Una información paradójica

Matemoción

Accromαth es una revista semestral editada por el Institut des sciences mathématiques y el Centre de recherches mathématiques, centros de investigación matemática ubicados en Montreal, Canadá. Sus artículos están orientados a la divulgación de las matemáticas y pensados principalmente para profesorado y alumnado de enseñanza secundaria.

Desde hace años la sigo con interés, sobre todo sus secciones Glanures mathématico-littérairesRecolecciones matemático-literarias, con fragmentos de textos procedentes de la literatura en los que las matemáticas “se cuelan” de alguna manera– y Rubrique des paradoxesSección de paradojas–. Jean-Paul Delahaye es el responsable de este último apartado. Propone en cada número de la revista una paradoja relacionada de alguna manera con las matemáticas y la resuelve en el siguiente número, planteando una nueva para pensarla durante los seis meses que siguen. Algunas de ellas no son nada sencillas de resolver.

Delahaye es matemático de formación y profesor emérito de informática en la Universidad de Lille (Francia). Su investigación se centra en teoría de la complejidad computacional. Dedicado también a la divulgación de la ciencia, recibió en 1998 el Premio d’Alembert (nombrado en honor a Jean le Rond d’Alembert) otorgado por la Société Mathématique de France por el conjunto de sus trabajos de divulgación matemática.

En el segundo número de Accromath de 2019, Delahaye proponía un problema L’information paradoxale –La información paradójica– cuya solución se explica en el primer número de la revista de 2020.

Damos a continuación el enunciado del problema y la solución –ambas enunciadas y explicadas por Delahaye– tal y como aparecen en los dos números consecutivos de Accromath.

Imagen 1: Diseñada partir de una imagen de Pixabay.

Enunciado del problema

Esta paradoja precisa paciencia para ser resuelta… o la ayuda de un ordenador.

Se eligen cinco números enteros distintos entre 1 y 10: a, b, c, d y e –están ordenados en orden creciente–. A un grupo de cuatro personas se les dan distintas informaciones para que adivinen de que números se trata: A Patricia se le dice cuál es su producto P, a Silvia su suma S, a Cristian la suma de sus cuadrados C=a2+b2+c2+d2+e2, y a Vicente la cantidad V=(a+b+c)(d+e).

Una hora después de haberles planteado el problema, las cuatro personas –a las que se pregunta de manera simultánea– responden a la vez: «Desconozco cuales son los números a, b, c, d y e.».

Tras haber transcurrido otra hora, las cuatro personas –a las que se pregunta de nuevo a la vez– responden conjuntamente: «Desconozco cuales son los números a, b, c, d y e.».

Se continúa de esta manera, hora a hora, obteniendo exactamente la misma respuesta hasta que han pasado veintitrés horas tras la formulación del problema. En ese momento las cuatro personas –a las que se pregunta simultáneamente por la solución– responden a la vez: «Desconozco cuales son los números a, b, c, d y e.». Tras esta contestación conjunta –la vigésimo tercera, idéntica a las anteriores–, las cuatro personas sonríen y exclaman al mismo tiempo: «¡Ya está! Ahora sé cuáles son los números a, b, c, d y e.».

Parece paradójico que la repetición –veintitrés veces– de la misma afirmación de ignorancia por parte de las cuatro personas lleve oculta una información significativa.

Ahora ya sabes lo suficiente para adivinar los cinco números a, b, c, d y e. Intenta entender la razón y ármate de paciencia, porque la solución llega tras realizar unos largos cálculos…

Así plantea Delahaye esta paradoja. Si deseas pensar en la respuesta, no mires aún la solución…

Solución del problema

Hay 252 quíntuples posibles (a, b, c, d, e) que solucionan el problema: son las combinaciones sin repetición de diez elementos tomados de cinco en cinco, es decir, el número combinatorio C(10,5).

Algunos de esos quíntuples poseen una suma S que permitiría adivinar (a, b, c, d, e). Por ejemplo si S = 15, esta es la menor suma posible y necesariamente se tendría a = 1, b = 2, c = 3, d = 4 y e = 5. Como en el primer paso Silvia indicó que desconocía la solución, eso significa que la familia de números propuesta no puede ser (1, 2, 3, 4, 5). Esto sucede para otras sumas. De la misma manera, algunos productos P sólo pueden obtenerse de una manera y sucede lo mismo con las cantidades C y V.

Por medio de un largo cálculo a mano –o un poco más corto usando un ordenador– se llega a demostrar que la eliminación de esos quíntuples –cuyas cantidades S, P, C o V solo se pueden conseguir de una manera– reduce las posibilidades iniciales a 140. Patricia, Silvia, Cristian y Vicente realizan este razonamiento de eliminación durante la primera hora que sigue a la propuesta del problema.

A partir de esas 140 posibilidades para (a, b, c, d, e) cada persona puede volver a razonar de la misma manera. Si Silvia indica que no es capaz de decir cuál es la lista (a, b, c, d, e), eso indica que en esa nueva lista de 140 quíntuples se pueden eliminar las correspondientes a sumas S que solo aparecen una vez en esa lista. Lo mismo puede hacerse para P, C y V. Así, se llega a una lista de 100 posibles soluciones.

Razonando de este modo hora a hora, la reducción de posibles soluciones proporciona, paso a paso, posibilidades cada vez menos numerosas. De hecho, a lo largo de estas reducciones se obtienen posibles quíntuples candidatos en estas cantidades: 85, 73, 64, 62, 60, 57, 54, 50, 47, 44, 40, 36, 33, 31, 28, 24, 19, 13, 8, 4.

Imagen 2: Diseñada partir de una imagen de Pixabay.

La consideración de la última información dada en la etapa vigésimo tercera permite a las cuatro personas llegar a la solución única: S = 28, P = 3360, C = 178 y V = 195. Y, de este modo, terminan por deducir que a = 2, b = 5, c = 6, d = 7 y e = 8.

Referencias:

Jean-Paul Delahaye, Rubrique des paradoxes : L’information paradoxale, Accromath. Volume 14.2 – été-automne 2019

Jean-Paul Delahaye, Solution du paradoxe précédent: L’information paradoxale, Accromath. Volume 15.1 – hiver-printemps 2020

Sobre la autora: Marta Macho Stadler es profesora de Topología en el Departamento de Matemáticas de la UPV/EHU, y colaboradora asidua en ZTFNews, el blog de la Facultad de Ciencia y Tecnología de esta universidad.

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