Conozco tu número, y ahora sé que tú también sabes el mío

Matemoción

Andrés, Beatriz, César y Dafne se aburren en una tarde de lluvia. Andrés les propone un juego: escribe un número en un papel y se lo pasa a Beatriz (sin que César y Dafne lo vean) y escribe otro y se lo pasa a César (sin que Beatriz y Dafne lo vean). Además, dice a sus amigos:

Estoy pensando en un conjunto (con al menos dos elementos) de números enteros positivos distintos, cada uno de ellos inferior a 7. A Beatriz le he dado el resultado de la suma de los elementos del conjunto y a César el de su producto. ¿Sabéis qué números he pensado?

Dubitativa, Beatriz le dice a César: «No sé si tú sabes mi número».

Por su lado, César reflexiona un momento y responde a su amiga: «Conozco tu número, y ahora sé que tú también sabes el mío».

¿Cómo han averiguado Beatriz y César el número? Dafne es la única que no ha visto ninguno de los números, aunque ha escuchado las dos afirmaciones de Beatriz y César. Andrés se dirige a Dafne en estos términos:

Confío en tus capacidades de razonamiento. Creo que eres capaz de resolver el enigma.

Tenemos la misma información que Dafne, así que deberíamos poder responder a la pregunta de Andrés. Pensemos en las afirmaciones de Beatriz y de César; es importante comprender cómo sus preguntas y respuestas (lo que no saben y lo que saben en cada momento) les han ayudado a encontrar la solución.

Beatriz no está segura de que César conozca su número, aunque cree que puede conocerlo: «No sé si tú sabes mi número». Por otro lado, César comenta a Beatriz: «Conozco tu número», y solo puede conocerlo si hay una única manera de factorizar el número que Andrés le ha pasado. Por ejemplo, el producto no puede ser el 6 (o un número con dos factores primos distintos) porque habría distintas factorizaciones posibles: 1×6 o 1x2x3.

El número de César solo puede ser un primo p (1xp) o el cuadrado de un número primo p2 (1xp2). En ambos casos hay exactamente una suma posible (1+py 1+p2, respectivamente). ¿Por qué? Recordemos que los números del conjunto de César son todos distintos, es decir, una factorización de la forma 1xpxp no es posible. Tampoco es posible que el producto sea un número como el 8, porque hay diferentes maneras de factorizarlo (2×4 o 1x2x4) y, por lo tanto, diferentes opciones para la suma.

Como los números del conjunto de Andrés son inferiores a 7, teniendo en cuenta la anterior observación, se concluye que el producto de César tiene que ser uno de los cuatro siguientes: 1×2, 1×3, 1×4 o 1×5, o lo que es lo mismo, las sumas de Beatriz son 1+2=3, 1+3=4, 1+4=5 o 1+5=6. Recordemos que Beatriz duda sobre si César conoce su número. Así, podemos eliminar de la anterior lista las sumas 3 y 4, ya que los productos en esos casos son 2 y 3, y Beatriz no dudaría sobre si César conoce o no su número. Sin embargo, una suma de 5 puede obtenerse como 1+4 o 2+3. Del mismo modo, una suma de 6 puede conseguirse como 1+5, 1+2+3 o 2+4.

Es decir, en el momento en el que Beatriz dice a César: «No sé si tú sabes mi número», se deduce que ella solo puede tener un 5 o un 6. Y eso también lo sabe César. De hecho, en ese momento, incluso Dafne conoce esa información. Aunque César es el único que tiene información sobre el producto.

César comienza diciendo a Beatriz: «Conozco tu número…». Razonemos sobre los posibles números de Beatriz. ¿Qué pasaría si el número de ella fuera el 5? Como hemos comentado antes, esa suma solo es posible como 1+4 o 2+3, con lo que César tendría un 4 o un 6. El 4 le diría a César lo que tiene Beatriz, porque solo hay una manera de tener 4 como producto: 1×4. ¿Y qué pasaría si el número de Beatriz fuera 6? El 6 puede descomponerse de tres maneras: 1+5, 1+2+3 o 2+4. Y entonces César no sabría si el número de Beatriz es 5 (1×5) o 6 (1x2x3).

Así, la suma de 5 y el producto de 4 son soluciones al enigma de Andrés. Pero, ¿son las únicas soluciones posibles? Para responder a esta pregunta es necesario recordar la última parte de la afirmación de César: «…, y ahora sé que tú también sabes el mío».

Si el número de Beatriz fuera el 6 (1+5, 1+2+3 o 2+4), César tendría un producto de 5, 6 u 8, respectivamente. Si César tuviera un 5, sabría que Beatriz tiene un 6. Y si el producto fuera 8, las posibilidades de Beatriz serían 2+4 o 1+2+4. Solo el 6 (2+4) sería posible, así que César sabría, de nuevo, que Beatriz tiene un 6. En resumen, si Beatriz tuviese un 6, ella no sabría si César tiene un 5 o un 8. Eso contradice la segunda mitad de lo que dice César y, por lo tanto, los números correctos tienen que ser 5 en el caso de Beatriz y 4 en el caso de César. O lo que es lo mismo, el conjunto de números en el que ha pensado Andrés es {1,4}.

Nota:
Este problema se ha extraído de ¿Puedes resolver el acertijo del submarino rebelde?

Sobre la autora: Marta Macho Stadler es profesora de Topología en el Departamento de Matemáticas de la UPV/EHU, y colaboradora asidua en ZTFNews, el blog de la Facultad de Ciencia y Tecnología de esta universidad

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