdad», dondeB puede ser cualquier declaración lógica, como ‘64=65’. Es decir, pensemos en la sentencia «Si no me equivoco, 64=65».

Haskell Brooks Curry pensando en la paradoja que lleva su nombre. Composición realizada con la imagen del matemático obtenida de Wikimedia Commons.

Aunque 64 no sea igual a 65, el enunciado «Si no me equivoco, 64=65» es una sentencia en lenguaje natural, por lo que se puede analizar la verdad o falsedad de dicha oración. La paradoja se desprende precisamente de este análisis que consta de dos pasos:

  1. se pueden usar técnicas de demostración en lenguaje natural comunes para demostrar que la sentencia «Si no me equivoco, 64=65» es verdadera;

  2. la validez de «Si no me equivoco, 64=65» puede usarse para demostrar que 64=65. Pero, como 64 no es igual a 65, esto sugiere que ha habido un error en una de las pruebas.

La sentencia «Si no me equivoco, 64=65» podría ser reemplazada por cualquier otro enunciado, que también sería demostrable. Por lo tanto, cualquier sentencia parece ser demostrable. Como la prueba usa únicamente métodos de deducción aceptados y ninguno de estos métodos parece ser incorrecto, esta situación es paradójica.

Veamos una manera informal de probar la verdad de la sentencia «Si no me equivoco, 64=65». Se trata de un enunciado condicional, es decir, del tipo «Si A, entonces B», donde A de refiere al propio enunciado y B es ‘64=65′. El método usual para demostrar una proposición de este tipo («Si A, entonces B») es suponer la hipótesis cierta (A) y deducir la tesis (B). Supongamos por lo tanto que A es cierto. Pero A se refiere a la declaración completa –«no me equivoco», «este enunciado es cierto»–, es decir, si asumimos que A es cierto, también suponemos que se verifica «Si A, entonces B». De otro modo, si admitimos A, estamos aceptando al mismo tiempo «Si A, entonces B». Así, por modus ponendo ponens, B es verdad.

Así que el enunciado «Si no me equivoco, 64=65» ¡es cierto! Es decir, ¡64=65! ¿Qué no te lo crees? Compruébalo en riguroso directo:

Como has podido observar en el vídeo, la ‘supuesta’ demostración se inicia con un cuadrado de 8×8 unidades. Se trazan tres segmentos para dividirlo en dos triángulos rectángulos y dos trapecios rectángulos. Se recolocan estas cuatro piezas de manera conveniente y se obtiene un rectángulo de 13×5 unidades. Y se concluye, aparentemente, que 64=65.

Pero esto no es posible. ¿Cuál es el truco? Se han dibujado esos tres segmentos con un trazo suficientemente grueso para esconder lo que en realidad está pasando: se está ocultando un estrechísimo, casi imperceptible, trapezoide situado en la diagonal del rectángulo final, que tiene –como no podía ser de otra manera– área 1… ¡Las matemáticas no se equivocan!

Por cierto, la paradoja puede confirmarse usando diversas pruebas formales… y no parece tener una solución sencilla.

Referencias

iSe llama así por Haskell Brooks Curry (1900-1982), que fue un matemático y lógico estadounidense. Realizó su tesis doctoral –Grundlagen der kombinatorischen Logik, Fundamentos de la lógica combinatoria– en Gotinga bajo la supervisión de David Hilbert.

Su trabajo se centró fundamentalmente en lógica combinatoria, especialmente en la teoría de sistemas y procesos formales. Llevan su nombre los lenguajes de programación funcionales Haskell –debido a sus aportaciones al cálculo lambda–, Brook y Curry. En ciencias de la computación se denomina ‘currificación’ a una técnica para transformar funciones propuesta por los lógicos y matemáticos Gottlob Frege y Moses Schönfinkel y utilizada en programación funcional. Se llama correspondencia de Curry-Howard a la relación directa que guardan las demostraciones matemáticas y los programas informáticos –nombre que alude a Curry y William Alvin Howard–.

Sobre la autora: Marta Macho Stadler es profesora de Topología en el Departamento de Matemáticas de la UPV/EHU, y colaboradora asidua en ZTFNews, el blog de la Facultad de Ciencia y Tecnología de esta universidad.

8 comentarios

  • Avatar de Masgüel

    No es una paradoja. Es un ejemplo de retórica torticera. Claro que “Si no me equivoco, 64=65” es verdad. Pero “«Si no me equivoco, 64=65» ¡es cierto! Es decir, ¡64=65!”, no lo es. No es decir lo mismo. Porque el condicional implica que primero hay que demostrar que no me equivoco. Como nada nos obliga a admitirlo sin demostración, el modus ponendo ponens no es una inferencia válida para este ejemplo y no hay paradoja.

    • Avatar de José

      Estaba pensando exactamente lo mismo. O me he perdido algo o no hay ninguna paradoja. El problema es, obviamente, que ASUMEN la verdad del antecedente.

      • Avatar de Masgüel

        Yo de lógica, como de flores. Ni idea. Pero por lo que he podido leer desde ayer, un argumento puede ser válido sin ser sólido.

        Pero aunque la expresión “Si no me equivoco, 64=65” sea verdad, la consecuencia de la profesora Macho no lo es. “«Si no me equivoco, 64=65» ¡es cierto! Es decir, ¡64=65!”, es falso. No es decir lo mismo. Quizá sea un chiste.

  • Avatar de Luis Gray

    No veo paradoja por ningún lado
    el enunciado es A->B
    Tabla de verdad
    A, B, A->B
    V, V, V
    V, F, F
    F, V, V
    F, F, V

    El enunciado siempre será cierto excepto si A es verdad y B es falso.
    Como sabemos que B es falso, tenemos los casos:

    A falso y B falso, que es una proposición cierta que se traduce por «te equivocas, 64 no es igual a 65».

    A verdad y B falso. No puede ocurrir según hemos visto en la tabla de verdad. Si ocurre, el enunciado es falso, como es el caso.

  • Avatar de Yván Espejo

    Es un enunciado Autorreferente y por ello lleva a paradoja. Recuerda los enunciados de incompletitud de Kurt Goedel

  • Avatar de Javier Prieto

    Si A->B entonces (no B)->(no A). Como es falso que 64=65 -> es falso (si no me equivoco) -> SI ME ESTOY EQUIVOCANDO

  • Avatar de Masgüel

    Vamos a ver si nos aclaramos.

    “Si no me equivoco, 64=65” es verdad.
    “Como no me equivoco, 64 no es igual a 65” también es verdad.
    No hay paradoja.

    “Si «Como no me equivoco, 64 no es igual a 65» es verdad, entonces 64=65”, es falso.
    “Si «Si no me equivoco, 64=65» es verdad, entonces 64=65”, también es falso. El argumento es válido, pero no es sólido (primero hay que demostrar que no me equivoco).

    La paradoja solo se produce si admitimos la validez del modus ponens como prueba suficiente para la demostración. Como no es suficiente probar su validez sin probar también su solidez, el segundo paso no se da. “Si no me equivoco, 64=65”, no puede usarse para demostrar que 64=65.

  • […] Si no me equivoco, 64=65: “La paradoja de Curryi se produce al considerar el siguiente enunciado: «Si no me equivoco, B es verdad», es decir, «Si este enunciado es cierto, entonces B es verdad», dondeB puede ser cualquier declaración lógica, como ‘64=65’. Es decir, pensemos en la sentencia «Si no me equivoco, 64=65».” […]

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