Hoy hablamos de números, algunos difíciles de calcular, otros asociados a problemas concretos, pero siempre sorprendentes y originales. Empecemos.
Los números de… Keith
El número 197 tiene una curiosa propiedad:
1 + 9 + 7 = 17,
9 + 7 + 17 = 33,
7 + 17 + 33 = 57,
17 + 33 + 57 = 107, y
33 + 57 + 107 = 197.
Y por ello se llama un número de Keith.
Un número de Keith (o repfigit, por “repetitive Fibonacci-like digit”) es un número natural M (mayor que 9) con k dígitos, que verifica la propiedad que describimos a continuación. Formamos una sucesión {x(n)}cuyos primeros términos son los k dígitos de M y los siguientes términos x(n)se consiguen sumando los k anteriores, es decir,
x(n) = x(n-1) + x(n-2) + x(n-3) + … + x(n-k).
Cuando el número M es uno de los términos de la sucesión, se llama un número repfigit. Así, los primeros términos de la sucesión asociada a 197 serían:
{1, 7, 9, 17, 33, 57, 107, 197, 361, 665, …}.
Los números repfigit toman también el nombre de su “inventor”, el matemático Mike Keith, quien los definió en un artículo publicado en 1987. Estos números, que pueden definirse en cualquier base de numeración, requieren herramientas computacionales para encontrarse. En su página web, Keith proporciona un listado de los primeros números repfigit. Como suele suceder, muchas personas intentan contribuir a estas búsquedas. Parece que el último hallazgo exitoso es de diciembre de 2022, fecha en la que el matemático Toon Baeyens, de la Universidad de Gante (Bélgica), encontró todos los números Keith de 35 y 36 dígitos. ¿A lo mejor te apetece contribuir a este gran reto?
Los números de… Borja
En este caso, se trata de encontrar la edad de Borja, el número de hijas e hijos que tiene, y la medida de su barco conociendo los siguientes datos:
A. El producto de los tres números buscados es 32 118.
B. La eslora del barco se mide en pies (y tiene varios pies).
C. Borja tiene hijos e hijas.
D. Borja tiene más años que hijos, aunque aún no tiene cien años.
Los factores primos de 32 118 son (todos ellos simples) 2, 3, 53 y 101. Debemos encontrar, entre las descomposiciones en productos de tres factores del número 32 118, aquellas que sean compatibles con el enunciado. Además, eliminamos el número 1 de este producto, porque Borja no tiene un año, su barco posee más de un pie (por B) y es padre de más de una persona (por C).
Las posibles descomposiciones de 32 118 en producto de tres números son las siguientes:
- 6 × 53 × 101,
- 3 × 101 × 106,
- 3 × 53 × 202,
- 2 × 101 × 159,
- 2 × 53 × 303, y
- 2 × 3 × 5353.
Por C), el número mínimo de hijos (totales) es de 4 (al menos dos hijas y dos hijos), así que la única posibilidad es que Borja tenga 53 años, 6 hijas e hijos, y que su barco mida 101 pies de longitud. ¡No parece un mal yate el de Borja!
Los números de… Krieger
En 1938, el estadounidense Samuel Isaac Krieger afirmó que había encontrado un contraejemplo al último teorema de Fermat. Aseguró que había encontrado un número entero n mayor que 2, que verificaba la igualdad:
1324n + 731n= 1961n.
E imitando al matemático Pierre de Fermat en su arrogancia, se negó a decir cuál era ese número. Un periodista del New York Times no tardó en responder que Krieger no podía tener razón. Parece que Krieger, airado, increpó al periodista: «¿Quiere decir que duda de mí?». Y éste, irónico, tampoco quiso revelar su método, respondiendo: «Bueno, cuando llegue el momento se lo explicaré todo».
¿Cómo supo el periodista que Krieger había cometido un error? Basta con observar que 1324n termina necesariamente en 4 o 6, y que 731ny 1961n tienen siempre a 1 como última cifra. Así, 1324n + 731n termina en 5 o 7 y la igualdad es imposible…
Los números de… Galton
En 1894, el polímata Francis Galton experimentó realizando sumas y restas mediante el olfato. Diseñó un aparato que producía bocanadas de aire perfumado y memorizó sus combinaciones: “Aprendí a asociar dos bocanadas de menta con una bocanada de alcanfor; tres de menta con uno de ácido fénico, y así sucesivamente”.
Tras practicar las adiciones usando estos aromas, pasó a hacer las sumas exclusivamente en su imaginación: “No hubo la menor dificultad para desterrar de la mente todas las imágenes visuales y auditivas, sin dejar nada en la conciencia excepto olores reales o imaginarios. De esta manera, sin llegar a ser muy hábil en el proceso, me convencí de la posibilidad de hacer sumas en sumas simples con considerable rapidez y precisión únicamente por medio de olores imaginarios”.
No tuvo dificultades con la resta, aunque ni siquiera lo intentó con la multiplicación. Además, no contento con el olfato, Galton realizó algunos otros experimentos con diferentes sabores y, como él mismo afirmaba, “la aritmética por el gusto era tan factible como la aritmética mediante el olfato”. ¡Yo, desde luego, prefiero el método clásico!
Referencias
- Keith Numbers, Futility Closet, 20 de noviembre de 2023
- Mike Keith (1987). Repfigit Numbers. Journal of Recreational Mathematics 19 (2): 41–42
- Keith Numbers, página personal de Mike Keith
- Sequence A007629. The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation
- Keith Numbers, Dodona
- Profile, Futility Closet, 17 de noviembre de 2023
- Numbers Game, Futility Closet, 10 de diciembre de 2010
- Francis Galton, Arithmetic by Smell, Psychological Review 1:1 (1894) 61-62
- A Nose for Numbers, Futility Closet, 17 de septiembre de 2019
Sobre la autora: Marta Macho Stadler es profesora de Topología en el Departamento de Matemáticas de la UPV/EHU, y colaboradora asidua en ZTFNews, el blog de la Facultad de Ciencia y Tecnología de esta universidad
