La evolución del simbolismo matemático

Experientia docet

Todos, en mayor o menor medida, estamos familiarizados con el simbolismo matemático. En un país mínimamente desarrollado es difícil encontrar a alguien que no sepa qué significan estos cinco símbolos en este orden: 2+1 = 3. De hecho, la presencia del simbolismo matemático es tan común, efectiva y eficiente que ni nos paramos a pensar que durante buena parte de la existencia de la humanidad no existió. Ni siquiera durante la mayor parte de la historia de la escritura. Y es que el simbolismo matemático es un invento progresivo, con avances y retrocesos, y que no toma carta de naturaleza plena hasta el siglo XVII. Europa será el crisol donde se obtenga.

El uso de símbolos para representar ideas matemáticas es lo que caracteriza a una rama de estas que conocemos como álgebra. En una expresión algebraica como

x3-ax2+10x-1 = 5

podemos distinguir tres tipos de símbolos: por una parte, los que representan cantidades conocidas (10, 1, 5) o dadas (a), por otra los que representan cantidades desconocidas o incógnitas (en este caso x) y, finalmente, los que expresan operaciones o relaciones (3, 2, +, -, =). En puridad, existe un cuarto simbolismo que es posicional, es decir, cómo cambia el significado de un símbolo por la posición con respecto a los demás, pero en lo que sigue no nos referiremos a él explícitamente y nos concentraremos en el origen de los otros tres tipos.

Muchas civilizaciones anteriores a la griega, particularmente la babilonia y la egipcia, tienen textos matemáticos. Suelen ser tablas contables, de control de producción agrícola o de medida de terrenos, aunque alguno hay de lo que parece entrenamiento en cálculo. Todos estos textos tienen en común que describen los problemas literariamente y que el sistema de numeración se basa en la repetición de símbolos. Estos textos emplean el mismo sistema de escritura durante, literalmente, miles de años sin cambios sustanciales. Ello nos hace ver que cumplían con las necesidades de escribas, almaceneros, agrimensores y cobradores de impuestos. O, visto de otra manera, no existía una necesidad de abstracción matemática que favoreciese la aparición de una forma más eficiente de representar las relaciones entre cantidades.

Hay que esperar a la era imperial romana para encontrar un avance realmente significativo, aunque sea de manos de un griego. Los griegos representaban las cantidades numéricas empleando letras, pero Diofanto, probablemente en el siglo III de la era común, da un paso más en el simbolismo en su Aritmética, la misma que Fermat estudiaba cuando se le ocurrió su famoso último teorema. Introduce abreviaturas para las expresiones más habituales, así como una notación especial para la incógnita y las distintas potencias de la incógnita. El gran paso hacia la abstracción matemática de Diofanto fue crear una abreviatura para “igual a”, lo que constituye un paso fundamental desde un álgebra verbal, descriptiva, hacia un álgebra simbólica y abstracta.

A pesar de sus carencias (solo existe una incógnita, no existe notación para un número general conocido, etc.) Diofanto consigue separarse de la geometría como único modo de expresar los conceptos y operaciones matemáticos.

Tras Diofanto se entra en los años oscuros donde prácticamente no existen avances. Habitualmente, los libros de historia citan los trabajos de los árabes como transmisores de la cultura grecolatina y, por tanto, de las matemáticas. Hay muchos que piensan en la labor realizada por los traductores en Castilla como fundamental. Y, efectivamente, esto es así, pero no para el avance del simbolismo algebraico, que retrocede a épocas anteriores a Diofanto, con un retorno a la literalidad y la geometría. En el 1800 a.e.c. los babilonios resolvían ecuaciones cuadráticas expresadas en forma de texto; tres mil años después, a comienzos del siglo XII e.c., Omar Jayam sigue haciéndolo igual.

La conexión con el conocimiento musulmán existe pero es diferente a la que habitualmente se cree. Fueron los intereses comerciales de Leonardo Pisano, más conocido como Fibonacci, y sus viajes por el Mediterráneo, particularmente a Egipto, donde habría entrado en contacto con las ideas matemáticas persas e hindúes además de las musulmanas, los que trajeron una revolución a Europa en forma de libro.

simbolismo matemático
Página del Liber abacci de Leonardo Pisano «Fibonacci»

El Liber abacci (1202) de Fibonacci probablemente tenga uno de los comienzos más revolucionarios de la historia de la ciencia. Comienza tal que así:

“Hay nueve figuras de los indios: 9,8,7,6,5,4,3,2,1. Con estas nueve figuras, y con el signo 0 que en árabe se llama zephirum, se puede escribir cualquier número, como se demostrará.”

Los siguientes 7 capítulos del libro (de un total de 15) se dedican a explicar cómo usar y realizar operaciones con estos nuevos numerales.

