En una comida de trabajo, ya casi en el momento de los postres, Tomás, un poco “alegre”, propone un par de juegos a sus colegas. Quizás le habría resultado más económico permanecer callado…

Primero de los juegos, para dos personas

En primer lugar, coloca 100 euros sobre la mesa, invita a jugar a Ana y Blas, y explica la dinámica de este primer desafío.

Ana y Blas deben sacar una carta al azar de una baraja francesa, es decir, una baraja de 52 cartas. Cada uno de ellos debe colocar esa carta en su frente para que la otra persona la vea; aunque ninguno puede ver su propia carta. Además, Ana y Blas no pueden comunicarse entre sí. Ambos jugadores deben escribir el color que piensan que posee su carta: roja o negra. Si alguno de ellos adivina el color, ambos ganan 50 euros. Si las dos respuestas son incorrectas, pierden. Tomás concede 5 minutos a Ana y Blas, para que ideen una estrategia previa para intentar ganar el juego.

¿Existe una estrategia ganadora? Pensad un poquito antes de leer el resto…

Llamemos R a una carta roja y N a una carta negra. Si la primera carta corresponde a la elegida al azar por Ana y la segunda a la de Blas, hay cuatro posibilidades: RR, NN, RN y NR. La siguiente estrategia es siempre ganadora:

1. Ana supone que ambos tienen la carta del mismo color: RR o NN.

2. Blas considera lo contrario a lo supuesto por Ana, asumiendo que los colores de sus cartas son diferentes: RN o NR.

Obviamente, uno de los dos debe estar en lo cierto, con lo que no pueden perder el juego.

Un segundo juego para cuatro personas

Tomás, un poquito más alegre tras el primer desafío, propone un segundo juego. Coloca 200 euros sobre la mesa e invita a Carlos, Diana, Eduardo y Fátima a jugar. Cada uno de ellos debe tomar al azar una carta de la baraja francesa, se la colocan en la frente, viendo las de sus colegas, pero no la suya. Esta vez, deben “adivinar” el palo de su propia carta: tréboles, corazones, diamantes o picas. Si al menos uno de ellos acierta el palo de la carta que ha tomado al azar, todos ganan 50 euros. De nuevo, no pueden hablar entre ellos, aunque Tomás vuelve a permitir a sus cuatro amigos que intenten establecer una estrategia previa para intentar ganar este desafío.

¿Existe una estrategia ganadora? Pensad un poquito antes de leer el resto…

Antes de razonar los entresijos del juego en el caso de cuatro personas, vamos a volver a analizar el caso de Ana y Blas de otra manera. Podríamos pensar en la tarjeta roja como un 0 y en la tarjeta negra como un 1. Entonces, la estrategia de Ana, como se ha explicado antes, se centraría los casos 00 y 11, que podría interpretarse como «la suma de nuestras tarjetas es par» (0+0=0 o 1+1=2). Y con esta nueva manera de pensar, la estrategia de Blas, que se centraría los casos 01 y 10, sería “la suma de nuestras cartas es impar” (0+1=1 o 1+0=1). Con este nuevo enfoque, vuelve a estar claro que uno de ellos debe tener razón necesariamente.

El caso de cuatro personas es una generalización del anterior y depende de la noción de aritmética modular, en particular, de las congruencias módulo 4. Ahora no basta con pensar “los palos son iguales» o «los palos son diferentes”; los jugadores deben afinar un poco más. Vamos a asignar a cada palo a un número: los tréboles son 0, los diamantes 1, los corazones 2 y las picas 3.

Es decir, si por ejemplo Carlos mira las frentes de sus colegas y ve corazones (Diana), corazones (Eduardo) y picas (Fátima), lo interpreta como 2+2+3=7. Supongamos que el palo de la carta de Carlos es de tréboles, que obviamente él desconoce. Consideremos entonces las siguientes estrategias:

1. Carlos adivina su palo suponiendo que la suma total debe de ser múltiplo de 4. Por ejemplo, si ve corazones, corazones y picas, propone que su carta es de diamantes, porque de este modo obtiene que 2+2+3+1=8.

2. Diana adivina su palo suponiendo que la suma total debe de ser congruente con 1 módulo 4. En el ejemplo que nos ocupa, ve tréboles (Carlos), corazones (Eduardo) y picas (Fátima) y, por lo tanto, propone para su propia carta tréboles, ya que así resulta: 0+2+3+0=5 (el resto de la división por 4 es 1).

3. Eduardo adivina su palo para que la suma total sea congruente con 2 módulo 4. En efecto, Eduardo ve (Carlos), corazones (Diana) y picas (Fátima), con lo que induce que su carta es de diamantes, al obtener la suma 0+2+3+1=6 (el resto de la división por 4 es 2).

4. Y, por último, Fátima adivina su palo pensando en que la suma total sea congruente con módulo 4. Ve tréboles (Carlos), corazones (Diana) y corazones (Eduardo), con lo que propone que su carta es de picas, al hacer la adición 0+2+2+3=7 (el resto de la división por 4 es 3).

En este ejemplo, la que acierta es Fátima. Pero está claro que, para cualquier otra combinación aleatoria de palos, una de las afirmaciones de Carlos, Diana, Eduardo o Fátima es necesariamente correcta (y solo una).

Si continúa de esta manera, Tomás va a perder mucho dinero en esta comida… probablemente para regocijo de sus colegas.

Referencia

$50 for All, Futility Closet, 27 de agosto de 2021

Sobre la autora: Marta Macho Stadler es profesora de Topología en el Departamento de Matemáticas de la UPV/EHU, y colaboradora asidua en ZTFNews, el blog de la Facultad de Ciencia y Tecnología de esta universidad