Dos más dos son cinco

Matemoción

La libertad es poder decir libremente que dos y dos son cuatro. Si se concede esto, todo lo demás vendrá por sus pasos contados.

George Orwell, 1984 (capítulo VII)

Imagen generada con Powerpoint. Fuente: Marta Macho

¿Pero dos más dos no han sido siempre cuatro? No necesariamente; ya vimos en la anotación Algunas observaciones someras relativas a las propiedades aerodinámicas de la suma que el resultado de esa suma puede depender de la velocidad del viento…

Bromas aparte, el lógico y filósofo Bertrand Russell (1872-1970) utilizó este enunciado matemático para explicar que es posible llegar a demostrar cualquier propiedad si se comienza con una proposición falsa. Como parte de esta anécdota, se comenta que, con escepticismo, alguien increpó a Russell de este modo:

¿Quiere usted decir que si 2 + 2 = 5, entonces es usted el Papa?

Russell asintió y pasó a demostrar que, efectivamente él era el obispo de Roma:

Supongamos que 2 + 2 = 5. Restemos 3 de cada uno de los miembros de la identidad; obtenemos 1 = 2. Por simple simetría, 1 = 2 implica que 2 = 1. Ahora, dado que el Papa y yo somos dos personas distintas, y dado que 2 = 1, el Papa y yo somos uno. Como resultado de ello, yo soy el Papa.

George Orwell y Radiohead

La banda británica de rock Radiohead lanzó en 2003 el tema «2 + 2 = 5 (The Lukewarm)», aludiendo a la novela 1984 del escritor británico George Orwell (1903-1950):

Cogió el libro de texto infantil y miró el retrato del Gran Hermano que llenaba la portada. Los ojos hipnóticos se clavaron en los suyos. Era como si una inmensa fuerza empezara a aplastarle a uno, algo que iba penetrando en el cráneo, golpeaba el cerebro por dentro, le aterrorizaba a uno y llegaba casi a persuadirle que era de noche cuando era de día. Al final, el Partido anunciaría que dos y dos son cinco y habría que creerlo. Era inevitable que llegara algún día al dos y dos son cinco. La lógica de su posición lo exigía. Su filosofía negaba no sólo la validez de la experiencia, sino que existiera la realidad externa. La mayor de las herejías era el sentido común. Y lo más terrible no era que le mataran a uno por pensar de otro modo, sino que pudieran tener razón. Porque, después de todo, ¿cómo sabemos que dos y dos son efectivamente cuatro? O que la fuerza de la gravedad existe. O que, el pasado no puede ser alterado. ¿Y si el pasado y el mundo exterior sólo existen en nuestra mente y, siendo la mente controlable, también puede controlarse el pasado y lo que llamamos la realidad? […] La libertad es poder decir libremente que dos y dos son cuatro. Si se concede esto, todo lo demás vendrá por sus pasos contados.

«2 + 2 = 5» es parte de un eslogan comunista que se popularizó en la Unión Soviética y que buscaba “convencer” de que, a través del esfuerzo de las personas asalariadas, el trabajo realizado en dos años (1929 y 1930) y otros dos años más (1931 y 1932) podía llegar a equivaler al trabajo realizado en 5 años.

Cartel de Yakov Guminer (1931) en el que se puede leer «La aritmética de un plan alternativo industrial-financiero: 2 + 2 más el entusiasmo de los trabajadores = 5». Fuente: Wikimedia Commons.

George Orwell alteró el significado del eslogan comunista para transformarlo en dogma y aludir a la manipulación del Gran Hermano, el fundador del Partido que todo lo controla de la novela 1984, de tal forma que lo promulgado estuviera por encima de lo verdadero.

La canción «2 + 2 = 5 (The Lukewarm)» comienza con estos versos:

¿Eres tan soñador
como para enderezar al mundo?
Me quedaré para siempre en casa,
donde dos y dos siempre suman cinco.

Antes que George Orwell, en 1895, el periodista y humorista francés Alphonse Allais (1854-1905) ya había utilizado esta expresión. Deux et deux font cinq fue el título que eligió para una colección crónicas absurdas.

Portada de Deux et deux Font cinq de Alphonse Allais. Fuente: Wikimedia Commons.

Prueba (o no) de que 2 + 2 = 5

Vamos a demostrar (o no) que 2 + 2 = 5 de una manera sencilla. Sean a = b = 1. Entonces, a = b. Multiplicando ambos miembros de la anterior igualdad por a, se obtiene que a2 = ab. Si restamos b2 en ambos lados, a2 – b2 = ab – b2; de otra manera (a – b)(a + b) = (a – b)b. Dividiendo por (a – b) ambos miembros de la ecuación, se deduce que a + b = b. Y como hemos supuesto que a = b = 1, se deduce que 2 = 1. Sumando 3, queda que 5 = 4 o, de otra manera, 5 = 2 + 2.

Quizás sería conveniente repasar la prueba antes de creérsela. Aunque para aquellas personas que deseen realmente que 2 + 2 sean 5, podríamos limitarnos a “valores grandes de 2”…

Referencias

Sobre la autora: Marta Macho Stadler es profesora de Topología en el Departamento de Matemáticas de la UPV/EHU, y colaboradora asidua en ZTFNews, el blog de la Facultad de Ciencia y Tecnología de esta universidad

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