Fibonacci aporta un avance fundamental, como vemos, que facilita la aritmética enormemente. Pero sigue habiendo limitaciones importantes. Fibonacci usa un sistema sexagesimal para expresar sus resultados. La fundamental, sin embargo, es que para incógnitas y operaciones Fibonacci también sigue a los musulmanes, aunque traduciéndolos al latín italianizado. Así aparecen radix (raíz), res/causa/cosa (para la incógnita), census (propiedad, para el cuadrado), o cubus (cubo). Los problemas se siguen expresando literariamente.

Los desarrollos son muy lentos y, si bien los nuevos numerales indo-arábigos se popularizan rápidamente, hay que esperar hasta 1494, a la Summa de Luca Pacioli, para registrar un nuevo avance, que parece un retroceso. Pacioli vuelve a un sistema parecido al que Diofanto usó más de mil doscientos años antes, usando los numerales de Fibonacci y expresando la incógnita como co, su cuadrado como ce y el cubo como cu, simples abreviaturas de los nombres italianos.

Se producen algunos avances menores más, pero el sistema de Pacioli es tan eficaz para el uso habitual que será necesaria una crisis matemática para provocar el siguiente paso adelante en la notación simbólica. Y esa crisis será la resolución de la ecuación cúbica.

Diofanto y Cardano ya asumían la existencia “operativa” de los números negativos. Cardano atribuía la misma operatividad de facto a los complejos, pero para Rafael Bombelli que atacaba la resolución de ecuaciones cúbicas irreducibles y llegó a dar reglas de signos para la operación con números complejos, la notación disponible era una tortura. Bombelli se ve forzado a la introducción del corchete en su obra l’Algebra (1572):

Multiplichisi, R.c.[2 più di meno R.q.3] per R.c. [2 meno di meno R.q.3]

donde R.q. y R.c. son, respectivamente, la raíz cuadrada y la raíz cúbica.

Simbolismo matemático moderno

El simbolismo moderno estaba a punto de surgir de pura necesidad. Los avances en trigonometría y sobre todo en álgebra requerían una forma más racional de expresar ideas matemáticas. Y este avance se dio en dos pasos gigantescos. Pero esos pasos se darían en Francia, que se convertiría en los siguientes siglos en el centro de las matemáticas.

El primero lo supuso la publicación de De artem analyticem isagoge en 1591 por parte de François Viète. En honor a la verdad, este libro fue un gran paso adelante y uno pequeño hacia atrás. Adelante porque en él se emplean de forma sistemática letras para representar números. Si bien esta idea se puede remontar a Diofanto, Viète va más allá y distingue rangos de letras y sus aplicaciones. Las cantidades podían ser de dos clases: “cosas buscadas” (quaesita) y “cosas conocidas” (data). Las incógnitas se escribían usando vocales mayúsculas A,E,I,O,U,Y y las constantes con consonantes también mayúsculas B,C,D,F,… Por ejemplo, en simbolismo de Viète la ecuación

bx2+dx = z

pasa a ser

B in A quadrum, plus D plano in A, aequari Z solido

Este ejemplo también ilustra el paso atrás que mencionábamos antes, que es un retorno a la geometría que se expresa a través de la “ley de homogeneidad”, según la que todos los términos de la ecuación deben tener las mismas dimensiones. Como bx2 tiene tres dimensiones, dx también debe tenerlas (de ahí lo de D plano) al igual que z. Esto hace la notación tediosa y aparentemente poco operativa, si bien Viète manejaba polinomios de grado 45 con soltura.

Y entonces llegó La géométrie de René Descartes en 1637. Este libro es el primero que se lee como un texto moderno de matemáticas. Descartes toma todos los conocimientos existentes sobre simbolismo matemático, los simplifica, los racionaliza y los emplea en un libro que marca el comienzo de la geometría algebraica. Solo dos cosas importantes están ausentes: el signo = para la igualdad y, paradójicamente, los ejes cartesianos, y es que Descartes no veía la necesidad de que los ejes estuviesen a 90 grados.

En La géométrie las letras minúsculas del comienzo del alfabeto representan datos conocidos, y las letras del final del alfabeto las incógnitas buscadas. La x se convirtió en la representación de la incógnita por antonomasia porque Descartes le dio libertad a su impresor de usar la letra del final del alfabeto que más le conviniera, eligiendo este la x porque es la que menos uso tiene en francés.

A partir de este momento se produce una triple revolución en las matemáticas: la generalización de la impresión de libros, el uso de un simbolismo potentísimo y la posibilidad de reducir la geometría a álgebra supondrán un florecimiento tal, que en solo cincuenta años después de La géométrie se publicaba, por ejemplo, los Principia mathematica de Newton.

Para saber más:

Teorías fantásticas sobre el origen de la grafía de las cifras

Sobre el autor: César Tomé López es divulgador científico y editor de Mapping Ignorance

Una versión anterior de este artículo apareció en Experientia docet el 25 de septiembre de 2012

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